江蘇省無錫市宜興市新建中學(xué)2015-2016學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析）蘇科版

PAGE2016學(xué)年江蘇省無錫市宜興市新建中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題 1．下列等式正確的是（） A．=﹣3 B．=±12 C．=﹣7 D．=22．下列說法正確的是（） A．等腰三角形的高，中線，角平分線互相重合 B．頂角相等的兩個等腰三角形全等 C．面積相等的兩個三角形全等 D．等腰三角形的兩個底角相等 3．如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是（） A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm4．如圖，∠ACD=90°，∠D=15°，B點在AD的垂直平分線上，若AC=4，則BD=（） A．4 B．6 C．8 D．105．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為（） A．30° B．40° C．50° D．60°6．如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點，下列結(jié)論中不正確的是（） A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD7．如圖，BI，CI分別是∠ABC和∠ACB的平分線，DE過I點且DE∥BC，則下列結(jié)論錯誤的是（） A．AI平分∠BAC B．I到三邊的距離相等 C．AI=ID D．DE=BD+CE 8．△ABC是等邊三角形，M是AC上一點，N是BC上的一點，且AM=BN，∠MBC=25°，AN與BM交于點O，則∠MON的度數(shù)為（） A．110° B．105° C．90° D．85°9．如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從盒外的B點沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點，螞蟻爬行的最短距離是（） A． B． C．1 D．2+10．若x、y為實數(shù)，，則4y﹣3x是． 二、填空題 11．16的平方根是，=． 12．等腰三角形一個角為50°，則此等腰三角形頂角為． 13．直角三角形中一直角邊的長為9，另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長為． 14．若一個正數(shù)的兩個平方根是2a﹣1和﹣a+2，則a=，這個正數(shù)是． 15．若|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，則x+y+z=． 16．如圖，在Rt△ABC中，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，AC=3cm，則AE+DE=cm． 17．若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，且最長邊為10cm，則最短邊長為cm． 18．若，且ab＜0，則a+b=． 19．一長方形的一邊長為3cm，面積為12cm2，那么它的一條對角線長是cm． 20．若，則bc+a的值為． 三、解答與證明 21．解方程： （1）x2﹣25=0 （2）（x﹣1）2=16． 22．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD，過點D作DF⊥BE，垂足為F．試說明：BF=EF． 23．如圖，A、D、E三點在同一直線上，∠BAE=∠CAE，∠BDE=∠CDE， （1）求證：AB=AC；（2）求證：AE⊥BC． 24．已知，如圖：A、E、F、B在一條直線上，AE=BF，∠C=∠B，CF∥DE， 求證：AC∥BD． 25．已知等腰三角形的三邊長a=5x﹣1，b=6﹣x，c=4，求x的值． 26．如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起？ 27．如圖，一張等腰直角三角形紙片，其中∠C=90°，斜邊AB=4，將紙片折疊，使點A恰好落在BC邊的中點D處，折痕為EF，求出AE的長度． 28．小王剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)行了如下的操作： 操作一：如圖1，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE． （1）如果AC=6cm，BC=8cm，可求得△ACD的周長為； （2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，可求得∠B的度數(shù)為； 操作二：如圖2，小王拿出另一張Rt△ABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，若AC=9cm，BC=12cm，請求出CD的長． 29．如圖①，長方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E為CD的中點．點P從A點出發(fā)，沿A﹣B﹣C的方向在長方形邊上勻速運動，速度為1cm/s，運動到C點停止．設(shè)點P運動的時間為ts．（圖②③為備用圖） （1）當(dāng)P在AB上，t為何值時，△APE的面積為長方形面積的？ （2）整個運動過程中，t為何值時，△APE為直角三角形？ （3）整個運動過程中，t為何值時，△APE為等腰三角形？ 2015-2016學(xué)年江蘇省無錫市宜興市新建中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題 1．下列等式正確的是（） A．=﹣3 B．=±12 C．=﹣7 D．=2【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡． 【分析】直接利用二次根式的定義以及二次根式的性質(zhì)分別化簡求出答案． 