2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：與平行四邊形相關(guān)的二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧（含練習(xí)題及答案）

2021年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：與平行四邊形相關(guān)的二次函數(shù)綜合型壓軸題解題技巧

方法提煉：

1、特殊四邊形的探究問題解題方法步驟如下：（1）先假設(shè)結(jié)論成立；（2）設(shè)出點坐標，求

邊長.（類型一方法指導(dǎo)）；（3）建立關(guān)系式，并計算。若四邊形的四個頂點位置已確定，則

直接利用四邊形邊的性質(zhì)進行計算；若四邊形的四個頂點位置不確定，需分情況討論。

2、探究平行四邊形：①以已知邊為平行四邊形的某條邊，畫出所有的符合條件的圖形后，

利用平行四邊形的對邊相等進行計算；②以已知邊為平行四邊形的對角線，畫出所有的符

合條件的圖形后，利用平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)進行計算；③若平行四邊形的各

頂點位置不確定，需分情況討論，常以己知的一邊作為一邊或?qū)蔷€分情況討論。

典例引領(lǐng)：

例：如圖所示：已知拋物線（aWO）與一次函數(shù)的圖象相交于兩點A（-1,

-1）,B（2,-4）,點尸是拋物線上不與A,B重合的一個動點，點。是y軸上的一個

動點.

（1）求a,k,b的值.

（2）直接寫出關(guān)于x的不等式初2<h-2的解集；

（3）當點P在直線AB上方時，請求出△%B面積的最大值并求出此時點P的坐標；

（4）是否存在以P,Q,A,B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P,

。的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法得出a,k,6的值;

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(2)觀察函數(shù)圖象，即可得出不等式的解集；

(3)過點A作y軸的平行線，過點8作x軸的平行線，兩者交于點C,連接PC.根據(jù)

三角形的面積公式解答即可；

(4)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和坐標特點解答即可.

解：(1)把A(-l,-I),代入juax2中，可得：a=-1,

把A(-I,-1),8(2,-4)代入y=H+b中，可得：[-k+b=-l,解得Jk=-1,

[2k+b=_4[b=-2

??d=~~1,4=-1,h~~~2；

(2)觀察函數(shù)圖象可知，關(guān)于x的不等式/2的解集是尤<-1或x>2；

(3)過點4作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，兩者交于點C,

VA(-1,-I),B(2,-4),

C(-1,-4),AC=8C=3,

設(shè)點P的橫坐標為相，則點P的縱坐標為-"P.

過點尸作PD_LAC于。，作PE_LBC于E.則。(-1,-w2),ECm,-4),

PD=m+\,PE=-/n2+4.

:?S>APB=S4APC^S4BPC-SdABC，

=JLXAC”+LX8UPE-工XBU4C,

222

第2頁共43頁

2

=Lx3義(/n+1)」X3X(-OT+4)-JLX3X3,

222

=-+4”+3.

22

3_

；-A<o,片-----J—=工，

22X(-1-)2

而-1V〃zV2,

當〃?=」寸，S"PB的最大值為紅，此時點尸的坐標為(工-1);

2824

(4)存在三組符合條件的點.

當以尸，。，A,B為頂點的四邊形是平行四邊形時，

'：AP=BQ,AQ=BP,A(-1,-1),B(2,-4),

可得坐標如下：

①P'的橫坐標為-3,代入二次函數(shù)表達式，

解得：尸’(-3,-9),Q(0,-12)；

@P"的橫坐標為3,代入二次函數(shù)表達式，

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解得：P"(3,-9),Q"(0,-6)；

③P的橫坐標為1,代入二次函數(shù)表達式，

解得：P(1,-1),。(0,-4).

故：P、Q的坐標分別為(-3,-9)、(0,-12)或(3,-9)、(0,-6)或(1,-1)、

(0,-4).

點評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會

利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度,

從而求出線段之間的關(guān)系.

跟蹤訓(xùn)練：

1.已知，如圖，拋物線y=o?+6x+c(aWO)的頂點為M(l,9),經(jīng)過拋物線上的兩點A

(-3,-7)和B(3,m)的直線交拋物線的對稱軸于點C.

(1)求拋物線的解析式和直線AB的解析式.

