第4章 圖像變換

第四章圖像變換李熙瑩副教授stslxy@一、概述為了對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析，將原來(lái)定義在空間域的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到另一些空間，利用這些空間特有的性質(zhì)進(jìn)行一些加工。數(shù)學(xué)上：

空域

其它域

(如頻域)的數(shù)學(xué)變換圖像（正交）變換廣泛地應(yīng)用在圖像增強(qiáng)、圖像復(fù)原、特征提取、圖像識(shí)別和圖像編碼壓縮等處理中。常用(正交)變換：傅里葉變換離散余弦變換小波變換離散K-L變換典型變換：傅里葉變換——頻率域傅里葉變換法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和/或余弦和的形式，每個(gè)正弦和/或余弦乘以不同的系數(shù)（傅里葉級(jí)數(shù)）。非周期函數(shù)（有限）也可以用正弦和/或余弦乘以加權(quán)函數(shù)的積分表示。

用傅里葉級(jí)數(shù)或變換表示的函數(shù)特征可以通過(guò)傅里葉反變換完全重建，不丟失任何信息。本章主要內(nèi)容圖像（正交）變換、頻域概念（離散）傅里葉變換和性質(zhì)圖像在離散傅里葉變換中的特性要求理解圖像變換（傅里葉變換）原理明確其在數(shù)字圖像處理上的應(yīng)用二、傅里葉變換(1)定義

f(x)為連續(xù)可積函數(shù)，其傅里葉變換定義為：1.一維傅里葉變換傅里葉變換的指數(shù)項(xiàng)可以寫(xiě)為：

每個(gè)u值都確定所對(duì)應(yīng)的正弦和余弦對(duì)的頻率，所以稱為頻率變量。

F(u)=R(u)+jI(u)幅度譜：相位譜：復(fù)數(shù)表示：指數(shù)表示：功率譜（譜密度）：也稱為f(x)的傅里葉頻譜傅里葉反變換為：(2)一維傅里葉變換舉例方波信號(hào)傅里葉變換后的幅度譜傅里葉變換~光學(xué)透鏡通過(guò)傅里葉變換，可以從頻率成分分析一個(gè)函數(shù)。圖4.1一維傅里葉變換舉例(3)一維離散傅里葉變換(DFT)一維離散傅里葉變換公式為：逆變換為：

函數(shù)f(x),x=0,1,2,…,N-1——表示從連續(xù)的公式取N個(gè)點(diǎn)。這些點(diǎn)是等間隔點(diǎn)。采樣：f(x0),f(x0+

x),…,f(x0+[N-1]

x)。f(x)=f(x0+x

x)F(u)=F(u

u)

u=1/N

x(a)(b)(c)(d)圖4.2一維離散傅里葉頻譜(a)一個(gè)M點(diǎn)離散函數(shù)（非零點(diǎn)K個(gè)）；(b)(a)的傅里葉頻譜(c)M點(diǎn)離散函數(shù)（非零點(diǎn)2K個(gè)）；(d)(c)的傅里葉頻譜2.二維傅里葉變換(1)定義：二維傅里葉變換由一維傅里葉變換推廣而來(lái)：逆變換：相位譜(相位角)：幅度譜(頻譜）：功率譜(譜密度)：例：給定二維方波f(x,y)如圖4-3（教材圖3-19）所示，求其傅里葉變換F(u,v)。(2)二維傅里葉變換舉例圖4.3二維方波f(x,y)二維方波幅度(傅里葉譜)：傅里葉變換：(3)二維離散傅里葉變換對(duì)于二維傅里葉變換，其離散形式為：逆變換為：幅譜(頻譜)、相譜：圖像矩陣實(shí)數(shù)頻域矩陣復(fù)數(shù)圖4.4傅里葉變換過(guò)程(4)二維離散傅里葉變換圖例傅里葉譜：|F(u,v)|=[R2(u,v)+I2(u,v)]1/2相位:

(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v))傅里葉譜圖(幅度譜)log(|F(u,v)|)相位譜圖圖4.5二維離散傅里葉變換舉例圖像的傅里葉變換例子圖4.6不同圖像的二維離散傅里葉變換從左到右：原圖像、幅度譜、相位譜

幾何圖形的二維離散傅里葉變換（頻譜）圖4.7圓斑及其傅里葉頻譜圖圖4.8方塊及其傅里葉頻譜圖圖4.9

其他幾何圖像及其傅里葉頻譜圖(5)傅里葉頻譜的意義原始圖像頻譜圖中心化并標(biāo)定的頻譜圖

相位譜圖中心化并標(biāo)定的相位譜圖頻譜中保留部分從左到右依次增大（園以中心為半徑）

由上一行對(duì)應(yīng)列頻譜圖重建的圖像頻譜中去除部分從左到右依次增大（園以中心為半徑）

由上一行對(duì)應(yīng)列頻譜圖重建的圖像圖4.10

傅里葉頻譜圖中不同位置點(diǎn)的含義(6)傅里葉變換應(yīng)用示例圖4.11應(yīng)用圖例圖像中的周期性噪聲產(chǎn)生了變換中的尖峰信號(hào)，可以通過(guò)修改傅里葉變換頻譜圖消除之。(7)幅值與相位在圖像恢復(fù)(反變換)中的作用只對(duì)幅度譜進(jìn)行恢復(fù)的結(jié)果只利用相位譜（頻譜為常數(shù)）進(jìn)行恢復(fù)的結(jié)果圖4.12

傅里葉頻譜和相位譜反變換對(duì)應(yīng)的圖像幅值譜幅值重構(gòu)圖像

相位重構(gòu)圖像相位譜圖4.13

傅里葉頻譜和相位譜反變換對(duì)應(yīng)的圖像(二)3.二維(離散)傅里葉變換性質(zhì)(1)線性性質(zhì)(2)比例(尺度變換)性質(zhì)(3)可分離性(3)可分離性圖像橫向縱向(4)空間位移(時(shí)間/空間平移)(5)頻率位移(頻率平移)圖像中心化當(dāng)圖像在頻率域時(shí)移動(dòng)時(shí)需要用到頻率位移性質(zhì)

把圖像進(jìn)行傅里葉變換后，往往要把中心移到u0=v0=N/2的位置上。圖4.14傅里葉頻譜中心化(a)512×512圖像，中心白色矩形大小為20×40，坐標(biāo)原點(diǎn)在左上角；(b)(a)的中心傅里葉頻譜，經(jīng)過(guò)了對(duì)數(shù)變換(a)(b)(6)周期性

F(u,v)=F(u+aN,v+bN),f(x,y)=f(x+aN,y+bN)(7)共軛對(duì)稱性(a)圖形的頻譜分析和顯示(b)圖像中心化周期性和共軛對(duì)稱性的應(yīng)用(8)旋轉(zhuǎn)不變性圖4.15圖像旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)的傅里葉頻譜圖(9)平均值(10)卷積定理(11)相關(guān)定理互相關(guān)：自相關(guān)：圖像相關(guān)圖4.16利用相關(guān)尋找圖像中特定字符(a)原始圖像(b)模板(c)相關(guān)圖像(d)其中一行取值最高相關(guān)值灰度級(jí)剖面線(12)帕塞瓦定理（能量定理）若f1(x,y)=f2(x,y)=f(x,y)，則有：4.快速傅里葉變換(FFT)離散傅里葉變換稱為信號(hào)處理的一種基礎(chǔ)工具的主要原因之一