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2019年春北師大版七年級下冊4.3探索三角形全等的條件:全等三角形證明–輔助線題型學(xué)案一、引入在上一節(jié)中,我們學(xué)習(xí)了什么是全等三角形,以及全等三角形的四個條件。在本節(jié)中,我們將重點討論通過輔助線題型進(jìn)行三角形全等證明的方法。全等三角形是非常重要的概念,它在幾何學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。通過證明兩個三角形全等,我們可以得到它們相應(yīng)邊和角的相等關(guān)系,從而推導(dǎo)出很多有用的結(jié)論。二、輔助線題型輔助線題型的意義輔助線題型是指在證明全等三角形時,通過增加一些輔助線,使原來復(fù)雜的問題變得更加簡單明了。通過增加一些線段或者點,我們可以將復(fù)雜的全等問題轉(zhuǎn)化為容易解決的簡單問題。輔助線題型的基本方法輔助線題型的基本方法包括:-增加中位線-增加高線-增加角平分線-增加垂線我們將逐一介紹這些方法,幫助你掌握輔助線題型的解題技巧。三、增加中位線中位線的定義中位線是連接一個三角形的任意兩個頂點和對邊中點的線段。在一個三角形中,共有三條中位線,它們交于同一點,稱為中心。中位線的作用增加中位線可以將一個三角形分割為三個全等的小三角形。通過證明這三個小三角形全等,我們就可以得到原三角形的全等證明。通過輔助線題型證明三角形全等的例子例如,在下圖中,已知AB=AC,BD=CD,請證明∠BCD=∠CBD。解:我們增加中位線BE。根據(jù)中位線定義,我們可以得知AE=EC。又因為BD=DC,所以BE是ΔBDC的中位線。根據(jù)中位線的性質(zhì),我們可以知道這樣的等式成立:BE=1/2BC。又根據(jù)BD=DC,我們可以得知ΔBDC是一個等腰三角形,所以∠BCD=∠CBD。至此,我們已經(jīng)證明了∠BCD=∠CBD。四、增加高線高線的定義高線是從一個三角形的頂點向?qū)叺拇咕€。在一個三角形中,共有三條高線,它們交于同一點,稱為垂心。高線的作用增加高線可以將一個三角形分割為三個全等的小三角形。通過證明這三個小三角形全等,我們就可以得到原三角形的全等證明。通過輔助線題型證明三角形全等的例子例如,在下圖中,已知BD=DC,∠B=∠D,請證明?ABC≡?ACD。解:我們增加高線AE和CF。根據(jù)垂直線的性質(zhì),我們可以得知∠BAE=∠DCE,∠BAC=∠DAC。因為∠B=∠D,所以∠ABC=∠DCA。至此,我們已經(jīng)證明了?ABC≡?ACD。五、增加角平分線角平分線的定義角平分線是指從一個三角形的頂點到對邊的切線。在一個三角形中,共有三條角平分線。角平分線的作用增加角平分線可以將一個三角形分割為兩個全等的小三角形。通過證明這兩個小三角形全等,我們就可以得到原三角形的全等證明。通過輔助線題型證明三角形全等的例子例如,在下圖中,已知∠A=∠C,AC=BC,請證明?ABC≡?CBA。解:我們增加角平分線BD。根據(jù)角平分線的性質(zhì),我們可以得知∠BAD=∠CBD,∠BAC=∠BCA。因為∠A=∠C,所以∠ABC=∠CBA。至此,我們已經(jīng)證明了?ABC≡?CBA。六、增加垂線垂線的定義垂線是指從一個三角形的頂點到對邊的垂直線。在一個三角形中,共有三條垂線。垂線的作用增加垂線可以將一個三角形分割為兩個全等的小三角形。通過證明這兩個小三角形全等,我們就可以得到原三角形的全等證明。通過輔助線題型證明三角形全等的例子例如,在下圖中,已知AD=BD,AC=BC,請證明?DAC≡?DBC。解:我們增加垂線DE和CF。根據(jù)垂線的性質(zhì),我們可以得知∠CDEF=∠DFC,∠CED=∠DFC。因為AC=BC,所以∠CDE=∠CDF。至此,我們已經(jīng)證明了?DAC≡?DBC。七、總結(jié)通過以上的例子,我們可以看到,通過增加輔助線可以讓原本復(fù)雜的全等證明問題變得簡單明了。增加中位線、高線、角平分線、垂線,是常見的輔助線題型。掌握這些輔助線題型的基本方法和性質(zhì),將幫助我們更好地理解和證明全等三角形。全等三角形的證明是幾何學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容,也是我們理解和應(yīng)用幾何學(xué)知識的重要途徑之一。通過進(jìn)行輔助線題型的學(xué)習(xí)和練習(xí),我們可
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