2023-2024學(xué)年安徽省宿州市埇橋區(qū)宿城一中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年安徽省宿州市埇橋區(qū)宿城一中九年級(jí)第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每題4分，共40分）1．若關(guān)于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，則m的值是（）A．﹣2 B．±2 C．3 D．±32．有下列命題：①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形；②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；③對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形；④四邊相等的四邊形是菱形．其中，真命題有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．43．已知關(guān)于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥54．用配方法解方程3x2+4x+1＝0時(shí)，可以將方程化為（）A． B．（x+2）2＝3 C． D．5．根據(jù)表格中的信息，估計(jì)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的一個(gè)解x的范圍為（）x0.40.50.60.70.8ax2+bx+c﹣0.44﹣0.25﹣0.040.190.44A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．0.6＜x＜0.7 D．0.7＜x＜0.86．若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD一定是（）A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等7．如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．則四邊形AOCB的面積是（）A．65 B．120 C．130 D．2408．為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來(lái)實(shí)惠，某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由56元降為31.5元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．56（1﹣2x）＝31.5 B．56（1﹣x）2＝31.5 C．31.5（1+x）2＝56 D．31.5（1+2x）＝569．如圖所示，矩形ABOC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣2，2），對(duì)角線交點(diǎn)為P，若矩形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第74次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的落點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B．（2，0） C． D．10．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD＝CE，連接DE，DF，EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③DE長(zhǎng)度的最小值為；④四邊形CDFE的面積保持不變；⑤△CDE面積的最大值為4．其中正確的結(jié)論是（）A．①②④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③④⑤二、填空題（共4小題，每題5分，共20分）11．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和5，第三邊長(zhǎng)為方程x2﹣5x+6＝0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為．12．參加足球聯(lián)賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行一次比賽，共要比賽36場(chǎng)，共有個(gè)隊(duì)參加比賽．13．如圖，將一個(gè)矩形紙片ABCD沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，直線EF分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝3，AF＝5，則線段EF的長(zhǎng)為．14．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，E是BC邊上一點(diǎn)，CE＝7，F(xiàn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且EF＝3，連接EF，DE，DF，并將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DMN（點(diǎn)M、N分別為點(diǎn)E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），連接CN，則CN長(zhǎng)度的最小值為．三、解答題（本大題共9題，共90分）15．解方程：（1）3x2﹣5x﹣2＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．16．如圖，利用長(zhǎng)20米的一段圍墻，用籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的場(chǎng)地，中間用籬笆分割出2個(gè)小長(zhǎng)方形，總共用去籬笆36米，為了使這個(gè)長(zhǎng)方形的ABCD的面積為96平方米，求AB、BC邊各為多少米．17．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，AE⊥AF．求證：四邊形AECF是正方形．18．為美化市容，某廣場(chǎng)要在人行雨道上用10×20的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫(huà)出的一些備選圖案如圖所示．