2016屆山東省泰安市岱岳區(qū)九上數(shù)學（青島版）教案：3.4 直線和圓的位置關(guān)系

2016屆山東省泰安市岱岳區(qū)九上數(shù)學（青島版）教案：3.4直線和圓的位置關(guān)系引言直線和圓是幾何中常見的圖形，它們的位置關(guān)系在幾何問題中有著重要的作用。本教案將重點講解直線和圓的位置關(guān)系，并介紹相關(guān)的概念和性質(zhì)。1.直線和圓的位置關(guān)系的基本概念1.1直線和圓的交點數(shù)目直線和圓的位置關(guān)系可以分為三種情況：相交、相切和相離。相交：直線與圓有兩個交點。相切：直線與圓有且僅有一個交點。相離：直線與圓沒有交點。1.2直線與圓的相對位置直線與圓的相對位置可以分為四種情況：直線與圓相交、圓在直線上、直線切圓和直線離圓。直線與圓相交：直線與圓相交，有兩個交點。圓在直線上：圓的圓心在直線上，直線與圓有且僅有一個交點。直線切圓：直線與圓相切，有且僅有一個交點。直線離圓：直線與圓沒有交點。2.直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)2.1相交性質(zhì)性質(zhì)1：兩條不同的直線與一個圓相交，則它們的交點個數(shù)相等。證明：設(shè)直線l1與圓O的交點為A、B，直線l2與圓O的交點為C、D。連接AC、BD，則△ACB與△ADB有一對對應的全等條件（ASA），所以∠ACB＝∠ADB，同理，∠ADC＝∠BDC。所以∠ACB＝∠ADC，所以∠ACB+∠ADC＝180°，所以ABCD是一個四邊形，所以這個四邊形是一個內(nèi)接四邊形，所以圖中的四條線段AC、CB、AD、BD對應一對對角線相等，所以AB＝CD，即說明了交點個數(shù)相等。性質(zhì)2：兩條相交的直徑互相垂直。證明：設(shè)直線l1與圓O的交點為A、B，直線l2與圓O的交點為C、D。連接AO，BO，CO，DO。因為OA⊥AB，所以O(shè)A⊥AB的中垂線MN。因為OC⊥CD，所以O(shè)C⊥CD的中垂線PQ。因為AB＝CD，所以MN＝PQ，所以MN//PQ，所以O(shè)C//AB。因為OA⊥MN，OC⊥PQ，所以O(shè)A⊥OC，所以角AOC=90°，所以兩條相交的直徑互相垂直。2.2切線性質(zhì)性質(zhì)1：切線和半徑的關(guān)系切線與半徑的關(guān)系是切線長的平方等于切點到圓心的距離與半徑的乘積。證明：在△ADC中，由于∠ABC＝90°，且AB⊥BC，所以角ABC是直角，所以直線AB是圓O的切線。設(shè)切點為B。連接AC，BC，AO，CO。則有：OA⊥AB，所以O(shè)A⊥AB的中垂線MN。OC⊥BC，所以O(shè)C⊥BC的中垂線PQ。因為AB＝CD，所以MN＝PQ，所以MN//PQ。因為∠ACB＝90°，所以MN⊥BC。所以MN是△ABC的高，所以MN⊥BC。所以MN⊥BC。所以角MNC=90°，所以A、O、C三點共線。所以角AOC=∠ABC＋∠BCA。所以角AOC=90°+∠BCA。因為OC⊥BC，所以∠BCA＝90°。所以角AOC=90°+90°=180°，所以A、O、C三點共線。所以O(shè)A＋OC=AC。所以O(shè)A＋OC=2R，所以AC=2R。因為MN⊥AC，所以∠CMA=90°，所以△ABC的高2MN=AC=2R。所以MN=R。所以△AMD的高由△ABC的高的兩倍，所以h＝2MN=2R。所以h的平方＝4R2。所以R2＝h2/4。所以AB2＝R2＋h2=4R2＋4R2=8R2。所以直線AB的長度等于R乘以2的平方根，即AB＝2R。性質(zhì)2：切線的判定一條直線與圓相切的條件是這條直線與圓心的連線垂直于圓上對應切點處的切線。證明：設(shè)直線l與圓O相切于點A，直線l與圓心O的連線OA與圓上切點B處的切線相交于點C。連接OC。在△OCB中，OC⊥BC，所以∠OCB＝90°。因為DO⊥AB，所以∠ODA＝90°。所以角OCB=∠ODA，并且角OCB和∠ODA對應同弧AB，所以弧AB＝∠OCB，所以直徑AB＝90°，所以直線l與圓心的連線OA垂直于圓上對應切點處的切線。3.直線與圓的位置關(guān)系的應用直線和圓的位置關(guān)系在幾何問題中有廣泛的應用，特別是在解決與圓相關(guān)的幾何問題時。3.1定位問題直線和圓的位置關(guān)系可以用于定位問題。例如，已知兩條直線和一個圓，通過分析直線和圓的位置關(guān)系可以確定圓心的位置。3.2切線問題直線和圓的位置關(guān)系還可以用于切線問題。例如，已知一條直線和一個圓，通過分析直線和圓的位置關(guān)系可以確定切線的方程和切點的坐標。結(jié)論直線和圓的位置關(guān)系是幾何中一個重要的概念，通過研究它們的位置關(guān)系和性質(zhì)，可以解決許多與圓相關(guān)的幾何問題。在實際應用中，直線和圓的位置關(guān)系也具有廣泛的應用。以上是關(guān)于2016屆山東省泰安市