2024屆一輪復習命題方向精講系列：34 輕松搞定軌跡方程問題（十大經典題型）（原卷附答案）

第第頁獲取更多資料，關注微信公眾號：Hi數學派考向34輕松搞定軌跡方程問題題型一：直接法題型二：定義法題型三：相關點法經典題型四：交軌法經典題型五：參數法經典題型六：點差法經典題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡經典題型八：復數與圓錐曲線的軌跡經典題型九：向量與圓錐曲線的軌跡經典題型十：利用韋達定理求軌跡方程方法技巧一．直接法求動點的軌跡方程利用直接法求動點的軌跡方程的步驟如下：（1）建系：建立適當的坐標系（2）設點：設軌跡上的任一點（3）列式：列出有限制關系的幾何等式（4）代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉化為的方程式化簡（5）證明（一般省略）：證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程（對某些特殊值應另外補充檢驗）．簡記為：建設現代化，補充說明．注：若求動點的軌跡，則不但要求出動點的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．方法技巧二．定義法求動點的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動點和滿足焦點標志的定點連起來判斷．熟記焦點的特征：（1）關于坐標軸對稱的點；（2）標記為的點；（3）圓心；（4）題目提到的定點等等．當看到以上的標志的時候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點特征的點連起來結合曲線定義求解軌跡方程．方法技巧三．相關點法求動點的軌跡方程如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程．方法技巧四．交軌法求動點的軌跡方程在求動點的軌跡方程時，存在一種求解兩動曲線交點的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點（含參數）的坐標，再消去參數得出所求軌跡的方程，該方法經常與參數法并用，和參數法一樣，通常選變角、變斜率等為參數．方法技巧五．參數方程法求動點的軌跡方程動點的運動主要是由于某個參數的變化引起的，可以選參、設參，然后用這個參數表示動點的坐標，即，再消參.方法技巧六．點差法求動點的軌跡方程圓錐曲線中涉及與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程．曲線的方程和方程的曲線在直角坐標系中，如果是某曲線（看作適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解（完備性）（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點（純粹性）那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫方程的曲線．事實上，曲線可以看作一個點集，以一個二元方程的解作為坐標的點也組成一個點集，上述定義中經典題型一：直接法1．（2022·全國·高二課時練習）動點P與兩個定點、的連線的斜率之積等于常數，求動點P的軌跡方程，并指出軌跡的形狀．2．（2022·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系xOy中，已知M（2，－1），N（0，1），動點P滿足，則動點P的軌跡E的方程為______．3．（2022·全國·高二課時練習）曲線C上任意一點P到點F（2，0）的距離與它到直線x＝4的距離之比等于，則C的方程為______．4．（2022·江西南昌·三模（理））已知兩條直線：，：，有一動圓（圓心和半徑都在變動）與，都相交，并且，被截在圓內的兩條線段的長度分別是定值，，則動圓圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．直線5．（2022·江西·新余市第一中學高二開學考試）在平面直角坐標系內，為坐標原點，對于任意兩點，，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則對于平面上任意一點，若，則動點的軌跡長度為______.6．（2022·全國·高二課時練習）已知點A（－2，0）、B（3，0）．動點P（x，y）滿足，則點P的軌跡方程為______．經典題型二：定義法7．（2022·全國·高二課時練習）已知的頂點，，且的內切圓的圓心在直線上，求頂點的軌跡方程.8．（2022·西藏·拉薩中學高二階段練習）已知動圓M與圓外切與圓內切，則動圓圓心M的軌跡C的方程為___________.9．（2022·全國·高三專題練習）已知定圓，定圓，動圓圓與定圓都內切，則動圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．10．（2022·遼寧丹東·高二期末）圓與圓相外切，與圓相內切，則圓的圓心在（

）A．一個橢圓上 B．雙曲線的一支上C．一條拋物線上 D．一個圓上11．（2022·全國·高二課時練習）如果點M（x，y）在運動過程中，總滿足關系式，那么點M的軌跡是______．12．（2022·全國·高三專題練習（理））設圓的圓心為A，直線過點且與軸不重合，交圓A于兩點，過作的平行線交于點．(1)證明為定值，并寫出點E的軌跡方程；經典題型三：相關點法13．（2022·全國·高二課時練習）在①過點，②圓E恒被直線平分，③與y軸相切這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知圓E經過點，且______.(1)求圓E的一般方程；(2)設P是圓E上的動點，求線段AP的中點M的軌跡方程.14．（2022·全國·高二課時練習）已知P是圓O：上任意一點，過點P作PQ⊥y軸于點Q，延長QP到點M，使．則點M的軌跡E的方程為______．15．（2022·全國·高二課時練習）在△ABC中，，，點C在直線上，則△ABC的重心G的軌跡方程為（