[觀察思考]圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）圖4灰磚有塊，白磚有塊；圖n灰磚有塊時(shí)，白磚有塊；[問(wèn)題解決]（2）是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明你的理由．19．已知：如圖，?ABCD，延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)E，使BE＝AB，連接DE、BD和EC，設(shè)DE交BC于點(diǎn)O，∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．20．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，BE＝EC，AF＝EF．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AC＝5，AB＝12，求四邊形ABCD的面積．21．當(dāng)今社會(huì)，“直播帶貨”已經(jīng)成為商家的一種新型的促銷手段．小亮在直播間銷售一種進(jìn)價(jià)為每件10元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，它們的關(guān)系如下表：銷售單價(jià)x（元）202530銷售量y（件）200150100（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該商家每天想獲得2160元的利潤(rùn)，又要盡可能地減少庫(kù)存，應(yīng)將銷售單價(jià)定為多少元？22．已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形；（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的四分之三？如果存在，求出相應(yīng)的t值；不存在，說(shuō)明理由．23．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度交直線CD于點(diǎn)F．（1）如圖①，若四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)E在線段BC上．∠B＝60°，α＝60°，求證：AE＝AF；（2）如圖②，若四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，α＝45°，連接EF，試猜想線段BE，DF與EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（3）若四邊形ABCD為正方形，α＝45°，AB＝4，，連接EF，請(qǐng)直接寫(xiě)出EF的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題（共10小題，每題4分，共40分）1．若關(guān)于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，則m的值是（）A．﹣2 B．±2 C．3 D．±3【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．解：∵關(guān)于x的方程（m﹣2）+x＝0是一元二次方程，∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，解得：m＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，能根據(jù)一元二次方程的定義得出m﹣2≠0和m2﹣2＝2是解此題的關(guān)鍵．2．有下列命題：①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形；②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形；③對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形；④四邊相等的四邊形是菱形．其中，真命題有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)矩形、正方形、菱形的判定解答即可．解：①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，是真命題；②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，原命題是假命題；③對(duì)角線垂直且相等的四邊形不一定是正方形，原命題是假命題；④四邊相等的四邊形是菱形，是真命題；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查命題與定理，關(guān)鍵是根據(jù)矩形、正方形、菱形的判定解答．3．已知關(guān)于x的方程（k﹣3）x2﹣4x+2＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤5 B．k＜5且k≠3 C．k≤5且k≠3 D．k≥5【分析】討論：當(dāng)k﹣3＝0，即k＝3，方程為一元一次方程，有一個(gè)解；當(dāng)k﹣3≠0時(shí)，利用判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3，然后綜合兩種情況得到k的范圍．解：當(dāng)k﹣3＝0，即k＝3時(shí)，方程化為﹣4x+2＝0，解得x＝；當(dāng)k﹣3≠0時(shí)，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4（k﹣3）×2≥0，解得k≤5且k≠3．綜上所述，k的取值范圍為k≤5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．4．用配方法解方程3x2+4x+1＝0時(shí)，可以將方程化為（）A． B．（x+2）2＝3 C． D．【分析】先將常數(shù)移到方程右邊，再二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可求解．解：3x2+4x+1＝0，3x2+4x＝﹣1，，，．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．5．根據(jù)表格中的信息，估計(jì)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的一個(gè)解x的范圍為（）x0.40.50.60.70.8ax2+bx+c﹣0.44﹣0.25﹣0.040.190.44A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．0.6＜x＜0.7 D．0.7＜x＜0.8【分析】根據(jù)ax2+bx+c的符號(hào)即可估算ax2+bx+c＝0的解．