第4章數(shù)據(jù)的概括性度量

第4章數(shù)據(jù)的概括性度量4.1集中趨勢的度量4.2離散程度的度量4.3偏態(tài)與峰態(tài)的度量學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 集中趨勢各測度值的計(jì)算方法2. 集中趨勢各測度值的特點(diǎn)及應(yīng)用場合3. 離散程度各測度值的計(jì)算方法4. 離散程度各測度值的特點(diǎn)及應(yīng)用場合偏態(tài)與峰態(tài)的測度方法用Excel計(jì)算描述統(tǒng)計(jì)量并進(jìn)行分析數(shù)據(jù)的特征和度量對于描述統(tǒng)計(jì)中的測度，主要可以分為三個(gè)方面來描述：一是數(shù)據(jù)的集中趨勢，反映各數(shù)據(jù)向其中心值靠攏或聚焦的程度；二是分布的離散程度，反映各數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離其中心值的趨勢；三是數(shù)據(jù)分布的形狀，即數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)和峰度。4.1集中趨勢的度量4.1.1分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)4.1.2順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)4.1.3數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)4.1.4眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較集中趨勢

(centraltendency)一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值低層次數(shù)據(jù)的測度值適用于高層次的測量數(shù)據(jù)，但高層次數(shù)據(jù)的測度值并不適用于低層次的測量數(shù)據(jù)平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)調(diào)查報(bào)告和政府權(quán)威部門公布的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，平均數(shù)是一種常見的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如平均增長速度、平均職工工資、平均價(jià)格等，用以顯示社會和經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一般水平和均衡狀態(tài)。統(tǒng)計(jì)中的平均數(shù)包括：眾數(shù)、中位數(shù)、四分位數(shù)、均值、幾何均值、切尾均值。一、分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)（一）眾數(shù)

(mode)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值適合于數(shù)據(jù)量較多時(shí)使用不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個(gè)眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)眾數(shù)

(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個(gè)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

364242（二）確定眾數(shù)的方法（1）由單項(xiàng)式數(shù)列確定眾數(shù)即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。（2）由組距式數(shù)列確定眾數(shù)確定眾數(shù)組，即次數(shù)最多的一組而后運(yùn)用書中公式計(jì)算眾數(shù)的近似值組距式數(shù)列確定眾數(shù)式中：L：眾數(shù)所在組的下限；U：眾數(shù)所在組的上限；△1：眾數(shù)組次數(shù)與下限相鄰組次數(shù)之差；△2：眾數(shù)組次數(shù)與上限相鄰組次數(shù)之差；i：眾數(shù)所在組的組距。公式應(yīng)用前提假設(shè)應(yīng)用該式時(shí)的假設(shè)：1.假定數(shù)據(jù)具有明顯的集中趨勢。2.假定眾數(shù)所在組與相鄰的上下組次數(shù)之差反映了偏態(tài)分布陡峭上升而緩慢下降的特點(diǎn)插值的出的。眾數(shù)體現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)思想：在一組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)附近，變量值出現(xiàn)的頻率較高，根據(jù)眾數(shù)組及相鄰組的頻數(shù)分布，確定中心點(diǎn)的位置。（三）特點(diǎn)和應(yīng)用條件1、眾數(shù)的特點(diǎn)是一種位置平均數(shù)不受極端標(biāo)志值或開口組的影響2、應(yīng)用條件在分配數(shù)列中，當(dāng)標(biāo)志值的次數(shù)有明顯集中趨勢的情況下，才能確定眾數(shù)。眾數(shù)的應(yīng)用1、分析列名尺度數(shù)據(jù)的平均水平時(shí)，宜采用眾數(shù)。列名尺度數(shù)據(jù)因?yàn)椴荒苡?jì)算中位數(shù)或均值，其中等水平或一般水平只能用眾數(shù)表示。如商品銷售情況的統(tǒng)計(jì)中，作為最受歡迎的、最大眾化的、最普遍的、銷售最大的類型；如民意測驗(yàn)中，作為反映民眾傾向的意見。眾數(shù)的應(yīng)用2、現(xiàn)象存在明顯集中趨勢時(shí)，宜采用眾數(shù)。眾數(shù)的應(yīng)用常出現(xiàn)在不確定情況下的理性決策中。如辦公桌椅的長寬比例、住宅房間的高度、汽車駕駛室的空間、成衣、鞋襪、帽子、自行車等商品的生產(chǎn)和銷售，廠家將消費(fèi)群體定格在社會大多數(shù)人身上，依據(jù)人體各部位數(shù)據(jù)的眾數(shù)來確定。如競選者會選擇在選民最感興趣話題上做文章。分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(例題分析)不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)果汁礦泉水綠茶其他碳酸飲料610118150.120.200.220.160.301220221630合計(jì)501100解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個(gè)分類變量，不同類型的飲料就是變量值所調(diào)查的50人中，購買碳酸飲料的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即