）A． B．C． D．16．（2022·全國·高二課時練習）當點P在圓上變動時，它與定點的連線PQ的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．經典題型四：交軌法17．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學高二階段練習（理））已知反比例函數的圖像C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線.(1)求雙曲線C的頂點坐標與焦點坐標；(2)設?為雙曲線C的兩個頂點，點?是雙曲線C上不同的兩個動點.求直線與交點的軌跡E的方程；(3)設直線l過點，且與雙曲線C交于A?B兩點，與x軸交于點Q.當，且時，求點Q的坐標.18．（2022·全國·模擬預測（文））設拋物線C：，過點的直線l與C交于A，B兩點，分別過點A，B作拋物線的切線，兩切線相交于點P.(1)求點P的軌跡方程；(2)求的最大值.19．（2022·全國·高三專題練習）設橢圓的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為C，曲線C的兩條切線PA、PB交于點P，且與C分別切于A、B兩點，求的最小值．20．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）已知雙曲線C：的離心率為2，，為雙曲線C的左、右焦點，是雙曲線C上的一個點．(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點且不與漸近線平行的直線l（斜率不為0）與雙曲線C的兩個交點分別為M，N，記雙曲線C在點M，N處的切線分別為，，點P為直線與直線的交點，試求點P的軌跡方程（注：若雙曲線的方程為，則該雙曲線在點處的切線方程為）故點的軌跡方程為．21．（2022·山西·運城市景勝中學高二階段練習）若雙曲線C的方程為，記雙曲線C的左、右頂點為A，B．弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB交點為M，其軌跡為曲線T，則曲線T的離心率為________．經典題型五：參數法22．（2022·全國·高二課時練習）平面上一動點C的坐標為，則點C的軌跡E的方程為______．23．（2022·江蘇·周市高級中學高二階段練習）已知直線與坐標軸的交點分別為A，B，則線段的中點C的軌跡與坐標軸圍成的圖形面積為（

）A． B． C． D．24．（2022·新疆·皮山縣高級中學高二期末（文））已知，，當時，線段的中點軌跡方程為（

）A． B．C． D．經典題型六：點差法25．（2022·全國·高二專題練習）已知橢圓的弦所在直線過點，求弦中點的軌跡方程.26．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；(3)求過點且被平分的弦所在直線的方程．經典題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡27．（2022·重慶十八中高二階段練習）點O是棱長為3的正方體的內切球心，點P滿足且，則動點P所形成的平面圖形的面積為________．28．（多選題）（2022·廣東·高二階段練習）已知正方體的棱長為2，點P為正方形ABCD所在平面內一動點，則下列命題正確的有（

）A．若點P總滿足，則動點P的軌跡是一條直線B．若點P到直線與到直線DC的距離相等，則點P的軌跡為拋物線C．若點P到直線的距離與到點C的距離之和為2，則動點P的軌跡是橢圓D．若與AB所成的角為，則點P的軌跡為雙曲線29．（2022·四川省成都市新都一中高二開學考試（理））已知正方體的邊長為2，點，分別是為棱，的中點，點為四邊形內（包括邊界）的一動點，且滿足平面，則點的軌跡長為（

）A． B．2 C． D．130．（2022·江西·新余市第一中學高二開學考試）如圖，在棱長為的正方體中，、分別是棱、的中點，是側面上一點，若平面，則線段長度的取值范圍是（

）A． B． C． D．31．（2022·江蘇·南京市中華中學高二開學考試）在長方體中，點在矩形內（包含邊線）運動，在運動過程中，始終保持到頂點的距離與到對角線所在直線距離相等，則點的軌跡是（

）A．線段 B．圓的一部分 C．橢圓的一部分 D．拋物線的一部分經典題型八：復數與圓錐曲線的軌跡32．（2022·江西·九江一中高二階段練習（理））滿足條件的復數z在復平面上對應點的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線33．（2022·河南開封·高二階段練習（文））已知為虛數單位，且，復數滿足，則復數對應點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．34．（2022·全國·高三專題練習）已知復數滿足，則的軌跡為（

