2021年中考數(shù)學二輪復習：軸對稱確定最短路線 尖子生練習題（含答案）

2021年中考數(shù)學二輪復習：軸對稱確定最短路線尖子生練習題

1.如圖，動點M在邊長為2的正方形ABC。內(nèi)，且尸是CQ邊上的一個動點,

E是4。邊的中點，則線段PE+PM的最小值為（）

B.揚1C.A/10D.5/5+I

2.如圖，正方形ABCO的邊長為4,點E在4B上且BE=1,尸為對角線AC上一動點，則

△BFE周長的最小值為（）

A.5B.6C.7D.8

3.如圖，在RtZ\AOB中，NAOB=90°,OA=3,08=4,以點。為圓心，2為半徑的圓

與08交于點C,過點C作C￡>J_0B交A2于點￡>,點尸是邊。4上的動點.當PC+PD

最小時，0P的長為（）

A.AB.3C.ID

24t

4.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,動點P滿足S△依B=」力矩形ABCD,則點P到A、

3

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8兩點距離之和B4+P8的最小值為（)

A.2^13B.2A/10C.3炳D.741

5.如圖，在RtZ\4B0中，/OBA=90°,A（4,4）,點C在邊AB上，且￡?=工，點力

CB3

為08的中點，點P為邊04上的動點，當點P在0A上移動時，使四邊形尸力8C周長

最小的點P的坐標為（）

A.(2,2)B.(5,2)C.(2，區(qū))D.(3,3)

2233

6.如圖，在正方形ABC。中，E,尸分別為AD,BC的中點，P為對角線8。上的一個動點,

則下列線段的長等于AP+EP最小值的是（）

A.ABB.DEC.BDD.AF

7.如圖，在矩形ABC。中，AB=5,AO=3,動點尸滿足S△用B=25矩形ABCD,則點尸到A、

3

B兩點距離之和PA+PB的最小值為（）

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A.V29B.>/34C.572D.V41

8.平面直角坐標系xOy中，已知A（-1,0）、B（3,0）、C（0,-1）三點，D（1,m）

是一個動點，當△ACD的周長最小時，△A3。的面積為（）

A.AB.2C.AD.反

3333

9.如圖，拋物線>=12+桁-2與x軸交于A、8兩點，與y交于C點，且A（-l,0）,

2

點〃（,"，0）是x軸上的一個動點，當MC+MZ）的值最小時，加的值是（）

"I

10.如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長為6,點A,C分別在x軸，y軸的正半軸上,

點。在OA上，且。的坐標為（2,0）,P是。8上的一動點，試求尸￡>+以和的最小值

是（）

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A.2^10B.V10C.4D.6

11.如圖所示，正方形ABC。的面積為12,△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABC。內(nèi),

在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.2MB.2cC.3D.V6

12.如圖，直線/是一條河，P,Q兩地相距8千米，P,Q兩地到/的距離分別為2千米，

5千米，欲在/上的某點M處修建一個水泵站，向尸，Q兩地供水.現(xiàn)有如下四種鋪設方

案，圖中實線表示鋪設的管道，則鋪設的管道最短的是（）

13.如圖，四邊形A8CD中，DALAB,CBLAB,AO=3,AB=5,BC=2,尸是邊AB上

的動點，則PC+PD的最小值是.

14.如圖，在矩形ABC。中，BC=10,NAB￡>=30°,若點M、N分別是線段AB上

的兩個動點，則AM+MN的最小值為

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D

M

15.如圖，在直角坐標系中，點4(1,1),B(3,3)是第一象限角平分線上的兩點，點C

的縱坐標為1,且CA=CB,在y軸上取一點。，連接AC,BC,AD,BD,使得四邊形

ACB。的周長最小，這個最小周長的值為.

16.如圖，在平面直角坐標系中，己知A(3,6),8(-2,2),在x軸上取兩點C,。(點

C在點。左側)，且始終保持CC=1,線段8在x軸上平移，當AQ+BC的值最小時，

點C的坐標為.