Mo＝碳酸飲料順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)

(例題分析)解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即

Mo＝不滿意甲城市家庭對住房狀況評價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)百分比(%)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意24108934530836311510合計(jì)300100.0二、順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)（一）中位數(shù)

(median)1.排序后處于中間位置上的值，永遠(yuǎn)在最中間，有一半數(shù)據(jù)大于它，一般數(shù)據(jù)小于它。Me50%50%2.各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即中位數(shù)

(median)3.不受極端值的影響，是一個(gè)位置代表值。4.主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)5.中位數(shù)分組數(shù)據(jù)公式是以各組數(shù)據(jù)在組中均勻分布這一假設(shè)為條件的。中位數(shù)

(位置的確定)1、由未分組數(shù)列確定中位數(shù)要注意n為奇數(shù)和偶數(shù)的不同。2、由分組數(shù)列確定中位數(shù)。確定中位數(shù)所在組根據(jù)公式確定中位數(shù)的近似值中位數(shù)

(位置和數(shù)值的確定)位置確定數(shù)值確定數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(9個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】

9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):

15007507801080850960200012501630排序:

7507808509601080

1250150016302000位置:123456789中位數(shù)

1080

數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(10個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

分組數(shù)列確定中位數(shù)式中：L：中位數(shù)所在組的下限；∑f：數(shù)列的次數(shù)總和；∑f/2：中位數(shù)的位次；fm：中位數(shù)所在組的次數(shù)；Sm－1：中位數(shù)所在組之前各組的累計(jì)頻數(shù)；中位數(shù)的應(yīng)用一則媒體報(bào)道：臺大醫(yī)院腫瘤醫(yī)學(xué)部主任醫(yī)師表示：美國食品藥物管理局新核準(zhǔn)的一種標(biāo)靶治療新藥，可有效提升局部晚期頭頸癌病人的存活率。若使用此藥于第一線治療，可將存活時(shí)間中位數(shù)由29.3個(gè)月提升到49個(gè)月。思考：以存活時(shí)間來說，均值和中位數(shù)，何者會給病人較多的信息？中位數(shù)的應(yīng)用當(dāng)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)極端值時(shí)，宜采用中位數(shù)。中位數(shù)不受極端值影響，適合反映數(shù)量差異懸殊現(xiàn)象的數(shù)量特點(diǎn)。因而在反映人民生活水平的一般水平時(shí)，應(yīng)采用中位數(shù)來計(jì)算，如人均收入、人均住房面積。歐美國家反映居民收入水平也多采用收入中位數(shù)，而不是采用均值。中位數(shù)的應(yīng)用世界各國表明人口的平均年齡，一般用年齡中位數(shù)。在醫(yī)學(xué)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)中，世界各國在反映嬰兒每個(gè)月的標(biāo)準(zhǔn)身高、體重和血液中各微量元素的含量均使用的是中位數(shù)。順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(例題分析)解：中位數(shù)的位置為(300+1)/2＝150.5從累計(jì)頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中中位數(shù)為

Me=一般甲城市家庭對住房狀況評價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—（二）四分位數(shù)

(quartile)排序后處于25%和75%位置上的值不受極端值的影響計(jì)算公式QLQMQU25%25%25%25%四分位數(shù)

