理學差異量數(shù)

第四章差異量數(shù)差異量數(shù)是對一組數(shù)據(jù)的變異性（離中趨勢）進行度量和描述的統(tǒng)計量。常用的差異量數(shù)：絕對差異量數(shù)：全距、四分位差、百分位差、平均差、標準差、方差等。相對差異量數(shù)：異眾比例、平均差系數(shù)、標準差系數(shù)（差異系數(shù)）和一些常用的偏態(tài)系數(shù)。第一節(jié)全距、百分位差與四分位差1.全距(Range)

R=Xmax–Xmin

[例]求74，84，69，91，87，74，69的全距。[解]把數(shù)字按順序排列：69，69，74，74，84，87，91

R=Xmax–Xmin

＝91—69＝22最大值和最小值之差，也叫極差。全距越大，表示變動越大。

運用上述方法計算左邊數(shù)列的全距對分組資料，不能確知最大值和最小值，求全距：（1）用組值最大組的組中值減去最小組的組中值

（2）用組值最大組的上限減去最小組的下限（3）用組值最大組的組中值減去最小組的下限或最大組的上限減去最小組的組中值組距f150~1563156~1629162~16825168~17434174~18020180~1867186~1921192~1981合計100優(yōu)點：缺點：計算簡單、直觀。

（1）受極端值影響大；（2）沒有度量中間各個單位間的差異性，數(shù)據(jù)利用率低，信息喪失嚴重；（3）受抽樣變動影響大，大樣本全距比小樣本全距大。百分位差百分位差是指兩個百分位數(shù)之差。常用的百分位差有兩種：p90-p10

，p93-p7百分位數(shù)能夠較好的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度。百分位數(shù)百分等級百分等級是指一組有序數(shù)據(jù)中某一數(shù)據(jù)以下所含次數(shù)占總次數(shù)的百分比，通常用符號PR表示。在教育上，常用百分等級表示一個分數(shù)在團體中的相對位置。百分等級越低，個體在團體中所處的地位越差。如果某分數(shù)的百分等級PR=70，則表明團體中有70%的人的成績低于該分數(shù)。百分等級對于分組資料，計算百分等級的公式為例196名學生外語考試成績的次數(shù)分布表如下。某考生分數(shù)為83，求其百分比等級是多少？組限次數(shù)累積次數(shù)(由下向上)95-99319690-94619385-89718780-841418075-791616670-743515065-694211560-64307355-59214350-5462245-4941640-4441235-393830-342525-292320-2411合計196

196名學生外語成績次數(shù)分布表解：因83屬于80-84組，所以有f=14Fb=166,Lb=79,i=5,N=196。將上述數(shù)值代入公式，得

即該生成績的百分等級為90，表明團體中有90%的學生成績低于他的成績。中間50%的次數(shù)的距離的一半。簡言之：第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的差值的一半。避免全距受極端值影響大的缺點。通常與中位數(shù)配合使用。四分位差2023/10/2513未分組資料求四分位數(shù)的方法同中數(shù)。分組資料Q1和Ｑ3的求法，Q1和Q3的公式分別為(3.7)(3.8)2023/10/2514某校144名學生的外語成績次數(shù)如下，求其四分位差。X次數(shù)f由下向上累加次數(shù)90-94114485-89314380-84514075-791613570-741811965-692210160-64307955-59254950-54162445-493844以下55表3-5某校144名學生外語成績次數(shù)分布表

解：首先確定Q1和Q3所在組，方法同確定中位數(shù)。由于N=144，N/4=36，3N/4=108，所以Q1在55-59組，Q3在70-74組。

最后將求得的Q1和Q3代入公式，得即144名學生外語成績的四分位差為7.27分。第二節(jié)平均差、方差、標準差要測定變量值的離中趨勢，尤其是要測定各變量值相對于平均數(shù)的差異情況，一個很自然的想法就是計算各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差。平均差是離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)。1.對于未分組資料

2.對于分組資料

[例1]試分別以算術(shù)平均數(shù)為基準，求85，69，69，74，87，91，74這些數(shù)字的平均差。

[例2]試以算術(shù)平均數(shù)為基準，求下表所示數(shù)據(jù)的平均差。

組距f150~1563156~1629162~16825168~17434174~18020180~1867186~1921192~1981合計100第二節(jié)平均差、方差、標準差平均差優(yōu)缺點：優(yōu)點：平均差優(yōu)于四分位差和極差。用離開平均數(shù)的平均距離表示數(shù)據(jù)的離散程度，符合人們常識，易于理解。計算考慮了每一個數(shù)值，穩(wěn)定可靠。不易受樣本抽樣影響。缺點計算過程中求絕對值，不適合進行下一步代數(shù)運算。第二節(jié)平均差、方差、標準差標準差是一組數(shù)據(jù)中每個數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)之差的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平方根。用符號S表示?！捶纸M資料計算標準差1、基本公式法

