2024屆一輪復(fù)習(xí)命題方向精講系列：25 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派考向25平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1．平面向量數(shù)量積的類型及求法：（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式．（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡．2．平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：（1）求夾角的大?。喝簦瑸榉橇阆蛄?，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角．3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：（1）向量與平面幾何綜合問題的解法①坐標(biāo)法把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決．②基向量法適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解．【注】用坐標(biāo)法解題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解題的關(guān)鍵，用基向量解題時(shí)要選擇適當(dāng)?shù)幕祝?）用向量解決平面幾何問題的步驟①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．（2）求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．（4）解三角形．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題．5．用向量法解決物理問題的步驟如下：（1）抽象出物理問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；（3）利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；（4）用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題．6．常見的向量表示形式：（1）重心．若點(diǎn)G是的重心，則或（其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）．反之，若，則點(diǎn)G是的重心．（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點(diǎn)H是的垂心．（3）內(nèi)心．若點(diǎn)I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點(diǎn)I是的內(nèi)心．（4）外心．若點(diǎn)O是的外心，則或．反之，若，則點(diǎn)是的外心．1．設(shè)非零向量，是與的夾角．（1）數(shù)量積：．（2）模：．（3）夾角：．（4）垂直與平行：；a∥b?a·b=±|a||b|．【注】當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．（5）性質(zhì)：|a·b|≤|a||b|（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號成立）?2．平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：（1）求向量的模．解決此類問題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解．（2）求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．（3）由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用．1．平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：①；②；③．3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．特別地，或．④．⑤．4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）5．向量中的易錯(cuò)點(diǎn)（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有．當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但．（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng)．（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且1．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是邊長為a的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬預(yù)測）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．25．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（

）A． B． C． D．6．（2022·河南開封·模擬預(yù)測（理））已知兩個(gè)單位向量與的夾角為，若，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．1．（2022·上海松江·二模）已知正方形的邊長為4，點(diǎn)、分別在邊、上，且，，若點(diǎn)在正方形的邊上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））在中，，為的外心，，，則（

）A．2 B． C．4 D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長為2，以AB為直徑的圓M，若點(diǎn)P為圓M上一動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩繪成，黑線勾邊，中為方形或圓形，具有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形為等腰直角三角形，中間陰影部分是正方形且邊長為2，其中動點(diǎn)P在圓上，定點(diǎn)A、B所在位置如圖所示，則最大值為（

）A．9 B．10 C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（理））如圖，在等腰直角中，斜邊，M為AB的中點(diǎn)，D為AC的中點(diǎn)．將線段AC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到線段EF，則（

）A． B． C． D．7．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知平面向量，，且非零向量滿足，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．28．（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，則（

）A．12 B．14 C．16 D．189．（多選題）（2022·湖北·模擬預(yù)測）正方形ABCD的邊長為2，E是BC中點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的半圓上任意點(diǎn)，，則（

）A．最大值為 B．最大值為1C．最大值是2 D．最大值是10．（多選題）（2022·山東·煙臺二中模擬預(yù)測）中華人民共和國的國旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關(guān)系象征著中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的革命與人民大團(tuán)結(jié)．如圖，五角星是由五個(gè)全等且頂角為36°的等腰三角形和一個(gè)正五邊形組成．已知當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．11．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知均為非零向量，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，，且，則的最大值與最小值之和為12．（多選題）（2022·湖北·襄陽五中二模）已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線交圓：于A，兩點(diǎn)，是圓上一動點(diǎn)，則（

）A．的最小值為 B．到的距離的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為13．（多選題）（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）已知是單位向量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．若，則C．的最大值為 D．的最小值是14．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若A、P、Q三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使15．（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知向量，滿足，，，則______．16．（2022·湖南·湘潭一中高三階段練習(xí)）已知等邊的邊長為6，平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則____________．17．（2022·上海黃浦·二模）已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范圍為____________．18．（2022·青海·海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））在中，為其外心，，若，則________．19．（2022·江蘇·常州高級中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)直角，是斜邊上一定點(diǎn)．滿足，則對于邊上任一點(diǎn)P，恒有，則斜邊上的高是________．20．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，若，則的最大值是__________．1．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．63．（2022·全國·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．24．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件5．（2020·山東·高考真題）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在函數(shù)圖象的對稱軸上，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C．或 D．或6．（2020·海南·高考真題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2020·全國·高考真題（理））已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．8．（多選題）（2021·全國·高考真題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，，則（

