2021年中考數(shù)學(xué)04 二次根式的運(yùn)算（解析版）

專(zhuān)題04二次根式的運(yùn)算

專(zhuān)題常識(shí)回顧

1.二次根式：形如式子右(。20)叫做二次根式。(或是說(shuō)，示意非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的式子，叫

做二次根式)。

2.二次根式有意義的前提：被開(kāi)方數(shù)》0

3.二次根式的性質(zhì)：

(1)匡邕是非負(fù)數(shù);

(2)(4a)2=a(a>0)；

「a(a>0)

(3)籽=同=_o(q=0)；

J-Q(a<0)

(4)非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，

即宿=雇?冶(a20,b》0)。

(5)非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即

治於

--—(a》0,b>0)o反之，

a

Vax7^=4ab(a0,/J>0)=^(-b>0)

4.最簡(jiǎn)二次根式：必須同時(shí)滿(mǎn)足下列前提：

⑴被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式;

⑵被開(kāi)方數(shù)中不含分母;⑶分母中不含根式。

5.同類(lèi)二次根式：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，若被開(kāi)方數(shù)一樣，則這幾個(gè)二次根式就是同類(lèi)二次

根式。

6.分母有理化：分母有理化就是通過(guò)度子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的

過(guò)程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一樣都是通過(guò)度母有理化而進(jìn)行的。

7.分母有理化的方式：分子分母同乘以分母的有理化因式。

8.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，參加它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式

互為有理化因式。

9.找有理化因式的方式:

（1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母自己帶根號(hào)的部分。如：①〉育的有理化因式為

〉白②〉高的有理化因式為〉直

（2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分。即〉魚(yú)的有理

化因式為>詹，>1■的有理化因式為>1指,的有理化因式為

if

10.二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類(lèi)二次根式分別合并。

一樣地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行:

（1）將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式

（2）判斷哪些二次根式是同類(lèi)二次根式，把同類(lèi)二次根式聯(lián)合成一組

（3）合并同類(lèi)二次根式

11.二次根式的乘法

兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即

=二］（斌R,陪20）。

兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即

專(zhuān)題典型題考法及解析

【例題1】（2021湖南常德）下列運(yùn)算對(duì)的是（）

A.M+yRfB.g=3&c.J77y2=-2D.隼=叵

【答案解析】D

【試題解答】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的

乘除運(yùn)算，再合并即可.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能聯(lián)合問(wèn)題特點(diǎn)，機(jī)動(dòng)運(yùn)用二次根式的性質(zhì),

挑選恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

根據(jù)二次根式的加減法對(duì)｛進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對(duì)從C進(jìn)行判斷；根據(jù)分母有理化和二次

根式的性質(zhì)對(duì)〃進(jìn)行判斷.

4原式=遂+2,所以/選項(xiàng)錯(cuò)誤；

占.原式所以力選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C原式=2,所以「選項(xiàng)錯(cuò)誤；

〃原式=率之^=叵，所以〃選項(xiàng)正確.

76X^63_

【例題2】（2021?山東威海）計(jì)算（J適-3）°+V27-<--）’的成果是（）

3

A.l+—y/3B.1+273C.V3D.1+4加

3

【答案解析】D

【試題解答】分別根據(jù)零次基、：次根式的性質(zhì)以及負(fù)指數(shù)基化簡(jiǎn)即可求解.

原式=1+W5+F=1+4V^.

【例題3】（2021?山東省濱州市）計(jì)算：（-*）-2|+源+相=

【答案解析】2+似質(zhì).

【試題解答】根據(jù)二次根式的混合計(jì)算解答即可.

原式=4-2+曬+3>/^=2+4愿，

故答案為：2+4?.

【例題4】（2021?廣東）先化簡(jiǎn)，再求值：［二——匚］+二=，其中產(chǎn)&.

（x-2x-2；x2-4

【答案解析】1+V2

【試題解答】原式=旦十*

x-2X2-4

_x-1(x+2)(x-2)_x+2

---------------z\------------------------------------------------------------

x-2x(x-l)x

西6母+22+2-r-

當(dāng)戶(hù)42,原式=歷=---=1+42.