例某校四年級舉行數(shù)學競賽，一班、二班分別派九名選手參加，如下表。試比較兩個班的成績。X929083807570625550X-19171072-3-11-18-23(X-)^23612891004949121324529表4-1一班成績統(tǒng)計表X1009795858075624020X-2724221272-8-33-53(X-)^27295764841444946410892089表4-2二班成績統(tǒng)計表解：先求四年一班的平均數(shù)和標準差。算得再求四年一班的平均數(shù)和標準差。得從以上計算可知，兩班平均數(shù)都是73分，說明兩班的平均水平相同。但它們的標準差不同，說明兩班成績的差異程度很不相同。一班的差異程度較小，平均分數(shù)73的代表性就較大；二班的差異程度較大，平均分數(shù)73的代表性就小些。2、原始數(shù)據(jù)法為了減少計算量，可將公式進行轉(zhuǎn)換，使公式中參與運算的變量皆為原始數(shù)據(jù)。公式為例2用原始數(shù)據(jù)法計算表4-1的標準差解：∑X=657，∑X2=49747N=9，代入公式（4.2）得 ——分組資料標準差的計算方法

分組資料指編制成次數(shù)分布的資料，此時以組中值作為各組的代表值。計算公式為其中：Xc為各級組中值；為算術(shù)平均數(shù)；N為總次數(shù)；f為各組次數(shù)。

某年級144名學生語文成績?nèi)缦卤?，求其標準差。組別XcfXc-(Xc-)^2f(Xc-)^265-6967314.20201.68605.0460-646269.2084.67507.9955-5957424.2017.65741.3750-545258-0.800.6436.9945-494730-5.8033.621008.7240-44425-10.80116.61583.05∑

144

3483.16144名學生語文成績表

解：將算得的∑f(Xc-)^2=3483.16、及N=144代入公式（4.3），得

也可用下列公式進行計算：（不用計算均值）組距離差計算法 某年級144名學生語文成績?nèi)缦卤?，求其標準差。用組距離差計算方法。組別XcfXc-(Xc-)^2f(Xc-)^265-6967314.20201.68605.0460-646269.2084.67507.9955-5957424.2017.65741.3750-545258-0.800.6436.9945-494730-5.8033.621008.7240-44425-10.80116.61583.05∑

144

3483.16144名學生語文成績表方差具有可加性特點。當已知幾個小組數(shù)據(jù)的方差或標準差時，可以計算幾個小組聯(lián)合在一起的總的方差或標準差。注意：只有應用同一種觀測手段，測量的是同一種特質(zhì)，只是樣本不同的數(shù)據(jù)時，才能計算合成方差或者標準差。——由各部分的標準差合成總標準差的計算方法——由各部分的標準差合成總標準差的計算方法sT為總標準差；si為小組標準差；Ni為各小組個數(shù)；di=總平均數(shù)-各小組平均數(shù)例：在三個班級進行某項能力研究，三個班測查結(jié)果的平均數(shù)和標準差分別如下，求三個班的總標準差。班級人數(shù)n平均分標準差12345384075786998101.024.02-4.981.0416.1624.88164100例：求總標準差解:①求總平均數(shù):

②求,填入表內(nèi)第5、6、7列。③代入公式：

例某年級四個班的學生人數(shù)分別為50人、52人、48人、51人。期末數(shù)學考試各班平均成績分別為90分、85分、88分、92分，標準差分別為6分、5.5分、7分、8.2分。求四個班成績的總標準差。解：設(shè)N1=50，N2=52，N3=48，N4=51第二節(jié)平均差、方差、標準差方差的性質(zhì)方差是對一組數(shù)據(jù)中各種變異的總和的測量，具有可加性和可分解性。統(tǒng)計實踐中常利用方差的可加性去分解和確定屬于不同來源的變異性（如組內(nèi)、組間等），并進一步說明各種變異對總結(jié)果的影響，是以后統(tǒng)計推論中最常用的統(tǒng)計特征數(shù)。