17.如圖，已知正方形A8CZ)的邊長為4,點E是邊AB的中點，點P是對角線8。上的動

點，則4P+PE的最小值是.

18.如圖，在邊長為1的菱形ABC。中，ZABC=60°,將△48。沿射線8。方向平移，得

到△EFG,連接EC、GC.求EC+GC的最小值為.

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E

19.如圖，△ABC為等邊三角形，邊長為6,ADLBC,垂足為點。，點E和點尸分別是線

段AO和AB上的兩個動點，連接CE,EF,則CE+EF的最小值為.

20.如圖，在邊長為I的菱形A8CD中，NABC=60°,將△AB。沿射線8。的方向平移得

到△Ab￡>,,分別連接A'C,A'D,B'C,則4C+5C的最小值為.

21.如圖，在矩形A8CD中，AB=4,AD=3,矩形內(nèi)部有一動點P滿足S△必矩形ABCD,

3

則點P到A、B兩點的距離之和PA+PB的最小值為.

22.在平面直角坐標系內(nèi)有兩點A、B,其坐標為A(-1,-1),B(2,7),點M為x軸

上的一個動點，若要使例B-MA的值最大，則點M的坐標為.

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23.如圖，中，/C=90°,以4B為邊在A8上方作正方形4BDE,過點。作OF

LCB,交CB的延長線于點尸，連接BE.

(1)求證：△AB8/\BDF；

(2)P,N分別為AC,BE上的動點，連接AMPN,若。F=5,AC=9,求AN+PN的

最小值.

24.如圖，在四邊形ABCD中，BC//AD,BC=L。，點E為AO的中點，點F為4E的中

2

點，ACJ_CD,連接BE、CE、CF.

(1)判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由；

(2)如果48=4,/。=30°,點尸為BE上的動點，求的周長的最小值.

25.如圖，在RtaABC中，NACB=90°,ZBAC=30°,E為AB邊的中點，以BE為邊

作等邊△8OE,連接40,CD.

(1)求證：△4OE四△CDB；

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(2)若BC=M，在AC邊上找一點H,使得BH+E”最小，并求出這個最小值.

26.問題背景：

如圖(a),點A、8在直線/的同側，要在直線/上找一點C,使AC與BC的距離之和最

小，我們可以作出點B關于/的對稱點夕，連接AB'與直線/交于點C,則點C即為

所求.

(1)實踐運用:

如圖(b),己知，00的直徑CZ)為4,點A在。。上，NAC￡>=30°,8為弧AO的中

點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為.

(2)知識拓展：

如圖(c),在Rt/XABC中，AB=\O,ZBAC=45°,NA4c的平分線交BC于點。，E、

尸分別是線段4。和AB上的動點，求5E+EF的最小值，并寫出解答過程.

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27.閱讀材料：

(1)對于任意兩個數(shù)。、6的大小比較，有下面的方法：

當4-匕>0時，一定有4〉匕；

當4-6=0時，一定有4=b；

當”-b<0時，一定有a<b.

反過來也成立.因此，我們把這種比較兩個數(shù)大小的方法叫做“求差法”.

(2)對于比較兩個正數(shù)4、6的大小時，我們還可以用它們的平方進行比較：

■:金-中=(a+b)Ca-b),a+b>0

(42-匕2)與(“-〃)的符號相同

當/-房>0時，a-b>0,得a>b

當.2-廬=0時，a-b=0,得a=b

當d-%2Vo時,a-b<0,得a<b

解決下列實際問題：

(1)課堂上，老師讓同學們制作幾種幾何體，張麗同學用了3張44紙，7張B5紙；李

明同學用了2張A4紙，8張85紙.設每張A4紙的面積為x,每張B5紙的面積為y,且

x>y,張麗同學的用紙總面積為Wi,李明同學的用紙總面積為W2.回答下列問題：

①Wi=(用x、y的式子表示)

W2=(用x、y的式子表示)

②請你分析誰用的紙面積最大.