解：由表格可知：當(dāng)x＝0.6時(shí)，ax2+bx+c＝﹣0.04，當(dāng)x＝0.7時(shí)，ax2+bx+c＝0.19，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）一個(gè)解x的范圍為0.6＜x＜0.7，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的近似解，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD一定是（）A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥FG，EF＝FG，EF＝BD，要是四邊形為菱形，得出EF＝EH，即可得到答案．解：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AD，DC，CB，AB的中點(diǎn)，∴EH＝AC，EH∥AC，F(xiàn)G＝AC，F(xiàn)G∥AC，EF＝BD，∴EH∥FG，EF＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，假設(shè)AC＝BD，∵EH＝AC，EF＝BD，則EF＝EH，∴平行四邊形EFGH是菱形，即只有具備AC＝BD即可推出四邊形是菱形，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)菱形的判定，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7．如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；再分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；再連接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．則四邊形AOCB的面積是（）A．65 B．120 C．130 D．240【分析】根據(jù)作圖可得四邊形AOCB是菱形，勾股定理，求得OC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)菱形的面積公式即可求解．解：根據(jù)作圖可得OA＝AC＝OB＝BC，∴四邊形AOCB是菱形，∴AB⊥OC，AD＝BD，OD＝OC，∵AB＝10，OA＝13，如圖所示，設(shè)AB，OC交于點(diǎn)D，∴，在Rt△AOD中，，∴OC＝2OD＝24，∴四邊形AOCB的面積，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．為執(zhí)行國(guó)家藥品降價(jià)政策，給人民群眾帶來(lái)實(shí)惠，某藥品經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，每盒零售價(jià)由56元降為31.5元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A．56（1﹣2x）＝31.5 B．56（1﹣x）2＝31.5 C．31.5（1+x）2＝56 D．31.5（1+2x）＝56【分析】設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格＝降價(jià)前的價(jià)格×（1﹣降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是56（1﹣x），第二次后的價(jià)格是56（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程求解．解：根據(jù)題意得：56（1﹣x）2＝31.5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到已知量和未知量之間的等量關(guān)系，列出方程即可．9．如圖所示，矩形ABOC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣2，2），對(duì)角線交點(diǎn)為P，若矩形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第74次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的落點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B．（2，0） C． D．【分析】由矩形的性質(zhì)可得OP＝AP，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求點(diǎn)P坐標(biāo)，由旋轉(zhuǎn)的規(guī)律確定第74次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的位置，即可求解．解：∵四邊形ABOC是矩形，∴OP＝AP，∵點(diǎn)O（0，0），A（﹣2，2），∴點(diǎn)P（﹣，1），∵矩形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴每4次回到起始位置，∵74÷4＝18???2，∴第74次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的落點(diǎn)在第四象限，且與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴第74次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)P的落點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，1），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化，找出旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在AC，BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AD＝CE，連接DE，DF，EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CDFE不可能為正方形；③DE長(zhǎng)度的最小值為；④四邊形CDFE的面積保持不變；⑤△CDE面積的最大值為4．其中正確的結(jié)論是（）A．①②④ B．①④⑤ C．①③④ D．