【解答】解：A、，無意義，故此選項錯誤； B、=12，故此選項錯誤； C、=7，故此選項錯誤； D、（﹣）2=2，正確． 故選：D． 【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 2．下列說法正確的是（） A．等腰三角形的高，中線，角平分線互相重合 B．頂角相等的兩個等腰三角形全等 C．面積相等的兩個三角形全等 D．等腰三角形的兩個底角相等 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定． 【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出A不正確、D正確；由全等三角形的判定方法得出B、C不正確；即可得出結(jié)果． 【解答】解：∵等腰三角形的底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線互相重合， ∴A不正確； ∵頂角相等的兩個等腰三角形相似，不一定全等， ∴B不正確； ∵面積相等的兩個三角形不一定全等， ∴C不正確； ∵等腰三角形的兩個底角相等， ∴D正確； 故選D． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定方法；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵． 3．如果等腰三角形兩邊長是6cm和3cm，那么它的周長是（） A．9cm B．12cm C．15cm或12cm D．15cm【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為6cm和3cm，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形． 【解答】解：當(dāng)腰為3cm時，3+3=6，不能構(gòu)成三角形，因此這種情況不成立． 當(dāng)腰為6cm時，6﹣3＜6＜6+3，能構(gòu)成三角形； 此時等腰三角形的周長為6+6+3=15cm． 故選D． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去． 4．如圖，∠ACD=90°，∠D=15°，B點在AD的垂直平分線上，若AC=4，則BD=（） A．4 B．6 C．8 D．10【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AB=BD，∠D=∠DAB，由三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系得到∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可． 【解答】解：∵B點在AD的垂直平分線上，∠D=15°， ∴AB=BD，∠D=∠DAB=15°， ∴∠ABC=∠D+∠DAB=30°， ∴AB=2AC， ∵AC=4， ∴AB=8， ∵AB=BD， ∴BD=8． 故選C． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，熟知線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵． 5．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點D，交BC于點E．已知∠BAE=10°，則∠C的度數(shù)為（） A．30° B．40° C．50° D．60°【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)計算． 通過已知條件由∠B=90°，∠BAE=10°?∠AEB， ∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C． 【解答】解：∵ED是AC的垂直平分線， ∴AE=CE ∴∠EAC=∠C， 又∵∠B=90°，∠BAE=10°， ∴∠AEB=80°， 又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C， ∴∠C=40°． 故選：B． 【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角和． 6．如圖，△ABC中，AB=AC，D是BC中點，下列結(jié)論中不正確的是（） A．∠B=∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB=2BD【考點】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】此題需對每一個選項進(jìn)行驗證從而求解． 【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中點 ∴∠B=∠C，（故A正確） AD⊥BC，（故B正確） ∠BAD=∠CAD（故C正確） 無法得到AB=2BD，（故D不正確）． 故選：D． 【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵熟練運用等腰三角形的三線合一性質(zhì) 7．如圖，BI，CI分別是∠ABC和∠ACB的平分線，DE過I點且DE∥BC，則下列結(jié)論錯誤的是（） A．AI平分∠BAC B．I到三邊的距離相等 C．AI=ID D．DE=BD+CE 【考點】角平分線的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形的角平分線相交于一點，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、∵三角形角平分線相交于一點，BI，CI分別是∠ABC和∠ACB的平分線， ∴AI平分∠BAC正確，故本選項錯誤； B、I為△ABC角平分線的交點，I到三邊的距離相等正確，故本選項錯誤； C、AI與DI的大小無法判斷，故本選項正確； D、∵BI，CI分別是∠ABC和∠ACB的平分線， ∴∠DBI=∠CBI，∠ECI=∠BCI， ∵DE∥BC， ∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠BCI， ∴∠DBI=∠DIB，∠ECI=∠EIC， ∴BD=DI，CE=EI， ∴DE=DI+EI=BD+CE， 即DE=BD+CE正確，故本選項錯誤． 