江蘇專(zhuān)版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線(xiàn)的方程3.1橢圓3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程分層作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.［探究點(diǎn)二］（多選題）已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),,為一動(dòng)點(diǎn),且,下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡不存在B.當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是橢圓,且焦距為3C.當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是橢圓,且焦距為6D.當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓2.［探究點(diǎn)一］方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是()A. B. C. D.3.［探究點(diǎn)二］如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.［探究點(diǎn)一］（多選題）已知為橢圓上一點(diǎn),,為橢圓的焦點(diǎn),且,若,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是()A. B. C. D.5.［探究點(diǎn)三］已知是橢圓上一點(diǎn),，是橢圓的左、右焦點(diǎn),若的內(nèi)切圓半徑的最大值為,,則的面積的最大值為()A.2 B. C. D.6.［探究點(diǎn)一］中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件:①橢圓一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；②橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.7.［探究點(diǎn)一］過(guò)點(diǎn),且與橢圓有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.8.［探究點(diǎn)二］已知橢圓,點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合.若點(diǎn)關(guān)于的焦點(diǎn),的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為,,線(xiàn)段的中點(diǎn)在上,則.9.［探究點(diǎn)一］求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:（1）兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,經(jīng)過(guò)點(diǎn);（2）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.（多選題）過(guò)已知圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)作圓與已知圓相切,則圓心的軌跡可以是()A.圓 B.橢圓 C.線(xiàn)段 D.射線(xiàn)11.已知的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，的周長(zhǎng)為18，則點(diǎn)的軌跡方程為()A. B.C. D.12.如圖,已知為橢圓的左焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),滿(mǎn)足且,則橢圓的方程為()A. B. C. D.13.已知為橢圓上的一點(diǎn),,分別為圓和圓上的點(diǎn),則的最小值為()A.5 B.7 C.13 D.1514.已知橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在橢圓上.若,則,的大小為.15.已知,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),且.若的面積為9,則.16.動(dòng)圓與定圓內(nèi)切，與定圓外切，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程；（2）若軌跡上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，求的值.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.在平面直角坐標(biāo)系中,已知的頂點(diǎn)和,頂點(diǎn)在橢圓上,則.3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過(guò)關(guān)知識(shí)點(diǎn)1橢圓的定義過(guò)關(guān)自診1.（1）×（2）×（3）√（4）×2.C[解析]根據(jù)題意,得,①當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足橢圓的定義,可得點(diǎn)的軌跡為以,為焦點(diǎn)的橢圓；②當(dāng)時(shí),,點(diǎn)在線(xiàn)段上,點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段；③當(dāng)時(shí),,不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn).綜上所述,點(diǎn)的軌跡為橢圓或線(xiàn)段或不存在.故選.知識(shí)點(diǎn)2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)關(guān)自診提示不一定，只需，即可，，的大小關(guān)系不確定.提示能.根據(jù)與的分母的大小來(lái)判定,哪個(gè)的分母大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上.3.4[解析]設(shè)所求距離為.在中,,所以,所以,所以.4.（1）解由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,且,,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,且,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可得,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1.待定系數(shù)法【例1】（1）解因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.因?yàn)?所以.又,所以.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上,所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,所以解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）（方法1）①當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.②當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.依題意有解得因?yàn)椴粷M(mǎn)足,所以無(wú)解.綜上可知,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法2）設(shè)所求橢圓的方程為,依題意有解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.變式訓(xùn)練1（1）解由已知得,因此.又因?yàn)?所以.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上,設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由已知得.又因?yàn)?所以.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,即.從而有,解得或（舍去）.因此,從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.角度2.定義法【例2】解圓和圓的圓心和半徑分別為,；,.設(shè)動(dòng)圓圓心為,半徑為,由題意有,,.由橢圓的定義可知點(diǎn)在以,為焦點(diǎn)的橢圓上,且,,.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.變式探究解設(shè)動(dòng)圓圓心為，半徑為.由圓與圓內(nèi)切，得;由圓與圓內(nèi)切，得.則.則點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓,且,即,,則.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程是.探究點(diǎn)二對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解【例3】（1）B[解析]依題意有解得或,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）[解析]由題意知,將橢圓方程化為,依題意有解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式訓(xùn)練2[解析]方程化為,依題意應(yīng)有,解得或.探究點(diǎn)三橢圓中的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例4】[解析]如圖,由,知,,.所以,,.所以.設(shè),則.因?yàn)?所以.所以.所以.變式訓(xùn)練3（1）解由題意知,在橢圓上,故有,,,的周長(zhǎng)為,的周長(zhǎng)為20.（2）如果不垂直于軸,的周長(zhǎng)仍為20不變.理由：,和與軸是否垂直無(wú)關(guān).本節(jié)要點(diǎn)歸納分層作業(yè)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.AC[解析]當(dāng)時(shí),,故點(diǎn)的軌跡不存在,故正確；當(dāng)時(shí),,故點(diǎn)的軌跡是橢圓,且焦距為,故錯(cuò)誤,正確；當(dāng)時(shí),,故點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段,故錯(cuò)誤.2.D[解析]方程表示平面內(nèi)到定點(diǎn),的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡,它的軌跡是以,為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸,焦點(diǎn)的橢圓,,,,橢圓的方程是,即為化簡(jiǎn)的結(jié)果.3.D[解析]由題意可得,方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,所以,,并且,解得.故選.4.BC[解析]由已知,所以.因?yàn)?所以.所以.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或.故選.5.A[解析]如圖,由題意可得,,,設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,所以.因?yàn)榈膬?nèi)切圓半徑的最大值為,所以.因?yàn)?所以,可得.又因?yàn)?由,求得,所以的面積.故選.6.[解析]由條件①可得橢圓的焦點(diǎn)在軸上,且,所以,①則可設(shè)橢圓方程為,代入點(diǎn),得,②由①②可得,,所以橢圓的方程為.7.[解析]橢圓的焦點(diǎn)為,設(shè)橢圓方程為,則有,①再代入點(diǎn),得,②由①②解得,.則所求橢圓方程為.8.12[解析]如圖,取的中點(diǎn),在橢圓上,因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的焦點(diǎn),的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為,,故有,,所以.9.（1）解（方法1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上,所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由橢圓的定義知,所以.又,所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法2）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上,所以可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意得解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（方法1）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.同理可得,焦點(diǎn)在軸上的橢圓不存在.綜上,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（方法2）設(shè)橢圓的一般方程為.將兩點(diǎn),代入,得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.AB[解析]如圖,設(shè)已知圓的圓心為,半徑為,圓內(nèi)的定點(diǎn)為,動(dòng)圓的半徑為.若點(diǎn)與點(diǎn)不重合,由于兩圓相內(nèi)切,則,由于,,即.動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn),的距離和為常數(shù).為圓內(nèi)的定點(diǎn),.動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.若,重合為一點(diǎn),則此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓.11.A[解析]依題意得，點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為,則，，從而.又，，三點(diǎn)不共線(xiàn)，點(diǎn)不在軸上，點(diǎn)的軌跡方程為.故選.12.C[解析]由題意可得,設(shè)右焦點(diǎn)為,連接,如圖,由知,,,,,即,在中,由勾股定理,得,由橢圓的定義,得,從而,,于是,橢圓的方程為.13.B[解析]由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),分別是兩圓的圓心,且,從而的最小值為.14.2;[解析]由,且，知.在中，.故.15.3[解析]由題意得，,,,,,.16.（1）解如圖，設(shè)動(dòng)圓的半徑