①③④⑤【分析】①連接CF，先證△ACF和△BCF為等腰直角三角形得AF＝CF，BF＝CF，∠BCF＝45°，進(jìn)而證△ADF和△CEF全等得DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，由此可證∠DFE＝90°，據(jù)此可對(duì)結(jié)論①進(jìn)行判斷；②當(dāng)D，E為AC，BC的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得四邊形CDFE為正方形，據(jù)此可對(duì)結(jié)論②進(jìn)行判斷；③由結(jié)論①正確得DF＝EF，∠DFE＝90°，由勾股定理得DE＝DF，因此當(dāng)DF最小時(shí)，DE為最小，則當(dāng)DF⊥AC時(shí)DF為最小，由此可求出DF的最小值為3，進(jìn)而得DE的最小值，據(jù)此可對(duì)結(jié)論③進(jìn)行判斷；④由①可知△ADF≌△CEF，則S△ADF＝S△CEF，進(jìn)而得S四邊形CDFE＝S△ACF＝S△ABC＝9，據(jù)此可對(duì)結(jié)論④進(jìn)行判斷；⑤由結(jié)論④可知S四邊形CDFE＝9，即S四邊形CDFE＝S△CDE+S△DEF＝9，因此當(dāng)△CDE的面積為最大，則三角形DEF的面積為最小，結(jié)合結(jié)論①③可求出△DEF的面積最小值為4.5，進(jìn)而得△CDE面積的最大值為3.5，據(jù)此可對(duì)結(jié)論⑤進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．解：①連接CF，如圖：∵在等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝6，∠A＝∠B＝45°，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴CF⊥AB，即∠AFC＝∠BFC＝90°，∴△ACF和△BCF為等腰直角三角形，∴AF＝CF，BF＝CF，∠BCF＝45°，∴∠A＝∠BCF＝45°，在△ADF和△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS），∴DF＝EF，∠AFD＝∠CFE，∴∠DFE＝∠DFC+∠CFE＝∠DFC+∠AFD＝∠AFC＝90°，∴△DEF為等腰直角三角形．故結(jié)論①正確；②當(dāng)D，E為AC，BC的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得：FD⊥AC，F(xiàn)E⊥AC，由結(jié)論①正確可知：DF＝EF，∠DFE＝90°，∴四邊形CDFE為正方形，故結(jié)論②不正確．③由結(jié)論①正確可知：DF＝EF，∠DFE＝90°，由勾股定理得：DE＝＝DF，∴當(dāng)DF最小時(shí)，DE為最小，根據(jù)“垂線段最短”可知：當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DF為最小，此時(shí)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DF為△ABC的中位線，∴DF＝BC＝×6＝3，∴DE＝DF＝3，即DE長(zhǎng)度的最小值為3．故結(jié)論③正確；④由①可知：△ADF≌△CEF，∴S△ADF＝S△CEF，∴S四邊形CDFE＝S△CDF+S△CEF＝S△CDF+S△ADF＝S△ACF，∴點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，∴S△ACF＝S△ABC＝×?AC?BC＝×6×6＝9，∴S四邊形CDFE＝9，即四邊形CDFE的面積保持不變，始終等于9．故結(jié)論④正確．⑤由結(jié)論④可知：S四邊形CDFE＝9，∴S四邊形CDFE＝S△CDE+S△DEF＝9，∵△CDE的面積為最大，則三角形DEF的面積為最小，∵△DEF為等腰直角三角形，∴S△DEF＝DF?EF＝DF2，要使△DEF的面積為最小，只需DF為最小，由結(jié)論③正確可知：DE的最小值為3，∴△DEF的面積最小值為：＝4.5，∴△CDE面積的最大值為：9﹣4.5＝3.5．故結(jié)論⑤不正確．綜上所述：正確的結(jié)論是①③④．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，理解等腰直角三角形的兩個(gè)銳角都等于45°，斜邊上的高（斜邊上的中線或頂角的平分線）將原等腰直角三角形分成兩個(gè)等腰直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題（共4小題，每題5分，共20分）11．一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和5，第三邊長(zhǎng)為方程x2﹣5x+6＝0的根，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為11．【分析】直接利用因式分解法解方程，進(jìn)而利用三角形三邊關(guān)系得出答案．解：x2﹣5x+6＝0（x﹣3）（x﹣2）＝0，解得：x1＝3，x2＝2，∵一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和5，∴第三邊長(zhǎng)的取值范圍是：2＜x＜8，則第三邊長(zhǎng)為：3，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為：11．故答案為：11．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了因式分解法解方程以及三角形三邊關(guān)系，正確掌握三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．參加足球聯(lián)賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行一次比賽，共要比賽36場(chǎng)，共有9個(gè)隊(duì)參加比賽．【分析】設(shè)有n個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共要比賽36場(chǎng)，可列出方程．解：設(shè)有n個(gè)隊(duì)參加比賽，，解得n1＝﹣8（舍去），n2＝9．答：有9個(gè)隊(duì)參加比賽．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場(chǎng)數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解．13．如圖，將一個(gè)矩形紙片ABCD沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，直線EF分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝3，AF＝5，則線段EF的長(zhǎng)為．