專(zhuān)題典型練習(xí)題

一、挑選題

1.（2021?四川省達(dá)州市）下列判斷對(duì)的是（）

A.1＜0.5B.若aZ?=0,則a=2）=0

2_

C.夫=強(qiáng)D.3a可以示意邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的周長(zhǎng)

【答案解析】D.

【試題解答】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小對(duì)照法則、二次根式的乘除法法則、列代數(shù)式的一樣步驟判斷即可.

42＜旄＜3,

二工〈返二_＜1,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

22

B.若ab=0,則a=0或6=0或a=Z?=0,本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

c當(dāng)心0,。＞0時(shí)，夫=*，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3a可以示意邊長(zhǎng)為a的等邊三角形的周長(zhǎng)，本選項(xiàng)正確。

2.（2021?湖北省隨州市）“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)的方式，如：上”=

2-^/3

,2+/￡+4=7+44,除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)

（2--x/3）（2+-x/3）

理數(shù)，如：對(duì)于“3+“5-13-d5,設(shè)外］3+"5-13-“5,易知＜3+，5＞，3-＜5,故x

>0,由%=(,3+由5-,3-,5)2=3+/+3-/-2'/(3+周5)(3-十5)=2,解得肝0即

13+V5-<3-小他.根據(jù)以上方式，化簡(jiǎn)、?-J+/6-3。3-根+30詬的成果為()

73+72

A.5+3^B.5+JC.5-<5D.5-3^

【答案解析】D

【試題解答】設(shè)產(chǎn)3/一,+34，且j6+3l＞\/6-3存

二x*3瓜-2J(6-3e)(6+34)+6+3瓜,

/.A12-2X3=6,

AJF-V/6,

6—EL

???通+能=5-2諄

原式=5-2、石-

=5-3通

3.（2021?山東省濟(jì)寧市）下列計(jì)算對(duì)的是（）

A.\（一3）2=累B.返=我C.V36=±6D.-Vo736=-0.6

【答案解析】D.

【試題解答】直接操縱二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)解析得出答案.

斤=3,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.浜=-相，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.保=6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.-No_36=-0.6,正確?

4.（2021?廣東）化簡(jiǎn)#的成果是

A.-4B.4C.±4D.2

【答案解析】B

【試題解答】公式存=同.

5.(2021?甘肅)使得式子有意義的X的取值范疇是)

V4-x

A.x24B.x>4C.xW4D.x<4

【答案解析】I）

【考點(diǎn)解析】直接操縱二次根式有意義的前提解析得出答案.

使得式子x有意義,則：4-x>0,

V4-x

解得：x<4,

即x的取值范疇是：x<4.

6.（2021?甘肅慶陽(yáng)）下列整數(shù)中，與后最接近的整數(shù)是)

A.3B.4C.5D.6

【答案解析】A.

【試題解答】因?yàn)?V10V16,于是互10與9的間隔小于16與10的間隔，可得答

案.

V32=9,42=16,

?,?3<V10<4,

10與9的間隔小于16與10的間隔,

二與S5最接近的是3.

7.（2021?山東省聊城市）下列各式不成立的是（）

C.退警=爪+?=5D.號(hào)友二?

【答案解析】C.

【試題解答】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法法則、除法法則計(jì)算，判斷即可.

岳-患=3a-等=半，4選項(xiàng)成立，不吻合題意；

而得=患=2噌，8選項(xiàng)成立，不吻合題意；

屈逗=2；但免返=殳但，「選項(xiàng)不成立，吻合題意；

222

/l必、嘩r-、=M-五,〃選項(xiàng)成立，不吻合題意。

V3+V2（V3+V2）（V3W2）

8.（2021湖南益陽(yáng)）下列運(yùn)算對(duì)的是（）

=

A.4（.2）2=-2B.（2-\/3）~=6C.,\/2+A/3=A/5D.A/2^V3V6

【答案解析】D

【試題解答】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式加法，乘法及乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可.

A.4（-2）2=2,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

&（2炳）2=12,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C我與、門(mén)不是同類(lèi)二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

〃.根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算的法則知本選項(xiàng)正確.

9.（2021?云南）要使也以有意義，則x的取值范疇為（）

2

A.后0B.才與一1C.杉0D.后一1

【答案解析】B.

【試題解答】根據(jù)二次根式有意義的前提即可求解.

要使立亙有意義，則被開(kāi)方數(shù)x+1要為非負(fù)數(shù)，即x+120,：.x>-\,故選B.

