其次章 機器人運動學

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其次章機器人運動學

機器人，特別是其中最為常用的關(guān)節(jié)型機器人，由若干個關(guān)節(jié)所聯(lián)系起來的一種開鏈，其一端固結(jié)在機座上，另一端安裝有末端執(zhí)行器。已知所有關(guān)節(jié)變量確定機器人末端執(zhí)行器的位姿或者由末端手的位姿計算出每一個關(guān)節(jié)變量值是機器人運動學研究的主要內(nèi)容。

本章主要介紹機器人運動學，首先介紹了1.1齊次坐標與齊次變換

在描述剛體（如零件、工具或機械手）間關(guān)系時，要用到點、向量、坐標系、平移、旋轉(zhuǎn)以及變換等概念，這些概念可用齊次矩陣來表示。

1.1.1空間點的表示

在指定的直角坐標系?A?中，空間任一點P（圖2-1）的位置可用3?1的列矢量P表

A示：

AP?px?pyApz（2.1）

A?其中px，py，pz為點P的三個坐標分量，P的上標A代表參考坐標系?A?，稱P為位置矢量。

圖2-1位置表示

1.1.2空間向量的表示

將一個n維空間的點用n?1維坐標表示，則該n?1維坐標即為n維坐標的齊次坐標，即：

AP?px?pyTpz1（2.2）

?在上式中參與一個比例因子w，點P表示為：

AP?ax?byczTw（2.3）

?其中，ax?pxw，by?pyw，cz?pzw。式2.2和2.3表示同一個點P。起始于原點，終止于P點的空間向量也可以采用齊次矩陣形式表示：

P?axby?czTw（2.4）

?若比例因子w變化，向量的大小也會發(fā)生變化，w大于1，向量所有的分量都變大，假使w小于1，向量所有的分量都變小，w等于1，各分量的大小保持不變。w等于0表示該向量的方向，稱為方向向量。如圖2-2中，i、j、k分別表示直角坐標系中X、Y、Z坐標軸的單位矢量，用齊次坐標表示為：

TTTX??1000?Y??0100?Z??0010?（2.5）

圖2-2中所示的矢量u的方向表示為：

u??cos?cos?cos?T0?（2.6）

其中?、?、?分別為矢量u與坐標軸的夾角。1.1.3剛體位姿的表示

為了研究機器人的運動，往往不僅要表示空間某個點的位置，而且需要表示剛體的神態(tài)。指定一個坐標系與此剛體固接，再將此坐標系在空間表示出來，該坐標系稱為動坐標系。如

Y?Z?為固接在剛體上的一個動坐標系，動坐標系的圖2-3所示，O?為剛體上任一點，O?X?原點與固定坐標系原點之間做一個向量P來表示動坐標系的位置，即為式2.2。動坐標系的神態(tài)可由其坐標軸方向來表示，令n、o、a分別為X?、Y?、Z?坐標軸的單位向量，每個向量都由其所在固定坐標系中的三個分量表示：

?n?nx??o?ox?a?ax????nyoyaynzozaz?0?（2.7）0?0TTT動坐標系的位姿可以由三個表示方向的單位向量以及第四個位置向量來表示，式中前三個向量是w?0的方向向量，表示該坐標系的三個單位向量n、o和a的方向，而第四個

w?1的向量表示動坐標系的原點相對于固定坐標系的位置。與單位向量不同，向量P的長

度十分重要，因而比例因子為1。

F??noa?nx?np???y?nz??0oxoyoz0axayaz0px?py??（2.8）pz??1?由于動坐標系一直固接在該剛體上，只要動坐標系在空間表示出來，剛體相對于固定坐

標系的位姿也可以采用式2-8進行描述?？臻g中的剛體具有沿著X、Y和Z三軸的移動和繞三軸的旋轉(zhuǎn)，因此需要6條獨立的信息描述剛體的位姿。而式2-8中給出了12條信息，其中9條為神態(tài)信息，3條為位置信息。三個單位向量n、o和a兩兩正交，因而它的9個元素滿足6個約束條件：

n?o?n?a?a?o?0（2.9）

n?o?a?1（2.10）

1.2齊次變換

變換為空間的一個運動，由旋轉(zhuǎn)和平移組成。當空間的一個坐標系相對于固定的參考坐

標系運動時，這一運動可以用類似于表示坐標系的方式來表示。變換本身就是坐標系位姿的變換，分為以下幾種形式：

1.2.1平移的齊次變換

一個坐標系（或剛體）在空間中以不變的神態(tài)運動，該變換為平移變換。坐標系的單位向量保持同一方向不變，所有改變只是坐標系原點相對于參考坐標系的變化，如圖2-2所示。相對于固定參考系的新的坐標系的位置可以用原來坐標系的原點位置向量加上表示位移的向量求得。變換矩陣為：

