新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章計(jì)數(shù)原理本章總結(jié)提升課件湘教版選擇性必修第一冊

第4章本章總結(jié)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建歸納整合專題突破素養(yǎng)提升目錄索引

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建歸納整合專題突破素養(yǎng)提升專題一兩個計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是求解排列組合問題的基礎(chǔ),主要通過對問題進(jìn)行分類或者分步進(jìn)行分析求解.兩個計(jì)數(shù)原理主要是提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例1】某市開展“學(xué)生體質(zhì)健康提升工程”系列活動,舉行一年一度的春季中學(xué)生運(yùn)動會.某校決定從6名運(yùn)動員(含甲、乙運(yùn)動員)中選4人參加4×100米接力賽,在下列條件下,各有多少種不同的排法?(1)甲、乙兩人都不入選;(2)甲、乙兩人必須入選,且跑中間兩棒;(3)甲不跑第一棒,且乙不跑第四棒.分析本題中是含特殊位置與特殊元素的排列問題,求解時,可根據(jù)題目要求,恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類與分步.解

(1)甲、乙兩人都不入選,則剩下的4人參加,對這4個排列進(jìn)行全排列,則共有

=24種排法.(2)根據(jù)題意,分兩步進(jìn)行:第一步,甲、乙兩人必須入選且跑中間兩棒,則甲、乙兩人的排法有

=2種;第二步,在剩下的4人選2人,跑第一棒和第四棒,有

=12種排法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得甲、乙兩人必須入選,且跑中間兩棒共有2×12=24種不同的排法.(3)根據(jù)題意分兩類進(jìn)行:第一類,若甲跑第四棒,此時只需在剩下的5人中任選3人,安排在第一、根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得,甲不跑第一棒乙不跑第四棒共有60+192=252種安排方法.規(guī)律方法

應(yīng)用兩個計(jì)數(shù)原理解題的方法(1)選擇使用兩個原理解決問題時,要根據(jù)我們完成某件事情采取的方式而定,確定是分類還是分步,要抓住兩個原理的本質(zhì).(2)分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“類”,而分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是“步”,分步時首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個分步的標(biāo)準(zhǔn);其次,分步時還要注意滿足完成一件事必須只有連續(xù)完成這n個步驟后,這件事才算完成,只有滿足了上述條件,才能用分步乘法計(jì)數(shù)原理.(3)對于一些比較復(fù)雜的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題,要注意分類中含分步,分步中含分類.變式訓(xùn)練1如圖,一個地區(qū)分為5個區(qū)域,現(xiàn)給這5個區(qū)域進(jìn)行著色,要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色,現(xiàn)有4種顏色可供選擇,求不同著色方法共有多少種.(以數(shù)字作答)解

因區(qū)域1與其他四個區(qū)域都相鄰,宜先考慮,區(qū)域1有4種涂法.若區(qū)域2,4同色,有3種涂法,此時區(qū)域3,5均有2種涂法,共有4×3×2×2=48種涂法;若區(qū)域2,4不同色,先涂區(qū)域2有3種方法,再涂區(qū)域4有2種方法,此時區(qū)域3,5都只有1種涂法,共有4×3×2×1×1=24種涂法,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,可得不同的涂法共有48+24=72種.專題二排列組合的綜合應(yīng)用排列組合的綜合應(yīng)用是本章的核心內(nèi)容,求解排列組合應(yīng)用題時,應(yīng)明確分類與分步的標(biāo)準(zhǔn),按照元素的性質(zhì)進(jìn)行分類,按照事件發(fā)生的過程分步,對于含限制條件較復(fù)雜的問題,應(yīng)將問題分解成若干個簡單的基本問題后結(jié)合兩個計(jì)數(shù)原理求解.排列組合的綜合應(yīng)用主要是提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).【例2】在高三一班元旦晚會上,有6個演唱節(jié)目、4個舞蹈節(jié)目.(1)當(dāng)4個舞蹈節(jié)目要排在一起時,有多少種不同的節(jié)目安排順序?(2)當(dāng)要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時,有多少種不同的節(jié)目安排順序?(3)若已定好節(jié)目單,后來情況有變,需加上詩朗誦和快板2個欄目,但不能改變原來節(jié)目的相對順序,有多少種不同的節(jié)目演出順序?分析按照“特殊元素先排法”分步進(jìn)行,先特殊后一般.解