2

10.（2021?湖北省荊門(mén)市）-、月的倒數(shù)的平方是（）

A.2B.工C.-2D.

22

【答案解析】B.

【試題解答】根據(jù)倒數(shù)，平方的定義以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

-血的倒數(shù)的平方為：（古產(chǎn)弓.

二、填空題

11.（2021?江蘇揚(yáng)州）計(jì)算：（加-2）2021（V5+2）2必的成果是.

【答案解析】旄+2.

【試題解答】先根據(jù)積的乘方得到原式=［（、而-2）（代+2）了必.（、而+為,然后操縱平方差公式

計(jì)算.

原式=［（加-2）（V5+2）了必.（遙+2）

=（5-4）嘰（或+2）

=旄+2

故答案為V5+2.

12.（2021?四川省綿陽(yáng)市）單項(xiàng)式與2護(hù)y是同類(lèi)項(xiàng)，則/=.

【答案解析】1

【試題解答】山題意知-|%11=/=20,

?,.a=l,b=l,則a"=（l）』，故答案為：1.

13.（2021貴州遵義）計(jì)算3方-而的成果是

【答案解析】V5

【試題解答］3A/5-V20=3V5-275=75

14.（2021?南京）計(jì)算芳-屈的成果是

【答案解析】0

【試題解答】先分母有理化，然后把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后合并即可.

原式=2-26=0.

15.（2021寧夏）計(jì)算：（―3尸+卜一血卜.

【答案解析】-五

【試題解答】（_；尸+|2-0]=_2+2_0=_0.

16.（2021?廣東廣州）代數(shù)式7L有意義時(shí)，x應(yīng)滿(mǎn)足的前提是.

【答案解析】48.

【試題解答】直接操縱分式、二次根式的定義求出x的取值范疇.

代數(shù)式_^有意義時(shí)，

Vx-8

^-8>0,

解得：x>8.

故答案為：x>8.

17.（2021江蘇鎮(zhèn)江）計(jì)算："5-6=.

【答案解析】6.

【試題解答】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，解答時(shí)應(yīng)先化簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類(lèi)二次根，

因?yàn)轲?6=2百一百=百，是以本題答案為6.

18.（2021?山東臨沂）一樣地，參加x"=a（a20）,則稱(chēng)x為a的四次方根，一個(gè)正數(shù)a的四次

方根有兩個(gè).它們互為相反數(shù)，記為土垢，若/=1。，則於--------?

【答案解析1±10

【試題解答】操縱題中四次方根的定義求解.

*=1。，

/.m=±10.

故答案為：士10

19.（2021?湖南益陽(yáng)）察看下列等式：

①3-2后=（四-1）；

②5-2行=（百一拉）；

③7-2加1=（7^—百）：

請(qǐng)你根據(jù)以上規(guī)律，寫(xiě)出第6個(gè)等式.

【答案解析】13-2742=（V7-V6）2.

【試題解答】第n個(gè)等式左邊的第1個(gè)數(shù)為2K1,根號(hào)下的數(shù)為n（/?+l）,操縱完全平方公式得到

第〃個(gè)等式右邊的式子為（而1一行）的整數(shù)）.

寫(xiě)出第6個(gè)等式為13-2742=（V7-V6）2.

故答案為13-25/42=（5/7-5/6）3

20.（2021山東棗莊）察看下列各式：

其成果為

【答案解析】20212211.

2019

【試題解答】根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可.

2巳32018201“

=1+(1-工)+1+(―-—)+???+1+(2?！?/p>

223

=2021+1-工+工-工+工-工+…+―I---1—

2233420182019

=2O21Z°.L3.

2019

21.(2021?山東青島)計(jì)算：返歐返-(V3)°=.

V2

【答案解析】2?+1.

【試題解答】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算的法則計(jì)算即可.

瘴返■-(蟲(chóng))°=2壯2-1=2心1

V2

三、解答題

22.(2021?湖北省仙桃市)計(jì)算：(-2)J|-3|+&X&+(-6)°

【答案解析】6

【試題解答】先計(jì)算乘方、取絕對(duì)值符號(hào)、計(jì)算二次根式的乘法及零指數(shù)暴，再計(jì)算加減可得。

原式=4-