(2)在拋物線上A、M兩點之間的部分(不包含A、M兩點)，是否存在點。，使得54

DAC=2SA°GW?若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點A,M,P,。為頂點的四邊形是平行

四邊形時，直接寫出滿足條件的點P的坐標.

備用圖

2.如圖①拋物線)，=-7+(〃]-1)x+巾與直線左交于點A、B,其中4點在x軸上,

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它們與y軸交點分別為C和Q,P為拋物線的頂點，且點P縱坐標為4,拋物線的對稱

軸交直線于點Q.

(1)試用含上的代數(shù)式表示點。、點8的坐標.

(2)連接尸C,若四邊形CDQP的內(nèi)部(包括邊界和頂點)只有4個橫坐標、縱坐標均

為整數(shù)的點，求k的取值范圍.

(3)如圖②，四邊形CDQP為平行四邊形時,

①求左的值;

②E、尸為線段上的點(含端點),橫坐標分別為a,a+〃(〃為正整數(shù))，EG〃y軸交

拋物線于點G.問是否存在正整數(shù)〃,使?jié)M足tan/EGF=工的點E有兩個？若存在，求

2

出〃；若不存在說明理由.

圖①圖②

3.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=f+4x的頂點為點A

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B

AT

備用圖

(1)求點A的坐標；

(2)點B為拋物線上橫坐標等于-6的點，點M為線段OB的中點，點尸為直線08下

方拋物線上的一動點.當△P0M的面積最大時，過點P作PCLy軸于點C,若在坐標平

面內(nèi)有一動點。滿足尸Q=3,求。Q+L2c的最小值：

22

(3)當(2)中OQ+*C取得最小值時，直線0。與拋物線另一交點為點E,作點E

關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點E'.點R是拋物線對稱軸上的一點，在x軸上是否存在點S,

使得以0、E'、R、S為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出S點的坐標；

若不存在，請說明理由.

4.綜合與探究:

第6頁共43頁

如圖，拋物線yuL2-」=-2,與x軸交于A,8兩點(點A在點8的左側(cè))，與)，軸交

42

于點C拋物線的對稱軸為/.

(1)求點A,B,C的坐標；

(2)若點D是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點D作DELx軸于點E,交直線BC于點F,

當0E=4DF時，求四邊形DOBF的面積；

(3)在(2)的條件下，若點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點

B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐

標；若不存在，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標系中，把拋物線y=/先向右平移1個單位長度，再向下平移4

個單位長度，得到拋物線y=(x-h)2+k,所得拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在

點B的左邊)，與)，軸交于點C,頂點為M.

(1)寫出/?、k的值及點A、B的坐標；

(2)判斷△BCM的形狀，并計算其面積；

(3)點P是拋物線上的一動點，在y軸上存在點。，使以點A、B、P、Q為頂點組成的

四邊形是平行四邊形，求點P的坐標.

6.如圖，己知拋物線)，=-W+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸

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交于點M其頂點為。.

(1)求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，設(shè)點P的橫坐標為f；

①當SAACP=SAACN時，求點P的坐標；

②是否存在點尸，使得△ACP是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求點尸的坐標；

若不存在，請說明理由；

(3)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B,E為直線AC上的任意一點，過點E作

EF〃BD交拋物線于點F,以B,D,E,尸為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請

直接寫出點E的坐標；若不能，請說明理由.

7.如圖，拋物線尸《*2弓乂-4與x軸分別交于A、8兩點(點A在點B的左側(cè)，)與y

軸交于點C,作直線AC.

(1)點8的坐標為,直線AC的關(guān)系式為.

(2)設(shè)在直線AC下方的拋物線上有一動點P,過點P作PCx軸于D,交直線AC于

點E,當CE平分NOEP時求點尸的坐標.

(3)點M在無軸上，點N在拋物線上，試問以點4、C、M、N為頂點的四邊形能否成

為平行四邊形？若存在，直接寫出所有點"的坐標；若不存在，請簡述你的理由.

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8.如圖，直線y=-L+2與x軸交于點A,與)，軸交于點B,拋物線y=-工J+bx+c經(jīng)

22

過A,B兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點P在拋物線上，點Q在直線AB上，當P,Q關(guān)于原點。成中心對稱時，求點Q

的坐標；

(3)點M為直線A8上的動點，點N為拋物線上的動點，當以點0、B、M、N為頂點

的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標.