(2)如圖1所示，要在燃氣管道/上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，已知4、B

到/的距離分別是3癡、4km(HPAC=3km,BE=4km),AB=xktn,現(xiàn)設計兩種方案：

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B

圖3

方案一：如圖2所示，AP_U于點P,泵站修建在點P處，該方案中管道長度m=A8+AP.

方案二：如圖3所示，點A'與點A關于/對稱，4'B與/相交于點P,泵站修建在點P

處，該方案中管道長度〃2=AP+BP.

①在方案一中，a\—km（用含x的式子表示）；

②在方案二中，“2=km（用含x的式子表示）；

③請你分析要使鋪設的輸氣管道較短，應選擇方案一還是方案二.

28.在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探究題.

如圖（1）,要在燃氣管道/上修建一個泵站，分別向4、8兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什

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么地方，可使所用的輸氣管線最短?

你可以在/上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

B

何BA

■/I

、，I

p\'1

\■

、I

.................................7

(1)(2)B，

聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道/看成一條

直線(圖(2)),問題就轉化為，要在直線/上找一點P,使AP與5尸的和最小.他的做

法是這樣的：

①作點B關于直線/的對稱點B'.

②連接A"交直線/于點P,則點P為所求.

請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在AABC中，點￡＞、E分別是AB、AC邊的中

點，BC=6,BC邊上的高為4,請你在8c邊上確定一點P,使△PQE得周長最小.

(1)在圖中作出點P(保留作圖痕跡，不寫作法).

(2)請直接寫出△PDE周長的最小值：.

A

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29.去冬今春，濟寧市遭遇了200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建

一座水泵站，分別向河的同一側張村A和李村8送水.經(jīng)實地勘查后，工程人員設計圖

紙時，以河道上的大橋。為坐標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系（如圖）.兩

村的坐標分別為A（2,3）,B（12,7）.

（1）若從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋多遠的地方可使所用輸水管道最短？

（2）水泵站建在距離大橋多遠的地方，可使它到張村、李村的距離相等？

30.幾何模型:

條件：如下圖，A、B是直線/同旁的兩個定點.

問題：在直線/上確定一點P,使附+尸8的值最小.

方法：作點A關于直線/的對稱點A',連接A'8交/于點尸，則以B的值最

?。ú槐刈C明）.

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模型應用：

(1)如圖1,正方形ABCD的邊長為2,E為A8的中點，P是AC上一動點.連接8￡>,

由正方形對稱性可知，B與。關于直線AC對稱.連接交AC于P,則P8+PE的最

小值是:

(2)如圖2,OO的半徑為2,點A、B、C在上，OALOB,ZAOC=60°,尸是

上一動點，求％+PC的最小值；

(3)如圖3,NAOB=45°,P是NAOB內(nèi)一點,P0=10,。、R分別是。4、0B上的

動點，求△PQR周長的最小值.

參考答案

1.解：作點E關于OC的對稱點E,設A8的中點為點。，連接0E1,交。C于點P,連接

PE,如圖:

?動點M在邊長為2的正方形A8C力內(nèi)，且

...點M在以A3為直徑的圓上，OM=』AB=1,

2

正方形ABCD的邊長為2,

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：.AD=AB=2,ZDAB=90°,

?IE是AQ的中點，

DE=1AD=^-X2=b

22

???點E與點E關于0c對稱，

：.DE=DE=\,PE=PE,

?"￡=AO+OE=2+1=3,

在RtZVIOE中，OE=d.2+AO2=T2+]2=V^,

???線段PE+PM的最小值為：

PE+PM

=PE+PM

=ME

=0E-OM

=VTo-1-

故選：A.

2.解：如圖，連接交AC于一點F,連接8F,

?.?四邊形ABC。是正方形，

.?.點8與點。關于AC對稱，

：.BF=DF,

：./\BFEWMl-K=BF+EF+BE=DE+BE,此時ABE尸的周長最小,

正方形ABCD的邊長為4,

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：.AD=AB=4,ZDAB=90°,

???點E在A5上且BE=1,

：.AE=39

?*-DE=VAD2+AE2=5'

.,.△BEE的周長=5+1=6,

故選：B.

