全等三角形整合提升

-.z.專訓(xùn)一：三角形中的五種常見證明類型名師點金：學(xué)習(xí)了全等三角形及等腰三角形的性質(zhì)和判定后，與此相關(guān)的幾何證明題的類型非常豐富，常見的類型有：證明數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系，線段的和差關(guān)系、倍分關(guān)系、不等關(guān)系等．證明數(shù)量關(guān)系題型1證明線段相等1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，E、F分別是AB、AC上的點，且AE＝AF，求證：DE＝DF.(第1題)題型2證明角相等2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC的中點，AE⊥BD于F交BC于E.求證：∠ADB＝∠CDE.(第2題)證明位置關(guān)系3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，點G是EF的中點，求證：DG⊥EF.(第3題)證明倍分關(guān)系4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于點H，且AE＝BE，求證：AH＝2BD.(第4題)證明和、差關(guān)系5．如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求證：AB＋BD＝AC.(第5題)證明不等關(guān)系6．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，P是AD上的任意一點，且AB＞AC，求證：AB－AC＞PB－PC.(第6題)專訓(xùn)二：構(gòu)造全等三角形的六種常用方法名師點金：在進(jìn)展幾何題的證明或計算時，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的條件比擬集中，能比擬容易找到一些量之間的關(guān)系，使數(shù)學(xué)問題得以較輕松地解決．常見的輔助線作法有：構(gòu)造法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、翻折法、加倍折半法和截長補短法，目的都是構(gòu)造全等三角形．構(gòu)造根本圖形法1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為BC的中點，CE⊥AD于點E，其延長線交AB于點F，連接DF.求證：∠ADC＝∠BDF.(第1題)翻折法2．如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD⊥BE，垂足為D.求證：∠2＝∠1＋∠C.(第2題)旋轉(zhuǎn)法3．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度數(shù)．(第3題)平移法4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于點P，BQ平分∠ABC交AC于點Q，且AP與BQ相交于點O.求證：AB＋BP＝BQ＋AQ.(第4題)加倍折半法5．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度數(shù)．(第5題)截長補短法6．如下圖，AB∥CD，BE、CE分別為∠ABC、∠BCD的平分線，點E在AD上．求證：BC＝AB＋CD.(第6題)專訓(xùn)三：分類討論思想在等腰三角形中的應(yīng)用名師點金：分類討論思想是解題的一種常用方法，在等腰三角形中，往往會遇到條件或結(jié)論不唯一的情況，此時就需要分類討論．通過正確地分類討論，可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整、嚴(yán)密的解答．其解題策略為：先分類，再畫圖，后計算．當(dāng)頂角和底角不確定時，分類討論1．假設(shè)等腰三角形中有一個角等于40°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq\f(1,2)BC，則等腰三角形ABC的底角的度數(shù)為()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．假設(shè)等腰三角形的一個外角為64°，則底角的度數(shù)為________．當(dāng)?shù)缀脱淮_定時，分類討論4．(2015·)一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的兩邊長分別為7和9，則其周長為________．6．假設(shè)實數(shù)*，y滿足|*－5|＋(10－y)2＝0，則以*，y的值為邊長的等腰三角形的周長為________．當(dāng)高的位置關(guān)系不確定時，分類討論7．等腰三角形一腰上的高與另一邊的夾角為25°，求這個三角形的各個角的度數(shù)．由腰的垂直平分線引起的分類討論8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為40°，求∠B的度數(shù)．由腰上的中線引起的分類討論9．等腰三角形ABC的底邊BC長為5cm，一腰上的中線BD把其分為周長差為3cm的兩局部．求腰長．點的位置不確定引起的分類討論10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直線BC或AC上取一點P，使得△PAB為等腰三角形，則符合條件的點P共有()(第10題)A．7個B．6個C．5個D．4個11．如圖，△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直線AB上的兩點，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度數(shù)．(第11題)專訓(xùn)四：三角形中常見的熱門考點名師點金：本章主要學(xué)習(xí)了互逆命題與互逆定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形，線段垂直平分線與角平分線等常見的軸對稱圖形的性質(zhì)與判定．本章的考點較多，也是中考的重點考察容．互逆命題、根本領(lǐng)實、互逆定理1．以下命題是真命題的是()A．無限小數(shù)是無理數(shù)B．相反數(shù)等于它本身的數(shù)是0和1C．對頂角相等D．等邊三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形2．以下命題及其逆命題是互逆定理的是()A．全等三角形的對應(yīng)角相等B．假設(shè)兩個角都是直角，則它們相等C．同位角相等，兩直線平行D．假設(shè)a＝b，則|a|＝|b|全等三角形的性質(zhì)與判定3．如下圖，AB∥EF∥CD，∠ABC＝90°，AB＝DC，則圖中的全等三角形有()A．3對B．2對C．1對D．0對(第3題)(第4題)4．如圖，在△ABC中，AC＝5，F(xiàn)是高AD和BE的交點，AD＝BD，則BF的長是()A．7B．6C．5D．45．(2015·)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，點M，N分別在AB，AC邊上，AM＝2MB，AN＝2NC，求證：DM＝DN.(第5題)等腰三角形的判定與性質(zhì)6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)分別為垂足，則以下四個結(jié)論：(1)∠DEF＝∠DFE；(2)AE＝AF；(3)DA平分∠EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個(第6題)(第7題)(第8題)7．如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直線AD折疊，點C落在C′處，連接BC′，則BC′的長為________．