新教材2023-2024學年高中數(shù)學第1章數(shù)列1.4數(shù)學歸納法課件湘教版選擇性必修第一冊

第1章*1.4數(shù)學歸納法課標要求1.了解數(shù)學歸納法的原理;2.能夠用數(shù)學歸納法證明一些簡單的命題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升學以致用·隨堂檢測全達標目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點數(shù)學歸納法在證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時,可采用下面兩個步驟:(1)證明

(n0∈N+)時命題成立;

(2)假設(shè)

時命題成立,證明當

時命題也成立.

只要完成這兩個步驟,就可以知道:對任何從n0開始的正整數(shù)n,命題成立.滿足命題的最小的正整數(shù)的值

這種證明方法叫作

.

n=n0n=k(k∈N+,k≥n0)n=k+1數(shù)學歸納法

名師點睛1.數(shù)學歸納法是一種直接證明的方法.一般地,與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除、數(shù)列的通項公式及前n項和等問題都可以用數(shù)學歸納法證明.但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學歸納法解決.2.步驟(2)是數(shù)學歸納法證明命題的關(guān)鍵.假設(shè)“當n=k(k∈N+,k≥n0)時命題成立”起著已知的作用,證明“當n=k+1時命題也成立”的過程中,必須用到假設(shè),再根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等推證出當n=k+1時命題也成立.而不能直接將n=k+1代入假設(shè),此時n=k+1時命題成立也是假設(shè),命題并沒有得證.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學命題的證明只能用數(shù)學歸納法.(

)(2)用數(shù)學歸納法證明問題時,假設(shè)可以不用.(

)(3)不論是等式還是不等式,用數(shù)學歸納法證明時,由n=k到n=k+1,項數(shù)都增加了一項.(

)×××2.第一個值n0是命題成立的第一個正整數(shù),n0的值都是1嗎?3.與正整數(shù)n無關(guān)的數(shù)學命題能否應(yīng)用數(shù)學歸納法?提示n0只是滿足命題的最小的正整數(shù),但不一定是1.提示不能.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一用數(shù)學歸納法證明等式這表明,當n=k+1時,等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,對于任何n∈N+,等式都成立.規(guī)律方法

用數(shù)學歸納法證明等式的方法

[提醒]用數(shù)學歸納法證明等式的易錯之處:(1)正確分析由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1時式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學歸納法成功證明問題的保障;(2)在證明“當n=k+1時命題也成立”中一定要利用假設(shè),這是數(shù)學歸納法證明的核心環(huán)節(jié),否則這樣的證明就不是數(shù)學歸納法證明.變式訓練1用數(shù)學歸納法證明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,其中n∈N+.證明(1)當n=1時,左邊=1×4=4,右邊=1×22=4,左邊=右邊,等式成立.(2)假設(shè)當n=k時,等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,那么,當n=k+1時,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2.這表明,當n=k+1時,等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,等式對任何正整數(shù)n都成立.探究點二歸納—猜想—證明S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表達式,并用數(shù)學歸納法加以證明.分析

根據(jù)遞推關(guān)系式,依次求出n=1,2,3,4時的Sn與項數(shù)n的關(guān)系,歸納、猜想Sn與項數(shù)n的關(guān)系后利用數(shù)學歸納法證明.用數(shù)學歸納法證明:這表明,當n=k+1時,猜想也成立.由(1)和(2)可以斷定,對任意正整數(shù)n,猜想均成立.規(guī)律方法

“歸納—猜想—證明”的一般步驟

變式訓練2(1)求出a2,a3并猜想an的通項公式;(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.本節(jié)要點歸納1.知識清單:數(shù)學歸納法的兩個步驟:(1)證明n=n0(n0∈N+)時命題成立;(2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥n0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立.2.方法歸納:利用兩個步驟證明等式,歸納—猜想—證明.3.常見誤區(qū):驗證n=n0時不能準確找到n0,在證明步驟(2)時沒有利用假設(shè).學以致用·隨堂檢測全達標123451.用數(shù)學歸納法證明“1+a+a2+…+(a≠1,n∈N+)”.在驗證n=1時,左端計算所得項為(

)A.1+a

B.1+a+a2C.1+a+a2+a3

D.1+a+a2+a3+a4C解析

將n=1代入a2n+1得a3,故選C.123452.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”的第二步是(

)A.假設(shè)當n=2k+1(k∈N+)時正確,再推當n=2k+3時正確B.假設(shè)當n=2k-1(k∈N+)時正確,再推當n=2k+1時正確C.假設(shè)當n=k(k∈N+)時正確,再推當n=k+1時正確D.假設(shè)當n≤k(k∈N+)時正確,再推當n=k+2時正確B123453.用數(shù)學歸納法證明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的過程如下:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=21-1=1,等式成立.(2)假設(shè)當n=k時,等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,那么,當n=k+1時,1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1.這表明,當n=k+1時,等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,對于任何n∈N+,等式都成立.上述證明過程是否正確:

.(填“正確”或“不正確”)

不正確解析

本題在由n=k成立,證n=k+1成立時,應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式,而未用上假設(shè),這與數(shù)學歸納法的要求不符.123454.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,Sn=n2an.依次計算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表達式為

.

123455.用數(shù)學歸納法證明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+).證明(1)當n=1時,左邊=1,右邊=2×12-1=1,左邊=右邊,等式成立.(2)假設(shè)當n=k時,等式成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-