）A．線段 B．直線C．橢圓 D．橢圓的一部分經典題型九：向量與圓錐曲線的軌跡35．（2022·黑龍江·龍江縣第一中學高二開學考試）已知，，是不在同一直線上的三個點，是平面內一動點，若，，則點的軌跡一定過的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內心36．（2022·全國·高三專題練習）正三角形OAB的邊長為1，動點C滿足，且，則點C的軌跡是（

）A．線段 B．直線 C．射線 D．圓37．（2022·湖南·高二期中）已知平面向量，，滿足，，，，，為坐標原點，則點的軌跡為（

）A．線段 B．直線 C．圓 D．橢圓38．（2022·全國·高二課時練習）已知，，O為坐標原點，動點滿足，其中，且，則動點P的軌跡方程是（

）A． B．C． D．經典題型十：利用韋達定理求軌跡方程39．（2022·全國·高三專題練習）設不同的兩點A，B在橢圓上運動，以線段AB為直徑的圓過坐標原點O，過O作，M為垂足．求點M的軌跡方程.40．（2022·浙江·高三開學考試）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸?軸于兩點，當點運動時，點的軌跡方程是___________.41．（2022·全國·高二課時練習）設橢圓的方程為，斜率為1的動直線交橢圓于A，B兩點，以線段的中點為圓心，為直徑作圓，圓心的軌跡方程為______．1．（2015·山東·高考真題）關于，的方程，給出以下命題；①當時，方程表示雙曲線；②當時，方程表示拋物線；③當時，方程表示橢圓；④當時，方程表示等軸雙曲線；⑤當時，方程表示橢圓．其中，真命題的個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2020·全國·高考真題（文））在平面內，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線3．（2019·北京·高考真題（理））數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個結論：①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結論的序號是A．① B．② C．①② D．①②③4．（2014·福建·高考真題（文））在平面直角坐標系中，兩點間的“L-距離”定義為則平面內與軸上兩個不同的定點的“L-距離”之和等于定值（大于）的點的軌跡可以是（）A． B． C． D．5．（2008·浙江·高考真題（理））如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點P在平面內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）A．圓 B．橢圓C．一條直線 D．兩條平行直線6．（2015·浙江·高考真題（文））如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是（）A．直線 B．拋物線C．橢圓 D．雙曲線的一支7．（2009·上海·高考真題（文））點與圓上任一點連線的中點的軌跡方程是（）A．B．C．D．8．（2008·江西·高考真題（理））設點在直線上，過點作雙曲線的兩條切線，切點為，定點．（1）求證：三點共線；（2）過點作直線的垂線，垂足為，試求的重心所在曲線方程．經典題型一：直接法1．【解析】設.則.因為動點P與兩個定點、的連線的斜率之積等于常數，所以.當k＝0時，y＝0（x≠±1），表示x軸，除去兩點；當，，它表示焦點在x軸上的雙曲線除去兩點．2．【答案】【解析】設P（x，y），則，，．由，知，化簡得，即動點P的軌跡E的方程為．故答案為：.3．【答案】【解析】設P（x，y），由題意，化簡得，即C的方程為．故答案為：.4．【答案】C【解析】設動圓圓心的坐標為，半徑為，圓心到，的距離分別是，，則，，所以，又因為，，即，得，即.所以動圓圓心的軌跡方程為，由方程可知，動圓圓心的軌跡為雙曲線.故選：C5．【答案】【解析】設，則①，當時，①化為：；當時，①化為：；當時，①化為：；當時，①化為：；由此畫出點的軌跡如下圖所示，所以軌跡的長度為.故答案為：6．【答案】【解析】設，則，故由得，化簡得，故答案為：經典題型二：定義法7．【解析】設內切圓與邊相切于點，與邊相切于點，與邊相切于點，則易知，∴點的軌跡是雙曲線的右支（除去與軸的交點），且，，∴，，，∴頂點的軌跡方程是.8．