《高等數(shù)學(xué)》電子（同濟(jì)第六版）04第三章 第4節(jié) 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性

一、單調(diào)性的判別法三、小結(jié)及作業(yè)1整理課件一、單調(diào)性的判別法定理2整理課件證應(yīng)用拉氏定理,得3整理課件4整理課件例2解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．5整理課件（2）函數(shù)在整個(gè)定義域上不一定是單調(diào)的，但在不同的區(qū)間上具有單調(diào)性，且改變單調(diào)性的點(diǎn)只可能是的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．6整理課件）（4）區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,（3）討論函數(shù)單調(diào)性的步驟：1）確定函數(shù)的定義域；2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；3）這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，列表討論。7整理課件的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為例3確定函數(shù)8整理課件例4解單調(diào)區(qū)間為9整理課件例5證10整理課件證明：因此，單調(diào)減少,f(x)

單調(diào)減少也就是11整理課件12整理課件問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方13整理課件1.曲線的凹凸與拐點(diǎn)的定義定義1.設(shè)函數(shù)

在區(qū)間上連續(xù),(1)若恒有則稱的圖形是凹的;(2)若恒有則稱的圖形函數(shù)圖形上凹凸的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.是凸的.14整理課件2、曲線凹凸的判定定理115整理課件證:利用一階泰勒公式可得兩式相加16整理課件例1.判斷曲線的凹凸性.解:當(dāng)時(shí)時(shí)故曲線在上是向上凹的.說(shuō)明(1)在個(gè)別二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),若此點(diǎn)兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),則不改變曲線的凹凸性.17整理課件例2解注意到,18整理課件例3.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).19整理課件（c）檢查在這些點(diǎn)左右兩邊的符號(hào)，從而決定曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。（3）判別曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的方法步驟：（a）求出；（b）求出使的點(diǎn)及不存在的點(diǎn)；20整理課件例4.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求函數(shù)二階導(dǎo)為零的點(diǎn)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).故該曲線在上凸21整理課件證明：22整理課件23整理課件三、小結(jié)

單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用.

定理中的區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.

應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式.曲線的彎曲方向——凹凸性;凹凸性的判定.改變彎曲方向的點(diǎn)——拐點(diǎn);拐點(diǎn)的求法1,2.24整理課件1,3(1,4,5,6),5(1,2,4,5),6,8(1,3),9(1,3,6),10(1,2),13,1425整理課件思考題26整理課件思考題解答例27整理課件練習(xí)題28整理課件29整理課件練習(xí)題答案30整理課件31整理課件思考題32整理課件思考題解答不能斷定.例但33整理課件當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，注意可以任意大，故在