9.如圖，已知直線y=-1+2與兩坐標軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-12+桁+,經(jīng)

22

過點A、3,點尸為直線AB上的一個動點，過P作y軸的平行線與拋物線交于C點，拋

物線與x軸另一個交點為。.

(1)求圖中拋物線的解析式；

(2)當點P在線段A3上運動時，求線段PC的長度的最大值；

(3)在直線4B上是否存在點P,使得以。、A、P、C為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，請求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由.

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10.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線)，=“/+foc+c與兩坐標軸分別交于點A、B、C,直

線)=-&+4經(jīng)過點B,與y軸交點為。，M(3,-4)是拋物線的頂點.

5

(1)求拋物線的解析式.

(2)己知點N在對稱軸上，且AN+OV的值最小.求點N的坐標.

(3)在(2)的條件下，若點E與點C關(guān)于對稱軸對稱，請你畫出并求它的面積.

(4)在(2)的條件下，在坐標平面內(nèi)是否存在點P,使以A、B、N、P為頂點的四邊

形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

11.如圖，拋物線過A(1,0)、B(-3,0),C(0,-3)三點，直線交拋物線于點

點。的橫坐標為-2,點尸(機，〃)是線段AO上的動點，過點P的直線垂直于x軸，交

拋物線于點Q.

(1)求直線A￡)及拋物線的解析式；

(2)求線段尸。的長度/與，”的關(guān)系式，/”為何值時，PQ最長？

(3)在平面內(nèi)是否存在整點(橫、縱坐標都為整數(shù))R,使得P、。、。、R為頂點的四

邊形是平行四邊形？若存在，求出點R的坐標；若不存在，說明理由.

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12.如圖所示，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過點A(2,-3)與C(0,-3),與x軸負半軸的交

點為B.

(1)求拋物線的解析式與點B坐標；

(2)若點。在x軸上，使△ABC是等腰三角形，求所有滿足條件的點。的坐標；

(3)點"在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，若以A、B、M、N為頂點的四邊形

是平行四邊形，其中AB〃MN,請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標.

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參考答案

1.分析：(1)二次函數(shù)表達式為：y=a(x-1)2+9,即可求解；

(2)S^DAC=2S^DCM>貝！JS^DAC—^-DH(XC-XA)――(-/+緘+8-2x+\)(1+3)——

222

(9-1)(1-x)X2,即可求解；

(3)分AM是平行四邊形的一條邊、AM是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即

可.

解：(1)二次函數(shù)表達式為：y=a(x-1)2+9,

將點A的坐標代入上式并解得：。=-1,

故拋物線的表達式為：y=-，+2x+8…①，

則點B(3,5),

將點A、B的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線AB的表達式為：y^2x-1；

(2)存在，理由：

二次函數(shù)對稱軸為：x=\,則點C(l,1),

過點。作y軸的平行線交AB于點H,

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設(shè)點。（x,-7+2r+8）,點H（x,2x7）,

S&DAC=2SADCM,

貝（1（xc-XA）=—（-/+2x+8-2x+\）（1+3）=1-（9-1）（1-x）X2,

222

解得：x=-1或5（舍去5）,

故點。（-1,5）；

（3）設(shè)點Q（m，0）、點P（s,t）,t=-?+2.v+8,

①當AM是平行四邊形的一條邊時，

點M向左平移4個單位向下平移16個單位得到4,

同理，點。（〃7,0）向左平移4個單位向下平移16個單位為（機-4,-16）,即為點P,

即：m-4=5,-I6=r,而￡=-$2+2$+8,

解得：s=6或-4,

故點P（6,-16）或（-4,-16）；

②當AM是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：m+s--2,t—2,而『=-$2+2$+8,

解得：s=l±有，

故點尸（1-h/7，2）或（1-夜，2）；

綜上，點P（6,-16）或（-4,-16）或（1+V72）或（1-4，2）.

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面

積計算等，其中（3）,要注意分類求解，避免遺漏.