第二節(jié)平均差、方差、標準差標準差的特性每一個觀測值都加上一個相同常數(shù)C之后，計算得到的標準差等于原標準差。每一個觀測值都乘以一個相同的常數(shù)C，則所得的標準差等于原標準差乘以這個常數(shù)。以上兩點相結(jié)合，每一個觀測值都乘以同一個常數(shù)C(C≠0)，再加上一個常數(shù)d，所得的標準差等于原標準差乘以這個常數(shù)C。第二節(jié)平均差、方差、標準差標準差和方差的意義方差與標準差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標。其值越大，說明次數(shù)分布的離散程度越大，該組數(shù)據(jù)較分散；標準差具備一個良好的差異量數(shù)應具備的條件：①反應靈敏；②計算公式嚴密確定；③容易計算；④適合代數(shù)運算；⑤受抽樣變動影響小；⑥簡單明了。標準差與其他各種差異量數(shù)相比，具有數(shù)學上的優(yōu)越性。如可以知道落在平均數(shù)各一個標準差內(nèi)的數(shù)據(jù)所占的百分比。切比雪夫定理隨機變量落在平均值附近的概率與標準差有一定的數(shù)量關(guān)系。任意一個數(shù)據(jù)集合，位于其平均數(shù)n個標準差范圍內(nèi)的比例（或部分）總是至少為1-1/n2，其中n為大于1的任意正數(shù)。對于n=2和n=3有如下結(jié)果：所有數(shù)據(jù)中，至少有3/4（或75%）的數(shù)據(jù)位于平均數(shù)2個標準差范圍內(nèi)。所有數(shù)據(jù)中，至少有8/9（或89%）的數(shù)據(jù)位于平均數(shù)3個標準差范圍內(nèi)。

一、差異系數(shù)又稱變異系數(shù)、相對標準差等，用CV來表示。第三節(jié)標準差的應用例：已知某小學一年級學生的平均體重為24.5千克,體重的標準差為3.6千克;平均身高為110厘米,標準差為6.2厘米,問體重與身高的離散程度哪個大？例：某市2個月組女童的體重的平均數(shù)為5.45千克,標準差為0.62千克;6歲組女童的平均體重為19.02千克,標準差為2.12千克。試比較兩組女童體重的離散情況。應用條件兩個或兩個以上樣本所使用觀測工具不同，所測的特質(zhì)不同；即比較單位不同的各組數(shù)據(jù)的離散程度。兩個或兩個以上樣本使用的是同一種觀測工具，所測的特質(zhì)相同，但樣本間的水平相差較大。比較單位相同但平均數(shù)相差較大的各組數(shù)據(jù)的離散程度第三節(jié)標準差的應用差異系數(shù)的用處應用標準差系數(shù)的注意事項⑴測量的數(shù)據(jù)要保證具有等距尺度，這時計算的平均數(shù)和標準差才有意義，應用差異系數(shù)進行比較才有意義。⑵觀測工具應具備絕對零，這時應用差異系數(shù)去比較分散程度效果才更好。因此，差異系數(shù)常用于重量、長度、時間、編制得好的測驗量表范圍內(nèi)。⑶差異系數(shù)只能用于一般的相對差異量的描述，至今尚無有效的假設(shè)檢驗方法，因此差異系數(shù)不能進行統(tǒng)計推論。例：已知某小學一年級學生的平均體重為24.5千克,體重的標準差為3.6千克;平均身高為110厘米,標準差為6.2厘米,問體重與身高的離散程度哪個大？例：某市2個月組女童的體重的平均數(shù)為5.45千克,標準差為0.62千克;6歲組女童的平均體重為19.02千克,標準差為2.12千克。試比較兩組女童體重的離散情況。第三節(jié)標準差的應用你會做了嗎小趙同學數(shù)學95分語文80分那門課好？問該同學究竟是數(shù)學好還是語文好？原始分是有弊端的。如何衡量兩個成績的高低？第三節(jié)標準差的應用二、標準分數(shù)標準分數(shù)是原始數(shù)據(jù)與算術(shù)平均數(shù)之差除以標準差所得之商，用符號Z表示。標準分數(shù)是以標準差為單位表示一個原始分數(shù)在團體中所處位置的相對位置量數(shù)。第三節(jié)標準差的應用

Z分數(shù)的性質(zhì)：Z分數(shù)無實際單位，是以平均數(shù)為參照點，以標準差為單位的一個相對量數(shù)Z分數(shù)可以是正值也可是負值，Z分數(shù)的算術(shù)平均數(shù)等于0Z分數(shù)的標準差等于1，方差也等于1若原始分數(shù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換得到的所有

Z分數(shù)均值為0，標準差為1的標準正態(tài)分布。第三節(jié)標準差的應用標準分數(shù)的優(yōu)點：可比性可加性明確性，比如確切知道學生的學習進步情況。穩(wěn)定性第三節(jié)標準分數(shù)的應用1.比較幾個性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低例：測驗一個班級的數(shù)學成績，平均數(shù)為80分，標準差為8分；又測驗了該班的語文成績，平均數(shù)為70分，標準差為5分。甲生在數(shù)學測驗中得81分，在語文測驗中得78分，問該生哪一科成績好？解：2.計算不同質(zhì)的觀測值的總和或平均值，以表示在團體中的相對位置例在招生考試時，有甲、乙兩考生的各科成績?nèi)缦卤砣绻@兩個考生只錄取一個，應錄取哪位考生？第三節(jié)標準分數(shù)的應用考試科目個人分數(shù)全體考生個人標準分甲乙平均分標準差甲乙語文數(shù)學外語政治歷史74873278708