(1)第一步,先將4個舞蹈節(jié)目進(jìn)行排序,有

種方法;第二步,將4個舞蹈節(jié)目捆綁起來,看成1個節(jié)目,與6個演唱節(jié)目一起排列,有

=5

040種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有5

040×24=120

960種不同的排法.(2)第一步,將6個演唱節(jié)目進(jìn)行排列,共有

=720種方法;第二步,再將4個舞蹈節(jié)目排在演唱節(jié)目產(chǎn)生的7個空隙中,則共有

=7×6×5×4=840種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有720×840=604

800種不同的排法.規(guī)律方法

求解排列問題的六種主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空中定序問題除法處理對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法變式訓(xùn)練2現(xiàn)有7位高中畢業(yè)生,其中4名男生、3名女生,(1)他們準(zhǔn)備報(bào)考3所高等院校,每人報(bào)且只報(bào)一所,不同的報(bào)名方法共有多少種?(2)他們準(zhǔn)備報(bào)考6所高等院校,每人報(bào)且只報(bào)一所,且要求每所院校都有學(xué)生報(bào)考,不同的報(bào)名方法共有多少種?(3)7人站成一排合影留念,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法?(4)7人站成一排合影留念,要求女生按從左到右由高至矮排列,共有多少種不同的排法?(5)從7人中選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,要求至少有一名女生,共有多少種不同的選法?解

(1)每一個人都有3種選擇,故可知共有37種報(bào)名方法.(3)先把甲乙,丙丁分別捆綁在一起看作兩個元素,再和另外的3人進(jìn)行全排列,故有

=480種不同的排法.(4)先把7人全排列,再除以3名女生的順序,故有

=840種不同的排法.(5)利用間接法,從7人中選3人,再排除全是男生的情況,有

=35-4=31種不同的選法.專題三二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理的核心內(nèi)容是二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

(0≤r≤n,r∈N,n∈N+),它主要體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式中的指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)的變化,它在求展開式的某些特定項(xiàng)(如含指定冪的項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、中間項(xiàng)、有理項(xiàng)、系數(shù)最大的項(xiàng)等)及其系數(shù)等方面有著廣泛的應(yīng)用.利用二項(xiàng)式定理求解實(shí)際問題,主要是提升數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例3】已知(+3x)n展開式各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開式中含有x4的項(xiàng);(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).分析(1)根據(jù)題意,得到各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和,求得n,化簡得到通項(xiàng)Tr+1,結(jié)合通項(xiàng),即可求解;(2)由n可得到二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng),結(jié)合(1)中的通項(xiàng),即可求解;(3)設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)系數(shù)最大,列出不等式組,求得r,代入通項(xiàng),即可求解.解

(1)令x=1,可得二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為4n,又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,則可得4n-2n=992,解得n=5,即展開式中含有x4的項(xiàng)為90x4.(2)因?yàn)閚=5,所以展開式共6項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第三、四項(xiàng),規(guī)律方法

應(yīng)用二項(xiàng)式定理解題的方法(1)求(a+b)n展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)、特定項(xiàng)等常借助二項(xiàng)式的通項(xiàng);(2)求展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和用“賦值法”,而求展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和是一個定值2n;(3)展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

與第r+1項(xiàng)的系數(shù),在一般情況下是不相同的,在具體求各項(xiàng)的系數(shù)時,一般先處理符號,對根式和指數(shù)的運(yùn)算要細(xì)心,以防出差錯;(4)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值只與n有關(guān),而展開式的系數(shù)的最大值要利用