2.分析：（1）由圖可知，拋物線對稱軸在y軸右側(cè)，頂點尸縱坐標為4,用頂點坐標公式

即列得關(guān)于〃?的不等式和方程，求解即得到，〃的值，進而得到拋物線解析式.把頂點P

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的橫坐標代入直線y=kx+k即得到用k表示點Q的坐標.令拋物線解析式為0,解方程

求得點A坐標.把直線與拋物線解析式聯(lián)立方程組并整理得關(guān)于x的一元二次方程，利

用韋達定理得XA+XB的值，把初代入即求得點B橫坐標進而求得B的縱坐標.

(2)由(1)得C(0,3),P(1,4),即四邊形C。2P的內(nèi)部(包括邊界和頂點)有2

個滿足橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點P、C,另外兩個滿足的點應(yīng)該是M(0,2)、NQ,

3),由圖象可知此時點。在線段MS上(不與S(0,1)重合)，點Q在線段NR上(不

與點R(1,2)重合).因為。(0,k),Q(1,2k),即列得關(guān)于&的不等式組，求解即

得到我的取值范圍.

(3)①求直線CP解析式，由四邊形CDQP為平行四邊形可得。?！āＪ?，即直線

的k與直線CP解析式的一次項系數(shù)相等，求得k=l.

②過點尸作FH_L_LEG于點4,則RtZXFGH中，tan/EGP=FHa，即GH=2FH.由

GH2

點E、F橫坐標分別為a,〃+〃，可用含心〃的式子表示F”、GH的長，代入GH=2FH,

得到關(guān)于”的一元二次方程(〃為常數(shù)).因為滿足tan/EGB=上的點E有兩個，即關(guān)于

2

。的方程有兩個不相等的實數(shù)根，由求得〃的取值范圍小于0,故不存在滿足條件

的正整數(shù)〃.

解：(1),拋物線y=-/+-1)x+機的頂點P縱坐標為4

....如一(nr］產(chǎn)=彳

-4

解得：7ni=3,mz=-5

???拋物線對稱軸在y軸右側(cè)

二-IBZ1>O

-2

解得：相>1

?\m=3

???拋物線為y=--+2x+3,頂點P(1,4)

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??,直線丫=履+左與對稱軸交于點Q

：.Q(1,2k)

Yy=-/+2R+3=0時，解得：xi=-1,X2=3

：.A(-1,0)

f2

vJy=-x+2X+3整理得：/+(jt-2)x+k-3=o

.y=kx+k

^XA+XB=~(k-2)

:?XB=-(4-2)-XA=~(Z-2)-(-1)=-k+3

:.yB=k*xB+k=-K+4k

：.B(-k+3,-必+40

(2)VC(0,3),P(1,4),D(0,k),Q(1,2k)

當四邊形CDQP的內(nèi)部(包括邊界和頂點)只有4個橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點時,

4個點是C、P、M(0,2)、N(1,3)(如圖1)

...點。在線段MS上(不與S(0,1)重合)，點。在線段NR上(不與點R(1,2)重

合)

.'l<k<2

…2<2k《3

解得：1<仁3

2

(3)①：C(0,3),P(1,4)

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...直線CP解析式為y=x+3

:四邊形CDQP為平行四邊形

J.DQ//CP,即直線平行直線CP

：.k=\

②不存在滿足條件的正整數(shù)n.

如圖2,過點尸作尸”LEG于點”

:.NFHE=NFHG=90°

'：k=\

直線A8：y=x+l

,/點E在線段DB上橫坐標為a,EG//y軸交拋物線于點G

.'.E(a,a+1),G(a,-a2+2a+3)

?.?點F在線段DB上橫坐標為a+n

FH=XF-xE=n,F(a+n,a+n+\)

GH=yc-yF=~a2+2a+3-(a+〃+l)=-a2+tz+2-n

?.?RtZ\FGH中，tanZ￡GF=I^U-

GH2

，GH=2FH

:.-a2,+a+2-〃=2孔，整理得：a2-a+3n-2=0

?..滿足tan/EGF=工的點E有兩個，

2

???關(guān)于a的方程J-a+3n-2=0有兩個不相等的實數(shù)根

.?.△=1-4(3n-2)>0

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解得：ov〃v3

4

，不存在正整數(shù)〃，使?jié)M足tan/EGF=上的點E有兩個

2

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程的解法及根與系數(shù)的關(guān)系，一

元一次不等式的解法，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用.第(2)題的解題關(guān)鍵

是先確定滿足條件的4個點中包含C、P,把另外兩個橫、縱坐標均為整數(shù)的點確定下來,

再根據(jù)直線的位置確定k的取值范圍.