8．如下圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，過點O作MN∥BC，分別交AB，AC于點M，N.假設(shè)AB＝6cm，AC＝9cm，則△AMN的周長為________．9．(中考·)如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB＝AD.(第9題)尺規(guī)作圖10．如圖，線段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC邊上的高AD＝h.紅的作法如下：(1)作線段BC＝a；(2)作線段BC的垂直平分線MN，MN與BC相交于點D；(3)在直線MN上截取線段h；(4)連接AB，AC.△ABC即為所要求作的等腰三角形．上述作法的四個步驟中，你認(rèn)為有錯誤的一步是()(第10題)A．(1)B．(2)C．(3)D．(4)線段垂直平分線與角平分線11.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分線DE交AC于點D，交AB于點E，則以下結(jié)論錯誤的選項是()A．BD平分∠ABCB．△BCD的周長等于AB＋BCC．AD＝BD＝BCD．點D是線段AC的中點(第11題)(第12題)12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點D，∠ADC＝130°，則∠CAB的大小是()A．80°B．50°C．40°D．20°13．如圖，C是∠MAN的平分線上一點，CE⊥AB于E，點B，D分別在AM，AN上，且AE＝eq\f(1,2)(AD＋AB)．問：∠1和∠2有何關(guān)系？并說明理由．(第13題)思想方法a．分類討論思想14．等腰三角形的一個外角等于110°，則這個三角形的頂角度數(shù)為________．15．(2014·)等腰三角形的兩邊長分別為a，b，且a，b滿足eq\r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，則此等腰三角形的周長為()A．7或8B．6或10C．6或7D．7或10b．方程思想16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度數(shù)．(第16題)c．轉(zhuǎn)化思想17．如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于E，求證：BE＝eq\f(1,2)(AC－AB)．(第17題)答案專訓(xùn)一1．證明：連接AD.∵AB＝AC，D是BC的中點，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED和△AFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,∠EAD＝∠FAD，,AD＝AD，))∴△AED≌△AFD(S.A.S.)．∴DE＝DF.2．證明：過點C作CG⊥AC交AE的延長線于G，則CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.又∵AF⊥BD，AC⊥CG，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.∴∠ABF＝∠CAG.在△ABD和△CAG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABF＝∠CAG，,AB＝AC，,∠BAD＝∠ACG＝90°，))∴△ABD≌△CAG(A.S.A.)．∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.又∵D為AC的中點，∴AD＝CD，∴CD＝CG.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.∴∠ACB＝∠GCE.又∵CE＝CE，∴△CDE≌△CGE(S.A.S.)．∴∠G＝∠CDE.∴∠ADB＝∠CDE.(第3題)3．證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CF，,∠B＝∠C，,BE＝CD，))∴△BDE≌△CFD(S.A.S.)．∴DE＝DF.又∵點G是EF的中點，∴DG⊥EF.4．證明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.在△BCE和△AHE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EBC＝∠EAH，,BE＝AE，,∠BEC＝∠AEH＝90°，))∴△BCE≌△AHE(A.S.A.)．∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD.5．證明：如圖，延長CB至E，使BE＝BA，則∠BAE＝∠E.∵∠ABC＝2∠C＝2∠E，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.(第5題)(第6題)6．證明：如圖，在AB上截取AE，使AE＝AC，連接PE.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD.在△AEP和△ACP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AC，,∠BAD＝∠CAD，,AP＝AP，))∴△AEP≌△ACP(S.A.S.)，∴PE＝PC.在△PBE中，BE＞PB－PE，∴AB－AC＞PB－PC.專訓(xùn)二1．證明：如圖，過點B作BG⊥BC交CF的延長線于點G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠2，,AC＝CB，,∠ACD＝∠CBG＝90°，))∴△ACD≌△CBG(A.S.A.)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵點D為BC的中點，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝BG，,∠DBF＝∠GBF，,BF＝BF，))∴△BDF≌△BGF(S.A.S.)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.點撥：此題運用了構(gòu)造根本圖形法，通過作輔助線構(gòu)造△CBG、△BGF是解題的關(guān)鍵．(第1題)(第2題)2．證明：如圖，延長AD交BC于點F.(相當(dāng)于將AB邊向下翻折，與BC邊重合，A點落在F點處，折痕為BE)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠FBD，,BD＝BD，,∠ADB＝∠FDB＝90°，))∴△ABD≌△FBD(A.S.A.)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.(第3題)3．解：如圖，延長CB到點H，使得BH＝DF，連接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠ABH＝∠D＝90°.在△ABH和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠ABH＝∠D＝90°，,BH＝DF，))∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AH＝AF，,AE＝AE，,EH＝EF，))∴△AEH≌△AEF.∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝eq\f(1,2)∠HAF＝45°.點撥：圖中所作輔助線，相當(dāng)于將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，使AD邊與AB邊重合，得到△ABH.4．