專題22反比例函數(shù)的圖象(原卷版)

專題22反比例函數(shù)的圖象【知識梳理】知識點01反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的圖象特征：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，永遠(yuǎn)不會與軸、軸相交，只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.【點石成金】（1）若點()在反比例函數(shù)的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，)中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到軸和軸．2、畫反比例函數(shù)的圖象的基本步驟：（1）列表：自變量的取值應(yīng)以0為中心，在0的兩側(cè)取三對（或三對以上）互為相反數(shù)的值，填寫值時，只需計算右側(cè)的函數(shù)值，相應(yīng)左側(cè)的函數(shù)值是與之對應(yīng)的相反數(shù)；（2）描點：描出一側(cè)的點后，另一側(cè)可根據(jù)中心對稱去描點；（3）連線：按照從左到右的順序連接各點并延伸，連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接，切忌畫成折線.注意雙曲線的兩個分支是斷開的，延伸部分有逐漸靠近坐標(biāo)軸的趨勢，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；（4）反比例函數(shù)圖象的分布是由的符號決定的：當(dāng)時，兩支曲線分別位于第一、三象限內(nèi)，當(dāng)時，兩支曲線分別位于第二、四象限內(nèi)．3、反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）如圖1，當(dāng)時，雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而減??；（2）如圖2，當(dāng)時，雙曲線的兩個分支分別位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)，值隨值的增大而增大；【點石成金】反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，它的增減性都是在各自的象限內(nèi)的增減情況，反比例函數(shù)的增減性都是由反比例系數(shù)的符號決定的；反過來，由雙曲線所在的位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出的符號.知識點02反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.【點石成金】只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.【題型探究】1.在函數(shù)（為常數(shù)）的圖象上有三點()，()，()，且，則的大小關(guān)系是（）．A．B．C．D．【答案】D；【解析】解：因為，所以函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)，且在第二、四象限內(nèi)，隨的增大而增大．因為，所以．因為在第四象限，而，在第二象限，所以．所以．【總結(jié)】已知反比例函數(shù)，當(dāng)＞0，＞0時，隨的增大而減小，需要強調(diào)的是＞0；當(dāng)＞0，＜0時，隨的增大而減小，需要強調(diào)的是＜0．這里不能說成當(dāng)＞0，隨的增大而減?。绾瘮?shù)，當(dāng)＝－1時，＝－2，當(dāng)＝1時，＝2，自變量由－1到1，函數(shù)值由－2到2，增大了．所以，只能說：當(dāng)＞0時，在第一象限內(nèi)，隨的增大而減?。?.正比例函數(shù)y1=k1x的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點，其中點B的橫坐標(biāo)為﹣2，當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【點撥】由正、反比例函數(shù)的對稱性結(jié)合點B的橫坐標(biāo)，即可得出點A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合交點的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【答案】B．【解析】解：∵正比例和反比例均關(guān)于原點O對稱，且點B的橫坐標(biāo)為﹣2，∴點A的橫坐標(biāo)為2．觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＜﹣2或0＜x＜2時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，∴當(dāng)y1＜y2時，x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜2．【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的問題、反比例函數(shù)的性質(zhì)以及正比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出點A的橫坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，根據(jù)正、反比例的對稱性求出點A的橫坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)的上下位置關(guān)系結(jié)合交點坐標(biāo)即可求出不等式的解集．3.已知的圖象是雙曲線，且在第二、四象限，(1)求的值．(2)若點(－2，)、(－1，)、(1，)都在雙曲線上，試比較、、的大?。敬鸢浮拷猓?1)由已知條件可知：此函數(shù)為反比例函數(shù)，且，∴.(2)由(1)得此函數(shù)解析式為：．∵(－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴．而(1，)在第四象限，．∴4.如圖所示，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于M(2，)，N(－1，－4)兩點.(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)值的的取值范圍．【點撥】(1)由點N的坐標(biāo)為(－1，－4)，根據(jù)待定系數(shù)法可求反比例函數(shù)的關(guān)系式．從而求出點M的坐標(biāo)．再根據(jù)M、N的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)結(jié)合圖象位置和兩交點的坐標(biāo)，可得到使反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的值的的取值范圍．【解析】解：(1)設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式為．由N(－1，－4)，得，∴＝4．∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為．∵點M(2，)在雙曲線上，∴．∴點M(2，2)．設(shè)一次函數(shù)的關(guān)系式為，由M(2，2)、N(－1，－4)，得解得∴一次函數(shù)的關(guān)系式為．(2)由圖象可知，當(dāng)＜－1或0＜＜2時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．【總結(jié)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)同時滿足兩個函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．5.已知點A(0，2)和點B(0，－2)，點P在函數(shù)的圖象上，如果△PAB的面積是6，求P點的坐標(biāo)．【點撥】由已知的點A、B的坐標(biāo)，可求得AB＝4，再由△PAB的面積是6，可知P點到軸的距離為3，因此可求P的橫坐標(biāo)為±3，由于點P在的圖象上，則由橫坐標(biāo)為±3可求其縱坐標(biāo)．【解析】解：如圖所示，不妨設(shè)點P的坐標(biāo)為，過P作PC⊥軸于點C．∵A(0，2)、B(0，－2)，∴AB＝4．又∵且，∴，∴，∴．又∵在曲線上，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴P的坐標(biāo)為或．【總結(jié)】通過三角形面積建立關(guān)于的方程求解，同時在直角坐標(biāo)系中，點到坐標(biāo)軸的距離等于相應(yīng)坐標(biāo)的絕對值．6.如圖所示，已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A(3，2)．（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式．（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）M()是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中0＜＜3，過點M作直線MB∥軸，交軸于點B；過點A作直線AC∥軸交軸于點C，交直線MB于點D．當(dāng)四邊形OADM的面積為6時，請判斷線段BM與DM的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】解：（1）將A(3，2)分別代入，中，得，3＝2．∴＝6，．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，正比例函數(shù)的表達(dá)式為．（2）觀察圖象，在第一象限內(nèi)，當(dāng)0＜＜3時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值．（3）BM＝DM．理由：∵，∴，即OC·OB＝12．∵OC＝3，∴OB＝4，即＝4．∴．∴，．∴MB＝MD．【隨堂演練】1．已知是反比例函數(shù)圖象上三點，若，，則下列關(guān)系式不正確的是（）A． B． C． D．2．若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若點A（x1，1）、B（x2，－2）、C（x3，3）在反比例函數(shù)（k是常數(shù)）的圖象上，則x1、x2、x3的大小關(guān)系是（）A．x1＞x3＞x2 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x1＞x2 D．x3＞x2＞x14．已知反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點，若，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若點，，在反比例函數(shù)（是常數(shù)）的圖象上，，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．6．若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．己知點在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．8．下列說法正確的是（）A．函數(shù)的圖象是過原點的射線 B．直線經(jīng)過第一?二?三象限C．函數(shù)，y隨x增大而增大 D．函數(shù)，y隨x增大而減小9．位于第一象限的點E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，點F在x軸的正半軸上，O是坐標(biāo)原點．若EO=EF，EOF的面積等于2，則（）A．4 B．2 C．1 D．－210．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M，分別與AB、BC相交于點D、E．若四邊形ODBE的面積為6，則k的值為（）A． B． C．2 D．11．如圖，已知動點，分別在軸，軸正半軸上，動點在反比例函數(shù)圖象上，軸，當(dāng)點的橫坐標(biāo)逐漸增大時，的面積將會（）