3.解：如圖，延長CO交OO于點E,連接EQ,交AO于點P,此時PC+PO的值最小.

,:CD工OB,

：.ZDCB=90°,

又408=90°,

ZDCB=ZAOB,

J.CD//AO

.BC_CD

"BO'AO

VOC=2,OB=4,

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:.BC=2,

解得，co=3

432

"JCD//AO,

噌喂,吟號解得，尸。.

2

故選：B.

4.解：設△A8P中AB邊上的高是瓦

S&PAB=^S矩形ABCD,

3

：.lAB'h=lAB'AD,

23

：.h=lAD=2,

3

二動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線I上,

如圖，作A關于直線/的對稱點E,連接AE,BE,則BE的長就是所求的最短距離.

在RtzMBE中，'：AB=f>,AE=2+2=4,

B￡^VAB2+AE2=V62+42=2^'

即PA+PB的最小值為20m

故選：A.

5.解：：在RtZ\A80中，ZOBA=90Q,A(4,4),

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：.AB=0B=4,ZAOB=45°,

工，點。為OB的中點，

CB3

；.BC=3,OD=BD=2,

：.D(2,0),C(4,3),

作D關于直線OA的對稱點E,連接EC交OA于P,

則此時，四邊形PD8C周長最小,E(0,2),

:直線04的解析式為y=x,

設直線EC的解析式為y^kx+b,

.(b=2

'l4k+b=3'

解得：4,

b=2

直線EC的解析式為y=L+2,

4

(f

y=xx訶

解1得，4z

Iy=-4x+28四

:.p(A,A),

33

故選：c.

IA

wL

o\DB

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6.解：如圖，連接CP,

由AD=CD,NADP=NCDP=45°,DP=DP,可得△A￡＞尸絲△(?￡)戶,

：.AP=CP,

：.AP+PE=CP+PE,

當點E,P,C在同一直線上時，AP+PE的最小值為CE長，

此時，由A8=C。，NABF=NCDE,BF=DE,可得AABF絲△CQE,

：.AF^CE,

：.AP+EP最小值等于線段AF的長,

故選：

7.解：設△ABP中A8邊上的高是/?.

?；S△必B=&矩形ABC￡),

3

:.1AB-H=1AB*AD,

23

二〃=2A￡)=2,

3

...動點P在與AB平行且與AB的距離是2的直線/上，如圖，作A關于直線/的對稱點

E,連接AE,連接BE,則BE的長就是所求的最短距離.

在RtZ\A8E中，'：AB=5,AE=2+2=4,

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BE=VAB2+AE2=VS2+42=屈

即PA+PB的最小值為何.

故選：D.

8.解：由題可得，點C關于直線x=l的對稱點E的坐標為（2,-1）,

設直線AE的解析式為），=丘+4則

[O=-k+b

1-l=2k+b'

將。（1,，〃）代入，得

_1_1__2

f/l—————>

333

即點。的坐標為（1,-2）,

...當△AC。的周長最小時，△A2O的面積=」XA8X|-2|=工X4x2=_l.

23233

故選：C.

9.解：；點A（-1,0）在拋物線尸景+從-2上,

.'.Ax(-1)2+hX(-1)-2=0,

2

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：.b=-3,

2

???拋物線的解析式為y=”-&-2,

22

...頂點。的坐標為(3,-空)，

28

作出點C關于x軸的對稱點C',則C'(0,2),OC=2

連接C'。交x軸于點M,

根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小.

設拋物線的對稱軸交x軸于點E.

軸，

AAOCM=NEDM,ZCOM=NDEM

.?.△C'0Ms△QEM.

?OM=OC'

"EMED

10.解：連接CD,交。B于P.則CD就是PD+PA和的最小值.