【答案】【解析】設動圓圓心，半徑為，因為圓M與圓外切與圓內切，圓心，，所以，則，于是點的軌跡是以點為焦點的雙曲線的右支.由題意，，于是，C的方程為：.故答案為：.9．【答案】A【解析】由題意，設動圓的圓心為，半徑為r，圓的圓心為，半徑為1，圓的圓心為，半徑為5.而圓與定圓都內切，所以，，則.于是，動圓的圓心的軌跡為以，為焦點的雙曲線的右支，則，故動圓的圓心的軌跡方程為.故選：A.10．【答案】A【解析】設動圓的圓心為P，半徑為r,圓的圓心為,半徑為1；圓的圓心為,，半徑為3.依題意得，，則所以點P的軌跡是橢圓.故選：A11．【答案】橢圓【解析】可看作M（x，y）到的距離之和為，由于,所以點M的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓.故答案為：橢圓12．【解析】（1）由題意可知，故，又，故,故,所以，故,又圓A標準方程為，從而，所以．由題設得，由橢圓的定義可得點的軌跡方程為，()；經典題型三：相關點法13．【解析】（1）方案一：選條件①.設圓的方程為，則，解得，則圓E的方程為.方案二：選條件②.直線恒過點.因為圓E恒被直線平分，所以恒過圓心，所以圓心坐標為，又圓E經過點，所以圓的半徑r＝1，所以圓E的方程為，即.方案三：選條件③.設圓E的方程為.由題意可得，解得，則圓E的方程為，即.（2）設.因為M為線段AP的中點，所以，因為點P是圓E上的動點，所以，即，所以M的軌跡方程為.14．【答案】【解析】設M（x，y），因為，所以P為QM的中點，又有PQ⊥y軸，所以．因為P是圓O：上的點，所以，即點M的軌跡E的方程為．故答案為：.15．【答案】B【解析】∵△ABC的重心為G，則，設，，則，即，又點C在直線上，則.故△ABC的重心G的軌跡方程為故選：B16．【答案】C【解析】設，PQ的中點M的坐標為，∵，∴∴又∵點P在圓上，∴，即，故選：C．經典題型四：交軌法17．【解析】(1)根據題意可得，反比例函數的頂點和焦點均在上，聯立解得，故雙曲線C的頂點坐標，.所以該等軸雙曲線的焦距為，所以焦點坐標為，即，(2)因為點?是雙曲線C上不同的兩個動點，故.設，，根據，分別共線，且在雙曲線C上，，有，且，兩式相乘有，即，化簡得.即軌跡E的方程為(3)設，由題意直線有斜率且不為0，設，聯立有，故，又，故，故，即，因為，故，即，代入韋達定理有，解得，故，故18．【解析】(1)如圖，結合圖象可知，當直線l的斜率不存在時，直線l與C只有一個交點，不合題意；當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+1，聯立，化簡可得.設，，則有，，由，可得，所以，，從而結合點A在拋物線C上有，即①，同理得②，聯立①②可得交點，即，故點P的軌跡方程為y=-1.(2)結合（1）可得，，所以.因為，所以，故的最大值為-4.19．【解析】設橢圓的兩切線為，．①當軸或軸時，對應軸或軸，可知切點為；②當與x軸不垂直且不平行時，，設的斜率為k，則，的斜率為，并設的交點為，則的方程為，聯立，得：，∵直線與橢圓相切，∴，得，∴，∴k是方程的一個根，同理是方程的另一個根，∴得，其中，∴交點的軌跡方程為：，∵也滿足上式；綜上知：軌跡C方程為；設，，則在與中應用余弦定理知，，即，即，，令，則，，當且僅當，即時，取得最小；綜上，的最小為.20．【解析】(1)據題意，則，點在雙曲線上，則，又，則，∴，，，∴雙曲線的方程為．(2)設，，直線l：，聯立，，，由題知，切線：，切線：，記，則，兩式相加得，將代入得③；兩式相減得得，由得④，聯立③和④得，故，又，所以，則，故點的軌跡方程為．21．【答案】【解析】設P（，），則Q（，-），設點M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），所以直線PA的方程為①，直線QB的方程為②．由①得，由②得，上述兩個等式相乘可得，∵P（，）在雙曲線上，∴，可得，∴∴，化簡可得，即曲線的方程為，其離心率為，故答案為：.經典題型五：參數法22．【答案】【解析】令，所以，故，進而，故答案為：23．【答案】D【解析】不妨設為直線與的軸的交點，為直線與的軸的交點，則，故，設，則且，故C的軌跡與坐標軸為，故選：D.24．【答案】B【解析】中點坐標為，即，，，，．故選：B經典題型六：點差法25．【解析】設，弦的中點，則，將代入橢圓方程得，兩式相減得，所以，當時，，因為，所以，則，整理得；當時，則直線方程為，代入橢圓方程解得所以滿足上述方程，故點的軌跡方程.26．