故選C． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記三角形的角平分線相交于一點，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的解題的關(guān)鍵． 8．△ABC是等邊三角形，M是AC上一點，N是BC上的一點，且AM=BN，∠MBC=25°，AN與BM交于點O，則∠MON的度數(shù)為（） A．110° B．105° C．90° D．85°【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=∠B=60°，又因為AM=BN，AB=AB，所以△AMB≌△BNA，從而得到∠NAB=∠MBA=60°﹣∠MBC=35°，則∠MON=∠AOB=180°﹣2×35°=110°． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形 ∴∠A=∠B=60° ∵AM=BN，AB=AB ∴△AMB≌△BNA ∴∠NAB=∠MBA=60°﹣∠MBC=35° ∴∠AOB=180°﹣2×35°=110° ∵∠MON=∠AOB ∴∠MON=110° 故選A． 【點評】考查了等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合全等三角形求解． 9．如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從盒外的B點沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點，螞蟻爬行的最短距離是（） A． B． C．1 D．2+【考點】平面展開-最短路徑問題． 【分析】根據(jù)已知得出螞蟻從盒外的B點沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點，螞蟻爬行的最短距離是如圖BM的長度，進(jìn)而利用勾股定理求出即可． 【解答】解：∵螞蟻從盒外的B點沿正方形的表面爬到盒內(nèi)的M點， ∴螞蟻爬行的最短距離是如圖BM的長度， ∵無蓋的正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M， ∴A1B=2+2=4，A1M=1， ∴BM==． 故選B． 【點評】此題主要考查了平面展開﹣最短路徑問題，利用圖形得出最短路徑為BM是解題關(guān)鍵． 10．若x、y為實數(shù)，，則4y﹣3x是6． 【考點】二次根式有意義的條件． 【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，根據(jù)分式有意義的條件可得x﹣2≠0，再解不等式即可． 【解答】解：由題意得：x2﹣4≥0且4﹣x2≥0，x﹣2≠0， 解得：x=﹣2， 則y=0， 4y﹣3x=6， 故答案為：6． 【點評】此題主要考查了二次根式有意義和分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)． 二、填空題 11．16的平方根是±4，=1.2． 【考點】算術(shù)平方根；平方根． 【分析】一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)； 算術(shù)平方根的定義：一個非負(fù)數(shù)的正的平方根，即為這個數(shù)的算術(shù)平方根，由此即可求出結(jié)果． 【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4； =1.2． 【點評】此題主要考查了平方根與算術(shù)平方根的定義，算術(shù)平方根的概念易與平方根的概念混淆而導(dǎo)致錯誤． 12．等腰三角形一個角為50°，則此等腰三角形頂角為50°或80°． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】已知沒有給出50°的角是頂角和是底角，所以要分兩種情況進(jìn)行討論． 【解答】解：分為兩種情況： 當(dāng)50°是頂角時，頂角為50° 當(dāng)50°是底角時，其頂角是180°﹣50°×2=80° 故填50°或80°． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵． 13．直角三角形中一直角邊的長為9，另兩邊為連續(xù)自然數(shù)，則直角三角形的周長為90． 【考點】勾股定理． 【分析】連續(xù)自然數(shù)，兩數(shù)的差是1，較大的是斜邊，根據(jù)勾股定理就可解得． 【解答】解：設(shè)另一直角邊為a，斜邊為a+1． 根據(jù)勾股定理可得，（a+1）2﹣a2=92． 解之得a=40．則a+1=41，則直角三角形的周長為9+40+41=90． 故答案為：90． 【點評】本題綜合考查了勾股定理，解這類題的關(guān)鍵是利用直角三角形，用勾股定理來尋求未知系數(shù)的等量關(guān)系． 14．若一個正數(shù)的兩個平方根是2a﹣1和﹣a+2，則a=﹣1，這個正數(shù)是9． 【考點】平方根． 【分析】由于一個正數(shù)的平方根有兩個，且它們互為相反數(shù)，由此即可列出方程求解． 【解答】解：依題意得，2a﹣1+（﹣a+2）=0， 解得：a=﹣1． 則這個數(shù)是（2a﹣1）2=（﹣3）2=9． 故答案為：﹣1，9 【點評】本題考查了平方根的定義．注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)． 15．若|x﹣1|+（y﹣2）2+=0，則x+y+z=6． 【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方． 【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出x、y、z的值，代入所求代數(shù)式計算即可． 【解答】解：∵|x﹣1|+（y﹣2）2+=0， ∴x﹣1=0，y﹣2=0，z﹣3=0， ∴x=1，y=2，z=3． ∴x+y+z=1+2+3=6． 