輪上與軌道接觸時(shí)相對純滾速度與加速度的統(tǒng)一關(guān)系

輪上與軌道接觸時(shí)相對純滾速度與加速度的統(tǒng)一關(guān)系

速度、加速度的普遍關(guān)系在直線或平面上的圓形車輪上進(jìn)行相對簡單的滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)是工程實(shí)踐和日常生活中常見的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。車輪上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形式、相關(guān)速度和加速度是一般力學(xué)問題。眾所周知,當(dāng)軌道固定不動(dòng)時(shí),輪上與軌道接觸的點(diǎn)速度為零、加速度恒指向輪心。但若軌道也運(yùn)動(dòng),輪與軌相接觸的兩點(diǎn),其運(yùn)動(dòng)量之間有什么關(guān)系?彼此間存在怎樣的相對運(yùn)動(dòng)?這些問題是分析的難點(diǎn),常令學(xué)生捉摸不定,導(dǎo)致各種各樣的錯(cuò)誤。下面先作一般性討論,導(dǎo)出速度、加速度的普遍關(guān)系;然后通過兩道考研題介紹正確的分析方法,并對常見錯(cuò)誤進(jìn)行辯析;最后歸納和總結(jié),得出結(jié)論。1輪、軌接觸點(diǎn)d運(yùn)動(dòng)軌跡和加速度分布不失一般性,討論圖1所示沿直線軌道o′x′純滾的輪。由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知,圓輪在固連于軌道的動(dòng)系o′x′y′中作平面運(yùn)動(dòng),輪緣上任意點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)軌跡為旋輪線,當(dāng)它與軌道接觸時(shí)vr=0?a?rvr=0?a→r指向輪心?，F(xiàn)在在靜系oxy中來觀察,設(shè)任意瞬時(shí)動(dòng)系上的D點(diǎn)速度、加速度為v?v→D和a?a→D,則輪上與D接觸的點(diǎn)D′的速度、加速度可依照相對運(yùn)動(dòng)分析法確定:沿x′軸投影得:根據(jù)(1)、(2)式可知,不論軌道作怎樣的運(yùn)動(dòng),輪、軌接觸點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)量關(guān)系始終是:速度相等(無相對速度);加速度沿公切線的投影相等(相對加速度恒指向輪心)。以上結(jié)論對于沿運(yùn)動(dòng)的曲線軌道(如圓形軌道)純滾的輪也成立,證明從略。2剛體運(yùn)動(dòng)軌道系統(tǒng)以下兩例均取自于研究生入學(xué)考試題。[例1]圖示機(jī)構(gòu),平臺(tái)A和勻質(zhì)圓柱C質(zhì)量均為m,在平臺(tái)和圓柱C上施加平行力P?Ρ→1和P?Ρ→2。設(shè)圓柱在平臺(tái)上作純滾動(dòng),平臺(tái)與平面間無摩擦,試求平臺(tái)及圓柱中心C的加速度。[解]本題涉及的圓輪(圓柱C)是在平動(dòng)的平臺(tái)上純滾,純滾軌道自身作直線平動(dòng)。對平臺(tái)和圓柱進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析,可作出圖(b)～(d),列出相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程。聯(lián)立求解得:[討論]在圓柱與平臺(tái)間摩擦力能維持相對純滾的條件下,若P2>P1,則圓柱往前滾,圓柱質(zhì)心比平臺(tái)質(zhì)心跑得快;若P2<P1,則圓柱朝后滾,圓柱質(zhì)心比平臺(tái)質(zhì)心跑得慢;若P2=P1,則圓柱相對平臺(tái)靜止,系統(tǒng)形如一平動(dòng)剛體。[常見錯(cuò)誤]該題最易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是關(guān)于aC、aA、ε三者之間的關(guān)系分析錯(cuò),比如用下式代替(6)式由此得出的結(jié)果是:該結(jié)果中aC、ε均與P1力無關(guān)顯然不對,而寫出錯(cuò)式(7)的原因,應(yīng)該是學(xué)生太熟悉和太習(xí)慣于研究沿固定軌道純滾輪這一“慣性”所致。當(dāng)圓輪在運(yùn)動(dòng)軌道上相對純滾時(shí),應(yīng)按照絕對運(yùn)動(dòng)量與相對運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān)系來分析,輪心C與輪、軌接觸點(diǎn)B間的加速度關(guān)系是:沿水平方向投影為再注意到B點(diǎn)與平臺(tái)A的加速度關(guān)系:aBx=aA,即可得到正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式。[例2]半徑為r的圓輪O鉸接在直角桿OAB上,并相對C桿作無滑動(dòng)的滾動(dòng)。已知圖示瞬時(shí)vAB=v,aAB=0,求該瞬時(shí)圓輪的角速度和角加速度。[解]本題涉及的圓輪是在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的直桿上純滾,純滾軌道自身作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。分析圖中三個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng),OAB桿作直線平動(dòng),CD桿繞C作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),圓輪作平面運(yùn)動(dòng)。圖示瞬時(shí)P、O兩點(diǎn)分別為圓輪的速度瞬心和加速度瞬心。解此運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的第一步是借助點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成求輪心O相對CD桿的運(yùn)動(dòng)量以及牽連運(yùn)動(dòng)量,根據(jù)速度合成和加速度合成圖(b)和(c)列出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:代入已知條件vO=v,aO=0得:第二步是利用剛體平面運(yùn)動(dòng)規(guī)律求圓輪的角速度和角加速度。根據(jù)速度圖(a)和加速度圖(d)、(e)列出運(yùn)動(dòng)學(xué)方程:代入已知條件即可得:[常見錯(cuò)誤]該題最易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是利用O點(diǎn)相對CD桿的速度和加速度直接求圓輪的角速度和角加速度,寫出如下錯(cuò)式:導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的原因是忽視了CD桿自身也在運(yùn)動(dòng),有角速度和角加速度,上面兩式求出的實(shí)際上是圓輪相對動(dòng)系CD桿的角速度和角加速度,而圓輪的絕對角速度和角加速度可以根據(jù)剛體繞平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律求得:3動(dòng)中接觸點(diǎn)的改變通過以上實(shí)例可見,分析沿運(yùn)動(dòng)軌道純滾輪的關(guān)鍵是,正確利用輪、軌接觸點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)量關(guān)系,雖然運(yùn)動(dòng)中接觸點(diǎn)對輪和軌而言始終在改變,但任意瞬時(shí)相接觸的兩點(diǎn)速度、加速度都滿足(1)、(2)兩式。上面兩例