(位置的確定)（1）由未分組資料計(jì)算四分位數(shù)。首先確定四分位數(shù)的位次，再找出對應(yīng)位次的標(biāo)志值即為四分位數(shù)。四分位數(shù)的計(jì)算是整數(shù)，則位次對應(yīng)的標(biāo)志值即為相應(yīng)的四分位數(shù)。設(shè)樣本容量為n，不是整數(shù)，則用相鄰位次上的標(biāo)志值的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)插值法計(jì)算四分位數(shù)。順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(例題分析)解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3×300)/4

=225從累計(jì)頻數(shù)看，QL在“不滿意”這一組別中；QU在“一般”這一組別中四分位數(shù)為

QL

=不滿意

QU

=一般甲城市家庭對住房狀況評價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(9個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)(4種方法計(jì)算)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:12345

6

789

數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

(10個(gè)數(shù)據(jù)的算例)【例】：10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910

（2）由分組資料計(jì)算四分位數(shù)——第

四分位數(shù)所在組的下限；——第

四分位數(shù)所在組的次數(shù)；——總次數(shù)，即各組次數(shù)總和；——小于第

四分位數(shù)所在組的各組次數(shù)之和；——第

四分位數(shù)所在組的組距。式中：第

四分位數(shù)的計(jì)算公式為：三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：平均數(shù)（一）均值（平均數(shù)）（Mean)全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，也稱算術(shù)平均數(shù)。平均數(shù)

(mean)也稱為均值集中趨勢的最常用測度值一組數(shù)據(jù)的均衡點(diǎn)所在體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征易受極端值的影響有簡單平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)之分根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為平均數(shù)，記為

；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本平均數(shù)，記為

x

x算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)均值是一組數(shù)據(jù)的重心所在，是數(shù)據(jù)誤差相互抵銷后的結(jié)果。簡單平均數(shù)

(Simplemean)設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x1，x2，…，xn(總體數(shù)據(jù)xN)樣本平均數(shù)總體平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)

(Weightedmean)設(shè)各組的組中值為：M1，M2，…，Mk

相應(yīng)的頻數(shù)為：f1，f2，…，fk樣本加權(quán)平均總體加權(quán)平均加權(quán)平均數(shù)

(例題分析)

某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)分組表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)Mifi

140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084558013952640472537003315205017209001175合計(jì)—12022200均值

(數(shù)學(xué)性質(zhì))1. 各變量值與均值的離差之和等于零2.各變量值與均值的離差平方和最小均值的應(yīng)用假設(shè)有一家新開的減肥中心，學(xué)員有5人。一個(gè)月后，其中一位“超級大戶”學(xué)員，從219斤減到了200斤，減了19斤；另外4位不僅沒減，還各自重了1斤。減肥中心開始打廣告：“全體學(xué)員平均一個(gè)月減重3斤”。思考：這說明均值的應(yīng)用有何局限性？（二）幾何均值

(geometricmean)1、幾何平均數(shù)是適用于特殊數(shù)據(jù)的一種平均數(shù)，主要適用于對比率數(shù)據(jù)的平均。2、是當(dāng)變量值本身是比率的形式，并且各比率的乘積等于總比率，應(yīng)采用幾何平均法計(jì)算平均比率。3、是n個(gè)變量值乘積的n次方根，主要用于計(jì)算平均增長率，如平均發(fā)展速度幾何均值

(geometricmean)4、計(jì)算公式為5.可看作是均值的一種變形幾何平均數(shù)

(例題分析)

【例】一位投資者購持有一種股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分別為4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。計(jì)算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率算術(shù)平均：

幾何平均：幾何平均數(shù)

(例題分析)【例】某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2000年與1999年相比增長率為9%，2001年與2000年相比增長率為16%，2002年與2001年相比增長率為20%。求各年的年平均增長率年平均增長率＝114.91%-1=14.91%（三）切尾均值

(trimmedMean)