【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)都為0． 16．如圖，在Rt△ABC中，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，AC=3cm，則AE+DE=3cm． 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】要求AE+DE，現(xiàn)知道AC=3cm，即AE+CE=3cm，只要CE=DE則問題可以解決，而應(yīng)用其它條件利用角平分線的性質(zhì)正好可求出CE=DE． 【解答】解：∵∠ACB=90°， ∴EC⊥CB， 又BE平分∠ABC，DE⊥AB， ∴CE=DE， ∴AE+DE=AE+CE=AC=3cm 故答案為：3 【點評】此題主要考查角平分線性質(zhì)：角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等；做題時要認(rèn)真觀察各已知條件在圖形上的位置，根據(jù)位置結(jié)合相應(yīng)的知識進(jìn)行思考是一種很好的方法． 17．若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，且最長邊為10cm，則最短邊長為5cm． 【考點】含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)比例設(shè)∠A、∠B、∠C分別為k、2k、3k，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式求出各角的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴設(shè)∠A、∠B、∠C分別為k、2k、3k， k+2k+3k=180°， 解得k=30°， ∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， ∵最長邊為10cm， ∴最短邊長=×10=5cm． 故答案為：5． 【點評】本題考查了含30°角的直角三角形，主要利用了30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，根據(jù)比例求出各角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵． 18．若，且ab＜0，則a+b=﹣1． 【考點】算術(shù)平方根． 【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)進(jìn)而得出a，b的值，即可得出答案． 【解答】解：∵|a|=5，=2， ∴a=±5，b=4， ∵ab＜0， ∴a=﹣5，b=4， ∴a+b=﹣1． 故答案為：﹣1． 【點評】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 19．一長方形的一邊長為3cm，面積為12cm2，那么它的一條對角線長是5cm． 【考點】勾股定理． 【分析】先根據(jù)面積求出三角形另一邊的長，再根據(jù)勾股定理求出直角三角形斜邊長即可． 【解答】解：∵該長方形的一邊長為3cm，面積為12cm2， ∴另一邊長為4cm， ∴對角線長==5cm． 【點評】此題主要涉及的知識點：長方形的面積公式和勾股定理的應(yīng)用． 20．若，則bc+a的值為﹣3． 【考點】二次根式有意義的條件；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根． 【分析】根據(jù)二次根式的意義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．則a﹣5≥0，5﹣a≥0，求得a的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求得b，c的值，代入計算即可． 【解答】解：∵a﹣5≥0，5﹣a≥0， ∴a=5， ∴+|2c﹣6|=0， ∴b+2=0，2c﹣6=0， 解得b=﹣2，c=3， ∴bc+a=（﹣2）3+5 =﹣8+5 =﹣3， 故答案為﹣3． 【點評】本題考查了二次根式有意義的條件和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，同時考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個非負(fù)數(shù)都為0 三、解答與證明 21．解方程： （1）x2﹣25=0 （2）（x﹣1）2=16． 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】（1）先移項，然后開平方即可； （2）將（x﹣1）看作一個整體，然后開平方求出（x﹣1），繼而再求x的值． 【解答】解：（1）x2﹣25=0， x2=25， x1=﹣5，x2=﹣﹣5； （2）（x﹣1）2=16， x﹣1=±4， x1=﹣3，x2=5． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣﹣直接開平方法．用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）． 22．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是AC的中點，延長BC到E，使CE=CD，過點D作DF⊥BE，垂足為F．試說明：BF=EF． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】【分析】因為△ABC是等邊三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，點D是AC的中點，則∠DBC=30°，再由題中條件求出∠E=30°，易得△DBE為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論． 