3.分析：(1)配方法將拋物線解析式化為頂點式即可；

(2)待定系數(shù)法求直線48解析式為y=-2%,設(shè)尸(,"，川+4")，則〃-2m),

2

PH=-2m-(.m+4m)=-“P-6w?)由△PGHs/XMDO可得PG，MO=PH?MD=3(-

m2-6>n)=-3m2-18/n,從而得：S/sPOM=—PG,MO=—-9m=--(m+3)2+^L,

2222

求得P(-3,-3),在PC上取點T,使得PT=3,連接QT,OT,由△QPT's^cPQ

4

可得TQ=1QC,進而可求得。。+￡0c的最小值為噂；

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(3)先根據(jù)0。+42c取得最小值時，點0、Q、T三點共線，求得T(一2,-3),待

24

定系數(shù)法求得直線0Q解析式為y=￡,解方程組可求得點E的坐標，進而可求得E'

-3

的坐標，根據(jù)以。、E'、R、S為頂點的四邊形是平行四邊形，分三種情形：①0R為對

角線，②OS為對角線，③0E'為對角線，分別求出對應(yīng)的點S坐標即可.

解：(1),.,y=/+4x=(x+2)2-4,

"(-2,-4)；

(2)如圖1,過P作軸交08于H,作PG_LBC于G,過M作MDJLy軸交y軸

于。，

:點8為拋物線上橫坐標等于-6的點，6,12),

二直線AB解析式為y=-2x

設(shè)尸(，*,m2+4m),則H(〃z,-2m),PH--2ni-(后+4〃?)--ITT-6m

?.?點M為線段OB的中點，(-3,6),：.MD=3

軸

：.ZPHG=ZMOD

VPGLBC軸

：.ZPGH=ZMD0

：.4PGHs叢MDO

22

APG=MD)即PG，MO=PH-MD=3(-m-6m)=-3/n-18m,

PHMO

22

.".SAPOM=—-J-m-9m=-3(wz+3)+2LL

2222

；-W_VO,.?.當m=-3時，SMOM的值最大，此時P(-3,-3),

2

在PC上取點T,使得PT=3,連接QT,OT,

4

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'：PC=3,PQ=3

2

.PT=PQ=J_

,*PQPC~2

'：ZQPT=ZCPQ

：./\QPT^ACPQ

嚏嚼技即走

???OQ+_LQC=OQ+TQ^OT

2

0T=Voc2+CT2={32+4)2=號

OQ+l-QC的最小值為12；

24

(3)?.?當(2)中OQ+*C取得最小值時，點。、Q、T三點共線，T(號，-3)

直線OQ解析式為y=&,

3

_48

Xj=0x23

解方程組一x得

2丫1=032

y=x+4xy2=—

：.E(J-,/2),；拋物線對稱軸為直線x=-2,

39

：.E'(-魚

39

以0、E'、R、S為頂點的四邊形是平行四邊形，分以下三種情形:

①OR為對角線，:OE'RS是平行四邊形

AOS//E'R,OS=E'R=2,.,.51(上，0)

33

②OS為對角線，；OE'RS是平行四邊形

第19頁共43頁

AOE'//RS,R（-2,絲），：.S2（0）

93

③OE'為對角線，???OE'RS是平行四邊形

：.OS//E'R,OS=E'R=2,:.S3（2,0）,

33

綜上所述，點s的坐標為：5i（一2,o）,S2（」旦，0）,S3（2,0）.

333

點評：本題考查二次函數(shù)性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，圖形的平移和對稱,

一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類討論思想.第（2）問關(guān)鍵是通過

相似三角形轉(zhuǎn)化為兩點之間距離最短的問題，第（3）問的關(guān)鍵是分類討論.

4.分析：（1）把x=0代入拋物線解析式求得y即得到點C坐標；令y=0解方程即求得點

A、2坐標.