?1?0T???0??001000dx?0dy??（2.9）1dz??01?其中dx，dy和dz是純平移向量d相對于參考坐標系x，y和z軸的三個向量，矩陣T的前三列等同于單位矩陣，表示沒有旋轉(zhuǎn)運動，最終一列表示平移運動。若坐標系平移前的位姿矩陣為：

Fold?nxoxaxPx??nyoyayP?y?（2.9）???nzozazPz???0001??則，坐標系平移后的位姿矩陣為：

Fnew?1?0???0??001000dx??nxoxaxPx?dx??nyoyayP?d?0dy?yy???Fold??（2.9）?nzozazPz?dz?1dz????01?0001??也可表示為：

Fnew?Trans(dx,dy,dz)?Fold（2.9）

對比式子2.9和2.9，坐標系平移變換前后的位姿矩陣維數(shù)一致，方向向量保持不變，

僅是位置向量發(fā)生變換，即為d和P相加的結(jié)果。

1.2.2旋轉(zhuǎn)的齊次變換

空間某點P，坐標為(Px,Py,Pz)，當它繞x軸旋轉(zhuǎn)角后至P?點，坐標為(Px?,Py?,Pz?)，

P點和P?點的坐標關(guān)系為：

?Px??Px??Py?Pycos??Pzsin?（2.9）?P?Psin??Pcos?yz?z寫成矩陣形式為：

?Px???1????Py????0??Pz?????0也可表示為：

0co?ssin???Px??P??sin????y?（2.9）

co?s????Pz??0P??Rot(x,?)?P（2.9）

Rot(x,?)表示齊次坐標變換時繞x軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，第一列表示相對于x軸的位置，

其值為1，0，0，它表示沿著x軸的坐標沒有改變。習慣上采用符號C?表示cos?，S?表示sin?，因此旋轉(zhuǎn)矩陣表示為：

?10Rot(x,?)???0C???0S?將上式矩陣寫成4?4的齊次變換矩陣為：

0??S???（2.9）C???

?10?0C?Rot(x,?)???0S???00同理，繞y軸和z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為：

0?S?C?00?0??（2.9）0??1??C??0Rot(y,?)????S???01.2.3復合變換

0S?100C?000??C??S?0??Rot(z,?)???00???1??0?S?C?0000100?0??（2.9）0??1?復合變換是由固定參考坐標系或當前運動坐標系的一系列沿軸平移和繞軸旋轉(zhuǎn)變換所

組成的。任何變換都可以分解為按一定順序的一組平移和旋轉(zhuǎn)變換，將兩種變換組合在一個齊次變換中，稱為復合變換。在計算變換矩陣時，要考慮算子左、右乘規(guī)則：假使相對于固定坐標系進行變換，則算子左乘；假使相對于動坐標系進行變換，則算子右乘。

動坐標系?n,o,a?相對于參考坐標系?x,y,z?依次進行下面三種變換：（1）繞x軸旋轉(zhuǎn)?度；（2）接著沿x軸平移l1，沿z軸平移l3；（3）最終，繞y軸旋轉(zhuǎn)?度。

點P固連在動坐標系上，動坐標系與固定坐標系重合，隨著動坐標系?n,o,a?相對于固

定坐標系旋轉(zhuǎn)或平移時，坐標系中的P點相對于固定坐標系也跟著改變，第一步變換后，P點相對于固定坐標系的坐標為：

P1,xyz?Rot(x,?)?P；（2.9）

其次步變換后，P點相對于固定坐標系的坐標為：

P2,xyz?Trans(l1,0,l3)?P(l1,0,l3)?Rot(x,?)?P；（2.9）1,xyz?Trans第三步變換后，P點相對于固定坐標系的坐標為：

P(l1,0,l3)?Rot(x,?)?P；（2.9）3,xyz?Rot(y,?)?P2,xyz?Rot(y,?)?Trans

每一步變換都是用變換矩陣左乘P點的坐標得到該點相對于固定坐標系的坐標，矩陣

的書寫順序和進行變換的順序正好相反，變換的順序很重要，假使顛倒了變換的順序，結(jié)果將完全不同。

1.2.4相對于動坐標系的變換

上述介紹的變換是相對于固定坐標系進行的，所有的平移距離和旋轉(zhuǎn)角度都是相對于參

考坐標系軸來測量的。在實際應用中，也有可能相對于動坐標系或當前坐標系的軸變換。點

P固連在動坐標系?n,o,a?上，依次進行下面三種變換：（1）繞a軸旋轉(zhuǎn)?度；（2）接著

沿n軸平移l1，沿a軸平移l3；（3）最終，繞o軸旋轉(zhuǎn)?度。

為了計算當前坐標系中點的坐標相對于參考坐標系的變化，這時需要右乘變換矩陣而不

是左乘。第一步變換后，P點相對于固定坐標系的坐標為：

P1,xyz?Rot(a,?)?P；其次步變換后，P點相對于固