）A． B．C． D．9．（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為____________；的最小值為____________．10．（2020·天津·高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動點(diǎn)，且，則的最小值為_________．11．（2020·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點(diǎn)P滿足，則_________；_________．12．（2022·全國·高考真題（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．13．（2021·全國·高考真題）已知向量，，，_______．14．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.15．（2021·全國·高考真題（文））若向量滿足，則_________.16．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_______．1．【答案】B【解析】解：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，所以，所以；所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值是．故選：B．2．【答案】C【解析】解：因?yàn)?，為單位向量，所以，又，所以，即，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?；故選：C3．【答案】B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，，，，即的取值范圍為．故選：B．4．【答案】C【解析】解：∵，又∵∴9，∴故選：C．5．【答案】D【解析】，，又，，．故選：D．6．【答案】A【解析】由題意，又與的夾角為且為單位向量，所以，可得．故選：A1．【答案】C【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，則，，知，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即.綜上可得，，故選：C2．【答案】B【解析】如圖，設(shè)的中點(diǎn)為D,E，連接OD,OE,則,故，即,即，故,，即,即，故,故,故選：B3．【答案】B【解析】以為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，圓方程為，在圓上，設(shè)，，，，，所以．故選：B．4．【答案】C【解析】解：如圖所示：連接，因?yàn)橹虚g陰影部分是正方形且邊長為2，所以可得，，，所以，在中由余弦定理可得，所以，設(shè)的夾角為，的夾角為，==-,當(dāng)在所對的優(yōu)弧上時(shí)，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值為；當(dāng)在所對的劣弧上時(shí)，，所以，，=,所以=-＝＝,（其中）所以最大值為；綜上所述：最大值為.故選：C.5．【答案】D【解析】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D

6．【答案】D【解析】易得，D為線段EF中點(diǎn)，則，，，，則，又，則.故選：D.7．【答案】B【解析】設(shè)，則，，整理得，則點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，則表示和圓上點(diǎn)之間的距離，又在圓上，故的最大值是.故選：B.8．【答案】B【解析】解：，且所以：．故選：B.9．（多選題）【答案】BCD【解析】以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，，，，設(shè)，則，，，由，得且，，故A錯(cuò)；時(shí)，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD.10．（多選題）【答案】AB【解析】對于A，連接DH，如圖，由DF=FH，得：，，A正確；對于B，連接AF，由得：AF垂直平分DH，而，即，則，B正確；對于C，與不共線，C不正確；對于D，連接CH，BH，由選項(xiàng)A知，，而，則四邊形是平行四邊形，，D不正確.故選：AB11．（多選題）【答案】CD【解析】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)與的夾角為時(shí)，也符合要求，所以選項(xiàng)A不正確；對于B選項(xiàng)，若，，，則，但，所以選項(xiàng)B不正確；對于C選項(xiàng)，，所以選項(xiàng)C正確；對于D選項(xiàng)，不妨設(shè)，，，所以，整理得，即在平面對應(yīng)的點(diǎn)C的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，因此的最大值為，最小值為，所以選項(xiàng)D正確，故選：CD.12．（多選題）【答案】ABC【解析】如圖，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，有最小值，且最小值為，所以A正確；當(dāng)直線與垂直時(shí)，到的距離有最大值，且最大值為，所以B正確.設(shè)，則，所以，所以的最小值為，所以C正確；當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最大，且最大值為，所以D錯(cuò)誤；故選：ABC.13．（多選題）【答案】ACD【解析】∵，∴，，∴，故A正確；由，可得，即，則不一定成立，故B錯(cuò)誤；又是單位向量，，不妨設(shè)，設(shè)，又，∴，，∴，即，由可知圓心為，半徑為，∴，故C正確；由上可知，，即，又∵，∴的最小值是，故D正確.故選：ACD.14．（多選題）【答案】BCD【解析】解：對于A：給定的，其外心為，所以，故A不正確；對于B：因?yàn)闉榻o定的的垂心，故，即,解得：,故B正確；對于C：因?yàn)橹匦臑镚，則有，，所以，故C正確；對于D：由于點(diǎn)在的平分線上，為單位向量，所以與的平分線對應(yīng)向量共線，所以存在實(shí)數(shù)使，故D正確．故選：BCD．15．【答案】1或3【解析】∵∴，又∵，，∴．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故答案為：1或316．【答案】【解析】因，則，等邊的邊長為6，則，所以.故答案為：17．【答案】【解析】因?yàn)?，，設(shè)、所成角為，向量在方向上的投影為：，因?yàn)?，所以，所?故答案為:。18．【答案】【解析】設(shè)外接圓的半徑是，．設(shè)，則在等腰中，．所以．故答案為：.19．【答案】【解析】取中點(diǎn)，則，同理，又，故，即恒成立，所以.作，則為中點(diǎn)，故，所以.又因?yàn)橹苯牵?，所以，即斜邊上的高是故答案為?0．【答案】【解析】∵，∴，又，則可設(shè)，設(shè)．由知C在以為圓心，1為半徑的圓上，取的中點(diǎn)為，由,又，所以所以D在以為圓心3為半徑的圓內(nèi)（含邊界），如圖所示．作圓N關(guān)于x軸的對稱圓圓P，其中，則表示圓面M內(nèi)一點(diǎn)與圓P上一點(diǎn)之間的距離，所以，即的最大值為．故答案為：．1．【答案】D【解析】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)椋?，即；故選：D2．【答案】C【解析】解：,,即,解得,故選：C3．【答案】C【解析】解：∵