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?.?在直角△OCQ中，ZCOD=90°,OD=2,0C=6,

/.00=^22+62=2^10,

APD+PA=PD+PC=CD^2^/lQ.

：.PD+PA和的最小值是2Jib.

故選：A.

11.解：設BE與AC交于點尸（P）,連接8。，

?點8與。關于AC對稱，

：.P'D=P'B,

：.P'D+P1E=P'B+P'E=BE最小.

即P在AC與BE的交點上時，PD+PE最小，為BE的長度;

?.,正方形4BC。的面積為12,

；.AB=2次.

又???△A8E是等邊三角形，

：.BE=AB=2M.

故所求最小值為2y.

故選：A.

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12.解：A、PQ+QM=8+2=10km；

B、'：QM+PM=P'Q,P'Q2=82-(5-2)2+(5+2)2=104,

：.P'Q=2-j2^m>\0km；

C、QM+PR=5+J^_^_2)2>10；

D、PM+(2A/=5+5y82_(-5_2')2+22>10.

綜上所述，A選項鋪設的管道最短.

13.解：延長CB到C',使C'B=CB=2,連接QC'交AB于P.則。C'就是PC+PQ

的和的最小值.

,JAD//BC,

：.ZA=ZPBC',NADP=NC',

：.4ADPs4BCP,

：.AP：BP=AD：BC=3：2,'

3

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,：AP+BP=AB=5,

，AP=3,BP=2,

'PD={AD2+AP2=、§2+32=3&,PC=7BP2+BCZ2=V22+22=2^2'

.".DC=PD+PC'=3揚2加=5加，

J.PC+PD的最小值是5&,

故答案為5,\/2-

14.解：作點A關于B。的對稱點A',連接MA',BA',過點A‘作A'"LAB于”.

'：BA=BA',ZABD^ZDBA'=30°,

ZABA'=60°,

...△A2A'是等邊三角形，

???四邊形A8CD是矩形，

：.AD=BC=iO,

在RtZVlBO中，AB=―_=10?,

tan300

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HLAB,

：.AH=HB=5y/3,

：.A'H=V^H=15,

,：AM+MN=A'M+MN與A'H,

：.AM+MN^15,

.?.AM+MN的最小值為15.

故答案為15.

15.解：?.?點A(1,1),點C的縱坐標為1,

；.AC〃x軸，

，NBAC=45°,

\'CA=CB,

；.NA8C=ZBAC=45°,

AZC=90°,

,:B(3,3)

：.C(3,1),

：.AC=BC=2,

作B關于y軸的對稱點￡,

連接AE交y軸于。，

則此時，四邊形AC8Q的周長最小，這個最小周長的值=AC+8C+AE,

過E作EFA.AC交CA的延長線于F,

則EF=BC=2,AF=6-2=4,

第24頁共41頁

22=

???AE=VEF+AF62+《2=2遙,

，最小周長的值=AC+8C+AE=4+2代,

故答案為：4+2

16.解：把A(3,6)向左平移1得A'(2,6),

作點B關于x軸的對稱點8',連接B'A'交x軸于C,在x軸上取點。(點C在點。

左側)，使CD=1,連接A。，

則AD+BC的值最小，

?:B(-2,2),

：.B'(-2,-2),

設直線*A'的解析式為y=fcr+b,

.f-2k+b=-2

"l2k+b=6'

解得：1=2,

lb=2

直線8,A'的解析式為y=2x+2,

當y=0時，x=-1,

：.C(-1,0),

故答案為：(-L0).