（2）設(shè)點。橫坐標為人用”表示OE、DE的長；求直線BC解析式，用d表示點尸坐

第20頁共43頁

標，進而用4表示。F的長.根據(jù)0E=4〃F列方程，求解得點。坐標，即得到各線段的

長.由圖可知，四邊形。0B尸面積等于△AED與△8EF面積之差，直接計算即可.

(3)先求出對稱軸為直線x=l.以B。為平行四邊形的邊或?qū)蔷€進行分類：若BD為

邊，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)平移性質(zhì)得到點M的橫坐標，代入解析式求縱坐標；以8。

為對角線，80與MN互相平分，則8。中點與MN中點相同，利用中點坐標公式列方程

即求出點M坐標.

解：⑴當丫=工？-1-2=0時，

■42

解得：xi--2,X2—4

：.A(-2,0),B(4,0)

當x=0時，y=Ajr--kr-2=-2

42

：.C(0,-2)

(2);?點。是第一象限內(nèi)拋物線上的點

設(shè)點O坐標為(d,Id1-Id-2)(d>4)

42

軸于點E

：.OE=d,DE=1^-Id-2

42

設(shè)直線BC解析式為y=fcr-2

把點8代入得：4k-2=0,解得：k=—

2

直線BC：y=-kr-2

2

■:DE交BC于點、F

第21頁共43頁

：.FCd,X/-2)

2

：.DF=ld2-Id-2-(L-2)J

4224

"：0E=4DF

：.d=4

4

解得：力=0(舍去)，"2=5

：.D(5,工)，F(xiàn)(5,-1)

42

:.DE=J-,EF=工,BE=OE-OB=5-4=1

42

：-Smi!1KDOBF=S^AED-S^BEF=1AE'DE-1￡E'EF=1.x5x1.-JLX

2224228

(3)存在以點B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形

(-2,0),B(4,0)

，對稱軸為直線：x=2±=l

2

:.XN=1

①如圖1,BD//MN,四邊形BMND是平行四邊形

：.DN//BM,DN=BM

???ON向下平移工個單位，向左平移1個單位可得8M

4

:.XM=XN-1=0

：.M(0,-2)

②如圖2,BD〃MN,四邊形8DMN是平行四邊形

第22頁共43頁

:.DM〃BN,DM=BN

BN向上平移二個單位，向右平移1個單位可得。M

4

?\XM=XN+\=2

：.M(2,-2)

③以BD為對角線時，8。與MN互相平分

中點與中點相同

-B+XDXM+XN

-2_-_2~

"YB+YDVJCZN

.2-2

設(shè)M(?7,I”?--2),N(1,/?)

42

'm+1=4+5m=8

?Ul217解得：,33

■ym-^Tn-2+n=0-?7rn=

424

???M(8,10)

綜上所述，符合條件的點M的坐標為（0,-2）或（2,-2)或(8,10).

第23頁共43頁

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程的解法，平行四邊形的性質(zhì)，

平移的性質(zhì).平行四邊形存在性問題中，已知兩個頂點時，以此線段為平行四邊形的邊

或?qū)蔷€進行分類討論畫圖并計算；其中固定線段為邊長求另外兩點時，可利用平移性

質(zhì)求點坐標之間的關(guān)系.

5.分析：解：(1)拋物線y=/先向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度，得

到拋物線丫=(x-1)2-4,

故h=l,k=-4,

y=(x-1)2-4=/-2r-3,令y=0,貝ijx=3或-1,

即點A、B的坐標分別為(-1,0)、(3,0)；

(2)點M的坐標為(1,-4),

貝i」BC=3&，CM=^^

故MB2=BC2+CM2,

故為直角三角形，其面積等于"XCMXSCqx3&X的歷=3；

(3)①當AB是平行四邊形的一條邊時，

EPPQ=AB=4,即》=±4,

把苫=±4代入函數(shù)表達式得：y=5或21,

故點P(4,5)或(-4,21)；

第24頁共43頁

②當AB是平行四邊形的對角線時，

設(shè)點P的橫坐標為加，點。的坐標為(0,〃)，

則AB的中點即為PQ的中點，則相+0=3-1,

解得：,〃=2,故點P(2,-3)；

綜上，點P的坐標為尸(4,5)或(-4,21)或(2,-3).

