2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)16等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用含解析新人教A版必修5

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十六)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列．若a1＝1，則S4等于()A．7B．8C．15D．16C[由題意得4a2＝4a1＋a3，∴4(a1q)＝4a1＋a1·q2，∴q＝2，∴S4＝eq\f(1·（1－24）,1－2)＝15.]2．已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為1，前6項(xiàng)和為9，則它的公比q等于()A．eq\f(1,2)B．1C．2D．4C[S3＝1，S6＝9，∴S6－S3＝8＝a4＋a5＋a6＝q3(S3)＝q3，∴q3＝8，∴q＝2.]3．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，則n的值為()A．4 B．5C．6 D．7B[明顯q≠1，由Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)，得93＝eq\f(3－48q,1－q)，解得q＝2.由an＝a1qn－1，得48＝3×2n－1，解得n＝5.故選B.]4．設(shè)數(shù)列{xn}滿意log2xn＋1＝1＋log2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10，記{xn}的前n項(xiàng)和為Sn，則S20等于()A．1025 B．1024C．10250 D．20240C[∵log2xn＋1＝1＋log2xn＝log2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}為等比數(shù)列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10250，故選C.]5．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為8，Sn是其前n項(xiàng)的和，某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后來(lái)該同學(xué)發(fā)覺(jué)其中一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，則該數(shù)為()A．S1 B．S2C．S3 D．S4C[由題知S1正確．若S4錯(cuò)誤，則S2，S3正確，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，與{an}為等比數(shù)列沖突，故S4＝65.若S3錯(cuò)誤，則S2正確，此時(shí)，a1＝8，a2＝12，得q＝eq\f(3,2)，a3＝18，a4＝27，S4＝65，滿意題設(shè)，故選C.]二、填空題6．在數(shù)列{an}中，an＋1＝can(c為非零常數(shù))，且前n項(xiàng)和為Sn＝3n＋k，則實(shí)數(shù)k＝________．－1[由an＋1＝can知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．又∵Sn＝3n＋k，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的特點(diǎn)知k＝－1.]7．等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，它的全部各項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍，則公比q＝________．2[設(shè){an}的公比為q，則奇數(shù)項(xiàng)也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2，首項(xiàng)為a1，S2n＝eq\f(a1（1－q2n）,1－q)，S奇＝eq\f(a1[1－（q2）n],1－q2).由題意得eq\f(a1（1－q2n）,1－q)＝eq\f(3a1（1－q2n）,1－q2).∴1＋q＝3，∴q＝2.]8．?dāng)?shù)列11，103，1005，10007，…的前n項(xiàng)和Sn＝________．eq\f(10,9)(10n－1)＋n2[數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝10n＋(2n－1)．所以Sn＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n＋2n－1)＝(10＋102＋…＋10n)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝eq\f(10（1－10n）,1－10)＋eq\f(n（1＋2n－1）,2)＝eq\f(10,9)(10n－1)＋n2.]三、解答題9．在等比數(shù)列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．[解]∵S30≠3S10，∴q≠1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S30＝13S10，,S10＋S30＝140，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S10＝10，,S30＝130，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－q10）,1－q)＝10，,\f(a1（1－q30）,1－q)＝130，))∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，∴S20＝eq\f(a1（1－q20）,1－q)＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.10．在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．[解](1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝4，,（a1＋3d）＋（a1＋6d）＝15，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝1.))所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.(2)由(1)可得bn＝2n＋n，所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝eq\f(2（1－210）,1－2)＋eq\f(（1＋10）×10,2)＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.[實(shí)力提升練]1．在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝2，且點(diǎn)(aeq\o\al(2,n)，aeq\o\al(2,n－1))在直線x－9y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于()A．3n－1 B．eq\f(1－（－3）n,2)C．eq\f(1＋3n,2) D．eq\f(3n2＋n,2)A[由點(diǎn)(aeq\o\al(2,n)，aeq\o\al(2,n－1))在直線x－9y＝0上，得aeq\o\al(2,n)－9aeq\o\al(2,n－1)＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即eq\f(an,an－1)＝3，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2，公比q＝3的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(2×（3n－1）,3－1)＝3n－1.]2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，稱Tn＝eq\f(S1＋S2＋…＋Sn,n)為數(shù)列a1，a2，a3，…，an的“志向數(shù)”，已知數(shù)列a1，a2，a3，a4，a5的志向數(shù)為2014，則數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“志向數(shù)”為()A．1673 B．1675C．eq\f(5035,3) D．eq\f(5041,3)D[因?yàn)閿?shù)列a1，a2，…，a5的“志向數(shù)”為2014，所以eq\f(S1＋S2＋S3＋S4＋S5,5)＝2014，即S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝5×2014，所以數(shù)列2，a1，a2，…，a5的“志向數(shù)”為eq\f(2＋（2＋S1）＋（2＋S2）＋…＋（2＋S5）,6)＝eq\f(6×2＋5×2014,6)＝eq\f(5041,3).]3．設(shè)數(shù)列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝________．2n＋1－n－2[因?yàn)閍n＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝eq\f(2（1－2n）,1－2)－n＝2n＋1－n－2.]4．已知首項(xiàng)為eq\f(3,2)的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，則an＝________．(－1)n－1×eq\f(3,2n)[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝eq\f(a5,a3)＝eq\f(1,4).又{an}不是遞減數(shù)列且a1＝eq\f(3,2)，所以q＝－eq\f(1,2).故等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(3,2)×(－eq\f(1,2))n－1＝(－1)n－1×eq\f(3,2n).]5．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．[解](1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝b1q＝3，,b3＝b1q2＝9))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝1，,q＝3.))∴{bn}的通項(xiàng)公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n∈N*)．(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為