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17.解：如圖，連接CE交BO于點尸，連接AP,

?.?四邊形A8CQ是正方形，

.??點A與點C關于8。對稱，

：.AP=CP,

：.AP+EP=CP+EP^CE,此時AP+PE的最小值等于CE的長,

:正方形ABC。的邊長為4,點E是邊AB的中點，

：.BC=4,BE=2,ZABC=90°,

：=22=

.CEVBE+BC2后

:.AP+PE的最小值是2泥,

故答案為：2代

18.解：：在邊長為1的菱形ABC。中，/ABC=60°,

：.AB=CD=\,ZABD=30°,

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?.?將△A3。沿射線BD的方向平移得到△EGF,

：.EG=AB=\,EG//AB,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AB=CD,AB//CD,

：.ZBAD=\20a,

:.EG=CD,EG//CD,

連接EQ

四邊形EGCD是平行四邊形，

：.ED=GC,

：.EC+GC的最小值=比+9的最小值,

?.?點￡在過點A且平行于BQ的定直線上，

作點D關于定直線的對稱點M,連接CM交定直線于E,

則CM的長度即為EC+DE的最小值，

ZEAD=ZADB=30°,AD=\,

.?.NAZ)M=60°,DH=MH=LD=L

22

：.DM=CD,

；NCDM=NMDG+/CDB=90°+30°=120°,

：.ZM=ZDCM=30°,

：.CM=2X2^CD=V3.

第27頁共41頁

故答案為：J京

19.解：過C作CF_LAB交于E,

則此時，CE+E尸的值最小，且CE+EF的最小值=C「

:△ABC為等邊三角形,邊長為6,

.?.8尸=工8=工義6=3,

22

22=

???CF=VBC-BF762-32=3次’

?..CE+EF的最小值為3我，

故答案為：3。^.

20.解：?.?在邊長為1的菱形ABCC中，ZABC=60°,

：.AB=CD^\,乙鉆￡>=30°,

；將448。沿射線BD的方向平移得到△4B77,

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B'=AB=l,A'B'//AB,

:四邊形A8CD是菱形，

：.AB=CD,AB//CD,

；.NBAD=120°,

B'=CD,A'B'//CD,

...四邊形A'B'CQ是平行四邊形，

.?.A'D=B'C,

.,.4C+BC的最小值=4'C+A'。的最小值，

???點A'在過點A且平行于8。的定直線上，

作點。關于定直線的對稱點E,連接CE交定直線于A',

則CE的長度即為A'C+B'C的最小值，

VZA'A￡>=N4￡>B=3(r,AD=1,

:.NADE=60°,DH=EH=LD=L,

22

：.DE=\,

：.DE=CD,

,：ZCDE=ZEDB'+ZCDB=90°+30°=120°,

：.ZE^ZDCE=30°,

:.CE=2X

2

故答案為：Vs.

第29頁共41頁

21.解：設△ABP中AB邊上的高是正

S^PAB=^S矩彩ABC。,

3

23

：.h=^AD=2,

3

，動點P在與AB平行且與A8的距離是2的直線/上，如圖，作A關于直線/的對稱點

E,連接AE,連接8E,則8E的長就是所求的最短距離.

在RtZVIBE中，\"AB=4,AE=2+2=4,

B￡=VAB2+AE2=V42+42=4^2,

即PA+PB的最小值為4&.

故答案為：4&.

22.解：取點B關于x軸的對稱點B',則直線A2'交x軸于點M.點M即為所求.

設直線48'解析式為：y=fcv+6

把點A(-1,-1)8'(2,-7)代入

第30頁共41頁

[-]=-k+b

1-7=2k+b

解得（k=2

lb=-3

???直線AB，為：y=-2x-3,

當y=0時，x=-3.

2

.?.M坐標為（-S,0）

2

故答案為：（-3,o）

2

23.（1）證明：?.?內(nèi)△ABC中，ZC=90°,DF1CB,

:.NC=NDFB=90°.

?.?四邊形是正方形，

：.BD=AB,NO8A=90°,

,：ZDBF+ZABC=90Q,NC4B+/ABC=90°,

:.NDBF=NCAB,

第31頁共41頁

.,.△ABgABDF(AAS)；

(2)解：:△ABC絲△BOP,

：.DF=BC=5,BF=AC=9,

：.FC=BF+BC=9+5=14.

如圖，連接。N,

?:BE是正方形頂點A與頂點D的對稱軸，

：.AN=DN.