證明：過點O作OD∥BC交AB于點D，∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.∴OD＝OQ，AD＝AQ.∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB，又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.∴BD＝OD.∴BD＝OQ.∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.∴∠BOP＝∠APB，∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝BQ＋AQ.5．解：在DC上截取DE＝BD，連接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是線段BE的垂直平分線，∴AB＝AE，∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝CD，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.故設(shè)∠EAC＝∠C＝*，∵∠AEB為△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2*，∴∠B＝2*，∠BAE＝180°－2*－2*＝180°－4*.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4*＋*＝120°，解得*＝20°，則∠C＝20°.6．證法一：用截長法，如圖①所示，在BC上截取BF＝AB，連接EF.(第6題)因為BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE.在△ABE和△FBE中，因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝FB，,∠ABE＝∠FBE，,BE＝BE，))所以△ABE≌△FBE.所以∠A＝∠EFB.因為AB∥CD，所以∠A＋∠D＝180°.因為∠BFE＋∠EFC＝180°，所以∠EFC＝∠D.在△EFC和△EDC中，因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FCE＝∠DCE，,∠EFC＝∠D，,EC＝EC，))所以△EFC≌△EDC.所以FC＝DC.所以BC＝BF＋FC＝AB＋CD.證法二：用補短法，如圖②所示，延長BE交CD的延長線于點G.因為AB∥CD，所以∠ABE＝∠G.因為BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠CBE.所以∠CBE＝∠G.因為CE平分∠BCD，所以∠BCE＝∠GCE.在△BEC和△GEC中，因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CBE＝∠G，,∠BCE＝∠GCE，,CE＝CE，))所以△BEC≌△GEC.所以BC＝GC，BE＝GE.在△ABE和△DGE中，因為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠G，,∠AEB＝∠DEG，,BE＝GE，))所以△ABE≌△DGE.所以AB＝DG.所以BC＝CG＝GD＋DC＝AB＋CD.專訓(xùn)三1．D2.C3.32°4．C5.23或256.257．解：設(shè)等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D.(1)當(dāng)高與底邊的夾角為25°時，高一定在△ABC的部，如圖①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(第7題)(2)當(dāng)高與另一腰的夾角為25°時，如圖②，高在△ABC的部時，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如圖③，高在△ABC的外部時，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各角的度數(shù)為：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.點撥：由于題目中的“另一邊〞沒有指明是“腰〞還是“底邊〞，因此必須進(jìn)展分類討論，另外，還要結(jié)合圖形，分高在三角形還是在三角形外．8．解：此題分兩種情況：(1)如圖①，AB邊的垂直平分線與AC邊交于點D，∠ADE＝40°，則∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如圖②，AB邊的垂直平分線與CA的延長線交于點D，∠ADE＝40°，則∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小為65°或25°.(第8題)9．解：∵BD為AC邊上的中線，∴AD＝CD.(1)當(dāng)(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3cm時，則AB－BC＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝8cm；(2)當(dāng)(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3cm時，則BC－AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝2cm；但是當(dāng)AB＝2cm時，三邊長為2cm，2cm，5cm，而2＋2＜5，不符合三角形三邊關(guān)系，故舍去，故腰長為8cm.10．B11．解：(1)當(dāng)點D，E在點A的同側(cè)，且都在BA的延長線上時，如圖①，(第11題)∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)當(dāng)點D，E在點A的同側(cè)，且點D在D′的位置，點E在E′的位置時，如圖②，與(1)類似地可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)當(dāng)點D，E在點A的兩側(cè)，且點E在E′的位置時，如圖③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)當(dāng)點D，E在點A的兩側(cè)，且點D在D′的位置時，如圖④，∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝(180°－∠BAC)÷2，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE＝180°－(∠D′EC＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC＋∠AD′C)＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2]＝(∠BAC＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.綜上所述，∠DCE的度數(shù)為20°或110°或70°.專訓(xùn)四1．C2.C3.A4.C5．證明：∵AM＝2MB，AN＝2NC，∴AM＝eq\f(2,3)AB，AN＝eq\f(2,3)AC.又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.又∵AD＝AD，∴△AMD≌△AND(S.A.S.)．∴DM＝DN.6．D7.38.15cm9．證明：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD.10．C11.D12.D(第13題)13．解：∠1與∠2互補．理由：作CF⊥AN于F(如圖)，∵AC平分∠MAN，∴∠3＝∠4，又∵CE⊥AM，CF⊥AN，∴C