去掉大小兩端的若干數(shù)值后計(jì)算中間數(shù)據(jù)的均值在電視大獎(jiǎng)賽、體育比賽及需要人們進(jìn)行綜合評價(jià)的比賽項(xiàng)目中已得到廣泛應(yīng)用計(jì)算公式為n表示觀察值的個(gè)數(shù)；α表示切尾系數(shù)，

四、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對稱分布

均值=中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)均值眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時(shí)應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時(shí)應(yīng)用4.2離散程度的度量4.2.1分類數(shù)據(jù)：異眾比率4.2.2順序數(shù)據(jù)：四分位差4.2.3數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差4.2.4相對離散程度：離散系數(shù)集中趨勢的各測度值是對數(shù)據(jù)一般水平的一個(gè)概括性度量，它對于一組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢的測度值對該組數(shù)據(jù)的代表性越差；離散程度越小，其代表性越好。離中趨勢數(shù)據(jù)分布的另一個(gè)重要特征反映各變量值遠(yuǎn)離其中心值的程度(離散程度)從另一個(gè)側(cè)面說明了集中趨勢測度值的代表程度不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測度值一、分類數(shù)據(jù)：異眾比率異眾比率

(variationratio)1. 對分類數(shù)據(jù)離散程度的測度2. 非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比例3. 計(jì)算公式為4.用于衡量眾數(shù)的代表性異眾比率

(例題分析)解：

在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購買其他品牌飲料的人數(shù)占70%，異眾比率比較大。因此，用“碳酸飲料”代表消費(fèi)者購買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)果汁礦泉水綠茶其他碳酸飲料610118150.120.200.220.160.301220221630合計(jì)501100二、順序數(shù)據(jù)：四分位差四分位差

(quartiledeviation)對順序數(shù)據(jù)離散程度的測度也稱為內(nèi)距或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差

Qd=QU

–QL反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性四分位差

(例題分析)解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2,一般為3,滿意為4,非常滿意為5。已知

QL

=不滿意=2

QU

=一般=3四分位差為

Qd

=QU

-

QL

=3–2

=1甲城市家庭對住房狀況評價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計(jì)頻數(shù)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意2410893453024132225270300合計(jì)300—三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差極差

(range)一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡單測度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布R

=max(xi)-min(xi)計(jì)算公式為平均差

(meandeviation)各變量值與其平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實(shí)際中應(yīng)用較少計(jì)算公式為未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)平均差

(例題分析)某電腦公司銷售量數(shù)據(jù)平均差計(jì)算表按銷售量分組組中值(Mi)頻數(shù)(fi)140~150150~160160~170170~180180~190190~200200~210210~220220~230230~24014515516517518519520521522523549162720171084540302010010203040501602703202700170200240160250合計(jì)—120—2040平均差

(例題分析)

含義：每一天的銷售量平均數(shù)相比，平均相差17臺

方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(VarianceandStandarddeviation)1. 離散程度的測度值之一2. 最常用的測度值3. 反映了數(shù)據(jù)的分布方差和標(biāo)準(zhǔn)差是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，反映了各變量值與均值的平均差異，能準(zhǔn)確反映出數(shù)據(jù)的離散程度。4681012

x=8.3方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(VarianceandStandarddeviation)5、根據(jù)總體數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差6、總體方差和樣本方差計(jì)算上的區(qū)別：總體方差是用數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)去除離差平方和；樣本方差是用樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)或總頻數(shù)減1去除離差平方和，即樣本方差用自由度n-1去除!總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(samplevarianceandstandarddeviation)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)未分組數(shù)據(jù)組距分組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!自由度

(degreeoffreedom)自由度是指數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與附加給獨(dú)立的觀測值的約束或限制的個(gè)數(shù)之差從字面涵義來看，自由度是指一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的個(gè)數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，若樣本平均數(shù)確定后，則附加給n個(gè)觀測值的約束個(gè)數(shù)就是1個(gè)，因此只有n-1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個(gè)數(shù)據(jù)不能自由取值按著這一邏輯，如果對n個(gè)觀測值附加的約束個(gè)數(shù)為k個(gè)，自由度則為n-k樣本方差

自由度(degreeoffreedom)例