【分析】連接AE，EF交AC于點(diǎn)O，根據(jù)折疊可知AE＝CE，EF垂直平分AC，由等邊對(duì)等角得∠CAE＝∠ACE，由AD∥BC可得∠FAO＝∠ACE，進(jìn)而得到∠FAO＝∠CAE，以此可通過(guò)ASA證明△AOE≌△AOF，得到CE＝AE＝AF＝5，OE＝OF，再根據(jù)勾股定理分別求出AB＝4、AC＝，則OA＝，再利用勾股定理求出OE即可求解．解：如圖，連接AE，EF交AC于點(diǎn)O，∵將一個(gè)矩形紙片ABCD沿著直線EF折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴AE＝CE，EF垂直平分AC，∴∠CAE＝∠ACE，OA＝OC，∠AOE＝∠AOF＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠FAO＝∠ACE，∴∠FAO＝∠CAE，即∠FAO＝∠EAO，在△AOE和△AOF中，，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF＝5，OE＝OF，∴CE＝AE＝5，∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，在Rt△ABE中，＝＝4，在Rt△ABC中，＝＝，∴OA＝＝，在Rt△AOE中，OE＝＝＝，∴OE＝OF＝，∴EF＝OE+OF＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)和三角形全等的判定方法時(shí)解題關(guān)鍵14．如圖，正方形ABCD中，AB＝12，E是BC邊上一點(diǎn)，CE＝7，F(xiàn)是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，且EF＝3，連接EF，DE，DF，并將△DEF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DMN（點(diǎn)M、N分別為點(diǎn)E、F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），連接CN，則CN長(zhǎng)度的最小值為10．【分析】過(guò)點(diǎn)M作MP⊥CD，垂足為P，連接CM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE＝DM，EF＝MN＝3，∠EDM＝90°，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出CE，證明△EDC≌△DMP（AAS），得到CD＝MP＝12，DP＝CE＝7，利用勾股定理求出CM，根據(jù)CN+MN≥CM即可求出CN的最小值．解：過(guò)點(diǎn)M作MP⊥CD，垂足為P，連接CM，由旋轉(zhuǎn)可得：DE＝DM，EF＝MN＝3，∠EDM＝90°，∵∠EDM＝90°，∴∠EDC+∠CDM＝90°，又∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠CDM，在△EDC和△DMP中，，∴△EDC≌△DMP（AAS），∴CD＝MP＝12，CE＝DP＝7，∴CP＝CD﹣DP＝5，∴MC＝＝＝13，∵C，M位置固定，∴CN+MN≥CM，即CN+3≥13，∴CN≥10，即CN的最小值為10，故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，求出CM的長(zhǎng)，得到CN+MN≥CM．三、解答題（本大題共9題，共90分）15．解方程：（1）3x2﹣5x﹣2＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．【分析】（1）將原方程因式分解直接求解即可得到答案；（2）將原方程移項(xiàng)后因式分解直接求解即可得到答案．解：（1）原方程因式分解得，（3x+1）（x﹣2）＝0，即：x﹣2＝0，3x+1＝0，解得：x1＝2，；（2）原方程因式分解得，（3x+2）（x﹣1）＝0，即：3x+2＝0，x﹣1＝0，解得x1＝1，；【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是一定要使方程的一邊為0及正確的因式分解．16．如圖，利用長(zhǎng)20米的一段圍墻，用籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形的場(chǎng)地，中間用籬笆分割出2個(gè)小長(zhǎng)方形，總共用去籬笆36米，為了使這個(gè)長(zhǎng)方形的ABCD的面積為96平方米，求AB、BC邊各為多少米．【分析】設(shè)AB為x米，然后表示出BC的長(zhǎng)為（36﹣3x）米，利用矩形的面積計(jì)算方法列出方程求解即可．解：設(shè)AB為x米，則BC為（36﹣3x）米，x（36﹣3x）＝96解得：x1＝4，x2＝8當(dāng)x＝4時(shí)36﹣3x＝24＞20（不合題意，舍去）當(dāng)x＝8時(shí)36﹣3x＝12．答：AB＝8米，BC＝12米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出一邊的長(zhǎng)，并用未知數(shù)表示出另一邊的長(zhǎng)．17．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝DF，AE⊥AF．求證：四邊形AECF是正方形．【分析】先證明四邊形AECF是菱形，根據(jù)正方形的判定定理即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四邊形AECF是菱形，∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴四邊形AECF是正方形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，正方形的判定，掌握相關(guān)定理是解題基礎(chǔ)．18．為美化市容，某廣場(chǎng)要在人行雨道上用10×20的灰、白兩色的廣場(chǎng)磚鋪設(shè)圖案，設(shè)計(jì)人員畫(huà)出的一些備選圖案如圖所示．[觀察思考]圖1灰磚有1塊，白磚有8塊；圖2灰磚有4塊，白磚有12塊；以此類推．[規(guī)律總結(jié)]（1）圖4灰磚有16塊，白磚有20塊；圖n灰磚有n2塊時(shí)，白磚有（4n+4）塊；[問(wèn)題解決]（2）是否存在白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1的情形，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明你的理由．