剛體力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題思考題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——?jiǎng)傮w力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題思考題習(xí)題5

5-1．如圖，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為m、半徑為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為2m和m的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為mr/2，將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為2m和m的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：受力分析如圖，可建立方程：

2mg?T2?2ma┄①

2T1?mg?ma┄②(T2?T)r?J?┄③(T?T1)r?J?┄④

a?r?，J?mr2/2┄⑤

111mg。聯(lián)立，解得：a?g，T?48T

5-2．如下圖，一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，平放在摩擦系數(shù)為?的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度?0繞過中心O且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)中止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：（1）設(shè)桿的線密度為：??m，在桿上取l一小質(zhì)元dm??dx，有微元摩擦力：

df??dmg???gdx，

微元摩擦力矩：dM???gxdx，

考慮對(duì)稱性，有摩擦力矩：

1M?2???gxdx??mgl；

4t0d?，有：??Mdt??Jd?，0?0dt11?l??mglt??ml2?0，∴t?0。4123?g1ml2，或利用：?Mt?J??J?0，考慮到??0，J?12?l有：t?0。

3?gl20（2）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M?J??J

5-3．如下圖，一個(gè)質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M、半徑為

R,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2/2，試求該物體由靜止開始下落的過程中，

下落速度與時(shí)間的關(guān)系。

解：受力分析如圖，可建立方程：

mg?T?ma┄①

TR?J?┄②

1mR2┄③22mgMmg聯(lián)立，解得：a?，T?，

M?2mM?2mvtdv2mg2mgtdt，有：v?考慮到a?，∴?dv??。

00dtM?2mM?2ma?R?，J?

5-4．輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質(zhì)量為M/4，均勻分布在其邊緣上，繩子A端有一質(zhì)量為M的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了一質(zhì)量為M/4的重物，如圖。已知滑輪對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J?MR/4，設(shè)人從靜止開始以相對(duì)繩勻速向上爬時(shí)，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，求B端重物上升的加速度？

解：選人、滑輪與重物為系統(tǒng)，設(shè)u為人相對(duì)繩的速度，v為重

2du?0，系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量為：dt1M3L?MvR?M(u?v)R?(R2)??MvR?MuR442(B物體)(人)(A物體)?13而力矩為：M??MgR?MgR?MgR，

44dL3d3g(MvR?MuR)，∴a?。根據(jù)角動(dòng)量定理M?有：MgR?dt4dt22物上升的速度，注意到u為勻速，

5-5．計(jì)算質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)球體繞其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。3m解：設(shè)球的半徑為R，總重量為m，體密度??，34?R考慮均質(zhì)球體內(nèi)一個(gè)微元：dm??rsin?drd?d?，由定義：考慮微元到軸的距離為rsin?

2rsin??r?J??(rsin?)2dm，有：

J??2?0??0?R0(rsin?)2??r2sin?drd?d?

R01?2???r55?[??(1?cos2?)dcos?]?0?2mR2。5

5-6．一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如下圖，已知彈簧的勁度系數(shù)k?40N/m，當(dāng)??0時(shí)彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量m?5.0kg，求在??0的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度?，才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置？

解：以圖示下方的三角樁為軸，從??0~??90時(shí)，考慮機(jī)械能守恒，那么：??0時(shí)的機(jī)械能為：

0l11mg?(重力勢(shì)能)?（ml2）?2(轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能)，

2231??900時(shí)的機(jī)械能為：kx2

2l112122有：mg??（ml）??kx

2232?1根據(jù)幾何關(guān)系：(x?0.5)2?1.52?12，得：??3.28rad?s

5-7．如下圖，一質(zhì)量為m、半徑為R的圓盤，可繞O軸在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若盤自靜止下落，略去軸承的摩擦，求：

（1）盤到虛線所示的鉛直位置時(shí)，質(zhì)心C和盤緣A點(diǎn)的速率；（2）在虛線位置軸對(duì)圓盤的作用力。解：（1）設(shè)虛線位置的C點(diǎn)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，

下降過程機(jī)械能守恒，

113J?2，而J?mR2?mR2?mR22224g4Rg16Rg∴??vc?R??vA?2R??33R372（2）Fy?mg（重力）?mR?（向心力）?mg，方向向上。3有：mgR?

5-8．如下圖，長(zhǎng)為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為l和

132l．輕桿原來3靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為m的小球，以水平速度v0與桿下端小球m作對(duì)心碰撞，碰后以

1v0的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。2解：根據(jù)角動(dòng)量守恒，有：

2122llmv0?l??m?v0?l?m()2??2m?()2?

32333422221有：(l?l)??v0l?v0l

99333v∴??0

2l

5-9．一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M，半徑為R，放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為?)，圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，圓盤靜止，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求：（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度；（2）經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤中止轉(zhuǎn)動(dòng)。(圓盤繞通過O的豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

1MR2，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩。)2122解：（1）利用角動(dòng)量守恒：mvR?MR??mR?

22mv得：??；

(2m?M)RM（2）選微分dm??rdrd?，其中：面密度??，2?RRM2Mf???grdm???gr2πrdr??MgR

0?R232122∴由Mf??t?J???有：?MgR??t?(MR?mR)??0，

322?M?2m?R?

4?Mg2mv3mv將??代入，即得：?t?。

2?MgM?2mR??知：?t?

5-10．有一質(zhì)量為m1、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為?的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短。已知小滑塊在碰撞前后

??的速度分別為v1和v2，如下圖。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到中止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。

1m1l2)3??解：由碰撞時(shí)角動(dòng)量守恒，考慮到v1和v2方向相反，以逆時(shí)針為正向，有：

(已知棒繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J?3m2(v1?v2)1m2v1l?m1l2??m2v2l，得：??3m1l又∵細(xì)棒運(yùn)動(dòng)起來所受到的摩擦力矩可由積分求得：

m11d?gxdx??m1gl，利用?Mf?J，有：0l2dt12mld?1t02l?2m2(v1?v2)3，得：。t??dt???0??13?g?m1g?m1gl2Mf???l

5-11．如下圖，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01kg?m，半徑為7cm；物體的質(zhì)量為5kg