如使得4V+PN最小，只需。、N、P在一條直線上,

由于點P、N分別是AC和BE上的動點，

作DPiLAC,交BE于點Ni,垂足為P,

所以，AN+PN的最小值等于。尸i=FC=14.

24.解：(1)四邊形48CE是菱形，理由如下:

???點E是A。的中點，

:.AE=1AD.

2

?：BC=1AD,

2

：.AE=BC.

第32頁共41頁

,JBC//AD,KPBC//AE.

...四邊形ABCE是平行四邊形

?.?4ULCD,點E是的中點，

：.CE=AE=DE,

四邊形4BCE是菱形

(2)由(/)得，四邊形ABCE是菱形.

.*.AE=EC=AB=4,且點4、C關于BE對稱

?.?點尸是AE的中點，AF=1AE=2

2

當B4+PF最小時，△公尸的周長最小

即點尸為CF與3E的交點時，△抬尸的周長最小，

此時△必尸的周長=%+PF+AF=CF+4凡

在RtAACD中，點E是A￡＞的中點，則CE=DE,.

NEC￡)=/O=30°,ZACE=900-30°=60°.

...△ACE是等邊三角形.

；.AC=AE=CE=4.

'：AF=EF,CFLAE

?*,CF=VAC2-AF2

APAF的周長最小=€?尸"1尸=2依+2.

25.(1)證明：在RtZXABC中，NBAC=30°,E為4B邊的中點,

：.BC^EA,NA8C=60°.

第33頁共41頁

為等邊三角形,

：.DB=DE,NDEB=NDBE=60°,

AZOEA=120°,NDBC=120°,

：.ZDEA=ZDBC

：.△AOE絲△COB.

（2）解：如圖，作點E關于直線AC對稱點E1,連接BE交AC于點H.

則點〃即為符合條件的點.

由作圖可知：EH=HE,AE=AE,NEAC=N2AC=30°.

...NEA￡=60°,

...△EAE為等邊三角形，

?,1

-EE'=EA=yAB'

AZAEB=90°,

在RtZXABC中，ZBAC=30°,BC=A/3，

，AB=2會，AE'=AE=V3>

,BE，=7AB2-AEZ2=7（2V3）2-（V3）2=S，

.?.BH+E”的最小值為3.

第34頁共41頁

E'

26.解：(1)作點B關于CQ的對稱點E,連接AE交CQ于點P,

此時辦+PB最小，且等于AE.

作直徑AC',連接C'E.

根據(jù)垂徑定理得加=施.

VZACD=30°,

AZAOD=60°,ZDOE=30°,

AZAO￡=90°,

AE=45°,

又AC'為圓的直徑，.../AEC'=90°,

=NC'AE=45°，

：.C'E=AE=J^AC'=2&,

2

即AP+BP的最小值是2&.

故答案為：2A/^；

(2)如圖，在斜邊AC上截取A2'=AB,連結.

平分/8AC,

第35頁共41頁

：.ZB'AM=ZBAM,

在△"AM和中

'AB，=AB

<NB'AM=ZMAB>

AM=AM

:.叢B'AM^/XBAM(SAS),

:.BM=B'M,NBMA=NB'M4=90°,

...點8與點B'關于直線AO對稱.

過點B'作B'凡L.AB,垂足為R交AD于E,連結BE,

則線段B'尸的長即為所求.（點到直線的距離最短）

在RtZ\AFB'中，?.?/B4C=45°,AB'=48=10,

：.B'F=AB'*sin45°=4B?sin45°=10X返=5&,

2

：.BE+EF的最小值為5注.

27.(1)解：①胸=3x+7y,W2=2x+8y,

故答案為：3x+7y,2r+8y.

第36頁共41頁

②解：Wi-W2=(3x+7y)-(2x+8y)=x-y,

''x>y,

.,.x-y>0,

Wi-W2>0,

得Wl>W2,

所以張麗同學用紙的總面積大.