【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵點D是AC的中點， ∴∠DBC=∠ABC=30°， ∵CE=CD， ∴∠CDE=∠E， ∵∠ACB=∠CDE+∠E， ∴∠E=30°， ∴∠DBE=∠E， ∴△DBE為等腰三角形， ∵DF⊥BE， ∴BF=EF． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形“三線合一”是解答此題的關(guān)鍵． 23．如圖，A、D、E三點在同一直線上，∠BAE=∠CAE，∠BDE=∠CDE， （1）求證：AB=AC；（2）求證：AE⊥BC． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由題中條件兩角夾一邊判定△ADC≌△ADB，得出AB=AC，進(jìn)而亦可得出第二問的結(jié)論． 【解答】證明：（1）∵∠BDE=∠CDE，∠BAE=∠CAE，∴∠ADB=∠ADC， 又AD=AD， ∴△ADC≌△ADB，∴AB=AC， （2）在△ABC中，AB=AC，∠BAE=∠CAE，∴AE⊥BC． 【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握． 24．已知，如圖：A、E、F、B在一條直線上，AE=BF，∠C=∠B，CF∥DE， 求證：AC∥BD． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的判定與性質(zhì)． 【分析】求出AF=BE，根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠CFE=∠BED，根據(jù)AAS推出△ACF≌△BDE即可． 【解答】證明：∵CF∥DE， ∴∠CFE=∠BED， ∵AE=BF， ∴AF=BE， ∵∠C=∠B， 在△ACF和△BDE中 ， ∴△ACF≌△BDE（AAS）， ∴∠A=∠B， ∴AC∥BD 【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ACF≌△BDE，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等． 25．已知等腰三角形的三邊長a=5x﹣1，b=6﹣x，c=4，求x的值． 【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】分三種情況求解后利用三角形的三邊關(guān)系驗證． 【解答】解：若a=b，則5x﹣1=6﹣x， 得x=， 三邊長分別為，，5，符合三角形三邊關(guān)系； 若a=c，則5x﹣1=4， 得x=1， 三角形的三邊長為4，5，4，符合三角形三邊關(guān)系； 若b=c，則6﹣x=4， 得x=2， 三角形的三邊長為9，4，4，不構(gòu)成三角形； 綜上所述，符合要求的x值為或1； 【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是分類討論． 26．如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起？ 【考點】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求斜邊的值是13m，也就是兩樹樹梢之間的距離是13m，兩再利用時間關(guān)系式求解． 【解答】解：如圖所示： 根據(jù)題意，得 AC=AD﹣BE=13﹣8=5m，BC=12m． 根據(jù)勾股定理，得 AB==13m． 則小鳥所用的時間是13÷2=6.5（s）． 答：這只小鳥至少6.5秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起． 【點評】此題主要考查勾股定理的運用．關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，同時注意：時間=路程÷速度． 27．如圖，一張等腰直角三角形紙片，其中∠C=90°，斜邊AB=4，將紙片折疊，使點A恰好落在BC邊的中點D處，折痕為EF，求出AE的長度． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出BC的長，進(jìn)而得出BH，DH的長，再利用勾股定理得出AE的長． 【解答】解：作DH⊥AB于H， 可得等腰Rt△DBH，由AB=4，可知BC=sin45°×AB=×4=2， 于是BD=，BH=DH=×=1， 設(shè)AE=DE=x，則EH=4﹣1﹣AE=3﹣x， 在Rt△DEH中，（3﹣x）2+12=x2， 解得：x=， 故AE的長度為． 【點評】此題主要考查了翻折變換以及勾股定理等知識，根據(jù)已知得出BH=DH的長是解題關(guān)鍵． 28．小王剪了兩張直角三角形紙片，進(jìn)行了如下的操作： 操作一：如圖1，將Rt△ABC沿某條直線折疊，使斜邊的兩個端點A與B重合，折痕為DE． （1）如果AC=6cm，BC=8cm，可求得△ACD的周長為14cm； （2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，可求得∠B的度數(shù)為35°； 操作二：如圖2，小王拿出另一張Rt△ABC紙片，將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，若AC=9cm，BC=12cm，請求出CD的長． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】操作一利用對稱找準(zhǔn)相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分別利用周長及三角形的內(nèi)角和可求得答案； 操作二利用折疊找著AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，設(shè)CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案； 【解答】解：操作一： （1）由折疊的性質(zhì)可得AD=BD，∵△ACD的周長=AC+CD+AD， ∴△ACD的周長=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=1