【分析】（1）根據(jù)圖形分別得出各個(gè)圖形中白色瓷磚的個(gè)數(shù)分別為8、12、16、20…，即：12﹣8＝4、16﹣12＝4、20﹣16＝4，由此可得出規(guī)律：每一個(gè)圖案均比前一個(gè)圖案多4塊白色瓷磚，所以第n個(gè)圖案中，白色瓷磚的個(gè)數(shù)為8+4（n﹣1）＝4n+4，灰色瓷磚的塊數(shù)等于n2；（2）根據(jù)白磚數(shù)恰好比灰磚數(shù)少1列出方程求解即可．解：（1）根據(jù)圖形分別得出各個(gè)圖形中白色瓷磚的個(gè)數(shù)分別為8、12、16、20…，即：12﹣8＝4、16﹣12＝4、20﹣16＝4，由此可得出規(guī)律：每一個(gè)圖案均比前一個(gè)圖案多4塊白色瓷磚，所以第n個(gè)圖案中，白色瓷磚的個(gè)數(shù)為8+4（n﹣1）＝4n+4，灰色瓷磚的塊數(shù)等于n2；∴圖4中灰磚有16快，白磚有4×（4+1）＝20，故答案為：16；20；n2；（4n+4）；（2）存在，理由如下：根據(jù)題意得：n2﹣（4n+4）＝1，解得：n＝﹣1（舍去）或n＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)圖中圖形的變化情況，通過(guò)歸納與總結(jié)得出變化規(guī)律的能力，關(guān)鍵在于將圖形數(shù)字化，即將圖形轉(zhuǎn)化為各個(gè)圖形中白色瓷磚的變化規(guī)律，這樣可方便求解．19．已知：如圖，?ABCD，延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)E，使BE＝AB，連接DE、BD和EC，設(shè)DE交BC于點(diǎn)O，∠BOD＝2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形BECD為平行四邊形，再由已知條件證出BC＝ED，即可得出結(jié)論．【解答】證明：在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，則BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴OD＝OE，OC＝OB．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四邊形BECD為矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，BE＝EC，AF＝EF．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AC＝5，AB＝12，求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由題意可證四邊形ADCE是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求AE＝CE，即結(jié)論可得；（2）由題意可求，即可求四邊形ABCD的面積．【解答】（1）證明：AD∥BC∴∠EBF＝∠ADF，AD∥EC∵∠BFE＝∠DFA，AF＝EF，∴△BEF≌△DAF（AAS），∴AD＝BE，∵BE＝EC，∴AD＝EC，又∵AD∥EC，∴四邊形AECD是平行四邊形；∵AB⊥AC，BE＝EC，∴AE＝EC，∴四邊形AECD是菱形．（2）解：AC＝5，AB＝12，∴，∵BE＝EC，∴，又∵四邊形AECD是菱形，AC為對(duì)角線，∴S△AEC＝S△ADC，∴S四邊形ABCD＝3S△ABE＝45，∴四邊形ABCD的面積為45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，利用三角形中線的性質(zhì)求三角形的面積是本題的關(guān)鍵．21．當(dāng)今社會(huì)，“直播帶貨”已經(jīng)成為商家的一種新型的促銷手段．小亮在直播間銷售一種進(jìn)價(jià)為每件10元的日用商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，它們的關(guān)系如下表：銷售單價(jià)x（元）202530銷售量y（件）200150100（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）該商家每天想獲得2160元的利潤(rùn)，又要盡可能地減少庫(kù)存，應(yīng)將銷售單價(jià)定為多少元？【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；（2）直接利用（1）中所求，表示出總利潤(rùn)，進(jìn)而解方程的得出答案．解：（1）設(shè)商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系y＝kx+b，根據(jù)題意可得：，解得：，故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x+400；（2）根據(jù)題意可得：（﹣10x+400）（x﹣10）＝2160，整理得：x2﹣50x+616＝0，（x﹣28）（x﹣22）＝0，解得：x1＝28（不合題意，舍去），x2＝22，答：應(yīng)將銷售單價(jià)定為22元．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．22．已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形；（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的四分之三？如果存在，求出相應(yīng)的t值；不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）分情況進(jìn)行討論：①∠BPQ＝90°；②∠BQP＝90°．然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的表達(dá)式和∠B的度數(shù)進(jìn)行求解即可．（2）由題意可得S△BPQ＝S△ABC＝××62＝，由三角形面積公式可得t的方程，可求t的值．解：（1）根據(jù)題意得AP＝2tcm，BQ＝2tcm，△ABC中，AB＝BC＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝（6﹣2t）cm，△PBQ中，BP＝6﹣2t，BQ＝2t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BQ＝BP，即2t＝（6﹣2t），∴t＝1（秒），當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BP＝BQ，∴6﹣2t＝×2t，∴t＝2（秒）答：當(dāng)t＝1秒或t＝2秒時(shí)，△PBQ是直角三角形．（2）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使得四邊形A