A．越來越小 B．越來越大C．不變 D．先變大后變小12．已知反比例函數(shù)的解析式為y＝，且圖象位于第一、三象限，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)≠1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＜113．已知點在雙曲線上，點在直線上，則的值為______．14．如圖，一條直線經(jīng)過原點O，且與反比例函數(shù)y＝（k＞0）交于點A、C，過點A作AB⊥y軸，垂足為B，連接BC，若△ABC的面積為2，則k的值為___．15．已知：反比例函數(shù)y＝（m﹣3）xm﹣2的圖象是雙曲線．（1）求m的值；（2）若點（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在雙曲線上，試比較y1，y2，y3的大小關(guān)系．16．已知在函數(shù)中，隨的增大而增大，，（1）化簡；（2）點在函數(shù)圖象上，且縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的積為，求的值．17．如圖，點A是反比例函數(shù)圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸于點B，連接OA，若△OAB的面積為2，求該反比例函數(shù)的解析式．18．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數(shù)的表達(dá)式；（2）求的面積；（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)x取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．【高分突破】1．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）已知點在反比例函數(shù)的圖像上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）某反比例函數(shù)圖象上四個點的坐標(biāo)分別為，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）已知點均在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．4．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）已知都在反比例函數(shù)的圖象上，則a、b、c的關(guān)系是（

）A． B． C． D．6．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）在反比例函數(shù)的圖象上有兩點，當(dāng)時，有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（

）A．2 B． C．1 D．8．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別為與關(guān)于直線對稱，反比例函數(shù)的圖象與交于點．若，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象與過點的直線相交于、兩點．已知點的坐標(biāo)為，點為軸上任意一點．如果，那么點的坐標(biāo)為（

）A． B． C．或 D．或10．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，過的圖象上點A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．111．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）若點都在反比例函數(shù)的圖象上，則_______（填“”或“”）．12．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