解：(1)拋物線＞=/先向右平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到拋物線

y=(x-1)2-4,

故h—\,k--4,

y—(x-1)2-4—x2-2x-3,令y=0,則x=3或-1,

即點A、B的坐標分別為(-1,0)、(3,0)；

(2)點用的坐標為(1,-4),

則BC=3近,CM=?,

故MB2=BC2+CM2,

故為直角三角形，其面積等于工XCMXBC=LX3&X37^=3;

22

(3)①當A3是平行四邊形的一條邊時，

即PQ=AB=4,即》=±4,

把工=±4代入函數(shù)表達式得：y=5或21,

故點P(4,5)或(-4,21)；

②當AB是平行四邊形的對角線時，

設(shè)點P的橫坐標為加，點。的坐標為(0,〃)，

則AB的中點即為PQ的中點，則相+0=3-1,

第25頁共43頁

解得："7=2,故點P(2,-3)；

綜上，點P的坐標為尸(4,5)或(-4,21)或(2,-3).

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、點的平移、中點的

性質(zhì)、面積的計算等，其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

6.分析：(1)運用待定系數(shù)法即可解決；

(2)①依題意得P(r,-*+2f+3),過點尸作尸軸于H,連接PN,由

ACN可知PN〃AC,可得PH=HN,建立方程求解即可；②由AACP是以AC為斜邊的直

角三角形，可得NAPC=90°,過尸作PSJ_x軸于S,過C作CK_LPS于K,可證AAPS

saPCK,根據(jù)相似三角形性質(zhì)建立方程求解即可；

(3)運用配方法求頂點。坐標，由以B,D,E,尸為頂點的四邊形能為平行四邊形，

^.EF//BD,可得EF=BD,設(shè)點E(〃i,機+1),則尸("，-n^+2m+3),EF=|m2_m_2|,

建立方程求解即可求得符合題意的點E坐標.

解：(1)將4(-1,0),C(2,3)代入y=-7+bx+c中，得

f-b+c=l

l2b+c=7

解得產(chǎn)2

lc=3

.?.拋物線解析式為y=-X2+2X+3,

設(shè)直線AC解析式為y=/nr+〃，則

f-m+n=0

12mtn=3

解得"1,

In=l

直線AC解析式為y=x+l；

(2)①在y=-7+2x+3中，令x=0,得y=3,

第26頁共43頁

：.N(0,3),

???點P的橫坐標為f;

：.P(t,-?+2/+3),

過點P作/軸于H,連接尸N,設(shè)直線AC交y軸于G,則G(0,1),NPHN=90°

：.OA=OG=\,PH=t,HN=OH-ON=-P+lt,

NAGO=NCGN=45°

,**SMCP=SAACN

：.PN//AC

：.ZPNH=ZCGN=45°

：.PH=HN

：?t=-F+2t,解得:n=o(舍去)，也=1,

：.P(1,4)；

②如圖2,過戶作PS_Lx軸于S,過C作CK_LPS于K,則NCKP=NPSA=90°

VP(6-金+2什3),A(-1,0),C(2,3),

:.CK=2-t,PK=-P+2t,PS=-?+2r+3,AS=t-(-1)=r+l,

?「△AC尸是以AC為斜邊的直角三角形

I.ZAPS+ZCPK=NAPC=90°

?：/PCK+NCPK=90°

：.ZAPS=ZPCK

：.4APSs/\PCK

第27頁共43頁

?AS=PKgpt+1--12+21

??西正，'-t2+2t+32-t

解得：t=&蟲區(qū)

2

；P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點,

-l<t<2,但再返〉2

2

?3-V5

2

：.p(±2/5,^1).

22

(3)Vy=-/+2x+3=-(x-1)2+4

，頂點。(1,4)

：.B(1,2),BD=2,

以B,D,E,尸為頂點的四邊形能為平行四邊形.

設(shè)點E(m,m+D,則F(〃z,-m2+2w+3),E尸二目也身

'：EF//BD

：.EF=BD

?*.|m2_m_2|=2,解得：，”1=0,m2=1（舍去），,”3=1'"4=

.,.點E的坐標為：（0,1）或（上邁工，）或（1+717,3T77）

2222

第28頁共43頁

點評：本題屬于中考壓軸題，與二次函數(shù)有關(guān)的代數(shù)兒何綜合題，涉及知識點多，綜合

性較強，難度較大，解題時必須熟練掌握并靈活運用相關(guān)性質(zhì)和定理，還要注意數(shù)形結(jié)

合，分類討論：此題主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角

形面積，直角三角形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)等.