【解析】（1）設弦與橢圓兩交點坐標分別為、，設，當時，．當時，，兩式相減得，即(*)，因為，，，所以，代入上式并化簡得，顯然滿足方程.所以點P的軌跡方程為（在橢圓內部分）．（2）設，在（1）中式子里，將，，代入上式并化簡得點Q的軌跡方程為（在橢圓內部分）．所以，點的軌跡方程（在橢圓內部分）.（3）在（1）中式子里，將，，代入上式可求得．所以直線方程為．經典題型七：立體幾何與圓錐曲線的軌跡27．【答案】【解析】點O是棱長為3的正方體的內切球心，所以O是中點，點P滿足，則點P在平面上，設與平面交于點，，是平面內兩條相交直線，所以平面，平面，所以，同理可得：，是平面內兩條相交直線，所以平面，正四棱錐中，易得為三角形的中心，由等體積法可得：所以，要滿足，即，，是邊長為的等邊三角形，所以其內切圓半徑為所以P所形成的平面圖形是以為圓心為半徑的圓及其內部區(qū)域，所以其面積為.故答案為：28．【答案】ABD【解析】對于A，在正方體中，，，，所以平面，而點P在側面ABCD上運動，且，所以點P的軌跡就是直線BC，故A正確；對于B，由正方體性質知，平面ABCD，由線面垂直的性質定理知，即PB是點P到直線的距離，在平面ABCD中，點P到定點B的距離與到定直線DC的距離相等，所以點P的軌跡是以點B為焦點，直線DC為準線的拋物線，故B正確；對于C，若點P到直線的距離就是點P到點D的距離，即平面ABCD內的點P滿足，即滿足條件的點P的軌跡就是線段DC，不是橢圓，故C不正確；對于D，如圖以D為直角坐標系原點，建立空間直角坐標系，P（x，y，0），，A（2，0，0），B（2，2，0），則，，利用空間向量求夾角知，化簡整理得：，即，所以P的軌跡為雙曲線，故D正確．故選：ABD．29．【答案】A【解析】如圖，分別作，的中點，，連接，，，，，由題可知，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面；又，又平面，平面，∴平面，又，，平面，∴平面平面，由題意知平面，又點為四邊形內（包括邊界）的一動點，∴線段，點的軌跡為，∴.故選：A．30．【答案】B【解析】如圖所示，分別取棱、的中點、，連接、、、、，因為、分別為、的中點，則，同理可得，，平面，平面，平面，因為且，、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，當時，平面，則平面，所以，點的軌跡為線段．在中，．在中，．同理，在中，可得，所以，為等腰三角形．設的中點為，連接．當點位于的中點處時，，此時最短；當點位于、處時，最長．易求得，因此，線段長度的取值范圍是．故選：B.31．【答案】A【解析】如圖所示，在長方體中，可得平面，因為平面，所以，所以點到頂點的距離為，又因為點到頂點的距離與到對角線所在直線距離相等，所以點到線的距離與到對角線所在直線距離相等，過點作的角平分線，類比到角平分面，此面與底面的交的是直線，又由點在矩形內（包含邊線）運動，所以點的軌跡是線段.故選：A.經典題型八：復數與圓錐曲線的軌跡32．【答案】A【解析】設，由可得：，兩邊平方得：，∴復數z在復平面上對應點的軌跡是圓.故選：A33．【答案】C【解析】，表示點，故復數的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓.故選：C34．【答案】A【解析】，根據復數的幾何意義知表示點到定點與的距離之和為2，而，故點的軌跡為線段.故選：A經典題型九：向量與圓錐曲線的軌跡35．【答案】B【解析】如圖，取的中點，連接，則．又，，即．又，點在射線上．故的軌跡過的重心．故選：B．36．【答案】D【解析】方法一：由題可知：，又所以，即所以點C的軌跡是圓.方法二：由題可知：，如圖，以O為原點OB為x軸，過O點與OB垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，所以設，又所以整理得：所以點C的軌跡是圓.故選：D.37．【答案】C【解析】建立平面直角坐標系，設，，，，可得，可知點的軌跡為一個圓.故選：C38．【答案】B【解析】由題意得，∴，，∴，，∵，∴，即．故選：B經典題型十：利用韋達定理求軌跡方程39．【解析】①若直線AB的斜率不存在，由已知得點M的坐標為；②若直線AB的斜率存在，設直線AB為，聯立橢圓，得：，設，，則，，以線段AB為直徑的圓過原點O，即，所以，所以，又，故O到AB的距離．綜合①②，點M的運動軌跡為O以為圓心，以1為半徑的圓，軌跡方程為：．40．【答案】【解析】由得，，因為與雙曲線有唯一的公共點，即相切于點，所以化簡