7.分析：（1）令y=。，則X=2或-8,令x=0,則y=-4,即可求解；

（2）證明△OEC為等腰三角形，0用+屋=08即/+4/=16,解得：x=W返，EF

5

=ECsina=2X216,故m=-」回，即可求解；

5標55

（3）①當4c是平行四邊形的邊時，則點4向右平移8個單位向下平移4個單位得到C,

即可求解；②當AC是平行四邊形的對角線時，利用中點公式即可求解.

解：（1）丫=**24乂-4，令y=。，貝Ux=2或-8,令x=0,則y=-4,

故點A、B、C的坐標分別為：（-8,0）、（2,0）、（0,-4）,

第29頁共43頁

將點A、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：得：［°=Tk+b,解得：卜=5,

lb=4lb=-4

故直線AC的表達式為：y=-L-4,

2

故答案為：(2,0),y=-L-4；

-2

(2)如圖，左側(cè)圖是局部放大圖,

,：CE平分ZOEP時，AZOEC=ZCEP,

力〃)，軸，:.NCEP=NECO=NOEC=a,

則△OEC為等腰三角形，

tanZECO—^--2=tana,則sina=-^,

ocV5

過點E作y軸的垂線交于點F,過點O作O〃_LEC于點H,

設(shè)：0H=2x,則C4=x,而O42+"c2=oc2,即/+4，=16,解得：x=^S.,

5

EF=ECsina=2X_i^X_^l^,故〃?=-1!,

5V555

則點p(-2i,

525

(3)設(shè)：點N(〃?，”)，+,〃-4,點M(s,0),

42

第30頁共43頁

①當AC是平行四邊形的邊時，

則點A向右平移8個單位向下平移4個單位得到C,

同理N（V）向右平移8個單位向下平移4個單位得到M（N）,

即m+S—s,n-4=0或m-8=s,“+4=0,而n=^itr+^-in-4,

42

解得：s=5±V^I或-14,

②當AC是平行四邊形的對角線時，

利用中點公式得：-8=〃?+s,-4—n,而〃=_1^2+4〃_4,

42

解得：s=-2；

故點M的坐標為：（5+741-0）或（5-A/41）或（-14,0）或（-2,0）.

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到平行四邊形的性質(zhì)、圖形的平移、解直

角三角形等，其中（3）,要注意分類求解，避免遺漏.

8.分析：（1）先確定出點A,B坐標，再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）設(shè)點。的作標為（x,y）,則P點坐標是（-x,-y）.利用直線方程與拋物線方程

聯(lián)立方程組，求得交點坐標即可；

（3）分為邊和為對角線兩種情況進行求解：①當。B為平行四邊形的邊時，用MN

//OB,表示和用MN=O8,建立方程求解；

②當OB為對角線時，OB與MN互相平分，交點為H,設(shè)出M,N坐標用OH=BH,

MH=NH,建立方程組求解即可.

解：（1）:y=—^x+由x軸交于點4,與y軸交于點8,

（4,0）,B（0,2）.

?.?拋物線y=-^x2+bx+c經(jīng)過點A，B，

第31頁共43頁

c=2

-8+4b+c=0

???拋物線的解析式為尸總乂24/2；

(2)設(shè)點。的作標為(x,y),則尸點坐標是(-x,-y),

'1

,y=?+2

123'

-y=-yx為x+2

x,=-2+2V3fX=-2-2A/3

解得：lL，2L；

=3+

71=3-73[y2v3

A

Q1(-2+2V3-3-VS),Q2(-2-2V3>3+“>

(3))①當03為平行四邊形的邊時，MN=0B=2,MN//0B,

?.?點M在直線AB上，點N為拋物線上，

設(shè)M(〃?，-L〃+2),

2

'.N(.m,-^nr+^-in+2),

22

MN=|-A/M2+.^m+2-(-AOJ+2)|=|-^m1+2m\=2,

22