2021年中考數(shù)學壓軸大題含答案解析

2021年中考數(shù)學壓軸題

1.如圖，以點。為圓心，OE為半徑作優(yōu)弧EF,連接OE,OF,且OE=3,NEO尸=120°,

在弧EF上任意取點A,B（點B在點A的順時針方向）且使AB=2,以AB為邊向弧內(nèi)

作正三角形ABC.

（1）發(fā)現(xiàn)：不論點A在弧上什么位置，點C與點。的距離不變，點C與點O的距離是

2V2-V3；點C到直線EF的最大距離是2夜一百+2.

（2）思考：當點3在直線OE上時，求點C到OE的距離，在備用圖1中畫出示意圖,

并寫出計算過程.

（3）探究：當8c與OE垂直或平行時，直接寫出點C到OE的距離.

解：（1）如圖1,連接OA、OB、OC,延長OC交AB于點G,

在正三角形A8C中，AB=BC=AC=2,

"：OA=OB,AC=BC,

；.OC垂直平分4B,

：.AG=^AB^1,

...在RtZ\AGC中，由勾股定理得：CG=\/AC2-AG2=V22-I2=痘,

在Rt^AGO中，由勾股定理得：OG=7A02-W=辦一里2=2近,

：.OC=2魚一匠

如圖2,延長CO交EF于點H,

當CO_LEF時，點C到直線E尸的距離最大，最大距離為C4的長，

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E

圖2

'：OE=OF,CO.LEF,

.?.CO平分/EOF,

；/EO尸=120°,

；.NEOH=3/EOF=60。,

在RtZXEO”中，cosNEO”=窈，

0H1

.?.cosowOc。=

3

：.OH=^

Q

：.CH=CO+OH=2V2-V3+|,

.?.點C到直線EF的最大距離是2夜-V3+1.

故答案為：2或一百：2A/2-V3+1.

(2)如圖3,當點8在直線OE上時，

由OA=O8,CA=CB可知，

點O,C都在線段AB的垂直平分線上，

過點C作A8的垂線，垂足為G,

則G為AB中點，直線CG過點O.

，由NCOM=NBOG,4cM0=NBGO

：.4OCMs叢OBG,

.CMOC

?.=,

BGOB

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.CM2V2-V3

??-=，

13

?2^2—y[3

??CAY=3,

_2V2-V3

???點C到OE的距離為一--.

(3)如圖4,當8CJ_0E時，設垂足為點M,

VZEOF=120°,

AZCOM=180°-120°=60°,

在RtACOM中，sinZCOM=需，

??'八oCM

..smoO==-y,

CM=%O=(2V2-V3)=V6-|；

如圖5,當BC〃OE時，過點C作CN_LOE,垂足為M

"."BC//OE,

:.NCON=NGCB=30°,

：.在RtACOX中，sinZCON=第，

..?八。CN1

??sin30=-QQ=29

?*.CN—2co=2(2V2-V3)——V2-

綜上所述，當BC與OE垂直或平行時，點C到。E的距離為歷一|或近一空.

2.問題發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖1,ZVIBC內(nèi)接于半徑為4的。O,若NC=60°,則AB=；

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問題探究：

（2）如圖2,四邊形ABCO內(nèi)接于半徑為6的。。，若NB=120°,求四邊形ABC。的

面積最大值；

解決問題：

（3）如圖3,一塊空地由三條直路（線段A。、AB,BC）和一條弧形道路前圍成，點M

是道路上的一個地鐵站口，已知AO=BM=1千米，AM=BC=2千米，ZA=ZB=

60°,口的半徑為1千米，市政府準備將這塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點M處，

另外三個入口分別在點C、。、P處，其中點P在加上，并在公園中修四條慢跑道，即

圖中的線段DM.MC、CP、PD,是否存在一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即

四邊形QMCP的周長）最大？若存在，求其最大值；若不存在，說明理由.

：.ZAOB=120°,

"：OA=OB,

...△04?為等腰三角形,

'：OH±AB,

:./AOH=NBOH=6U°,

/o

AAH=OAsinZAOH=4x1=2a,

則AB=2AH=4^3；

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故答案為4V3；

(2)如圖2,連接AC,過點。作。ELAC于點E,過點8作8FLAC于點F,

圖2

111

,/四邊形A3CO的面積S=^ACXDE+^ACXBF=^ACX(DE+BF),

，當。、E、F、B四點共線旦為直徑時，四邊形A8C。的面積S最大；

VZABC=120°,

AZADC=60°,

AZAOC=120°,

在△40C中，由⑴知，AC=2XOAsin600=2X6x亨=6技

11

四邊形ABCD的面積S的最大值為：-xACXBD=1x66x12=36遮,

故四邊形ABCD的面積的最大值為36V3；

(3)如圖3,過點。作OKLAB于點K,連接CO,

在△A￡>M中，OK=AO?sinA=IX孚=字，同理AKJ

則KM^AM-AK=2-1則tan器=孚

.../OMK=30°,故△4DW為直角三角形，同理△CMB為直角三角形,

在RtAADM中，DM=y/AM2-AD2=V4-1=百，

/.ZZ)MC=180°-ZDMA-ZCMB=60Q

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'：AD=BM,AM=BC,ZA=ZB=60°,

ARtAADM^RtABMC(SAS),

.?.△COM為等邊三角形；

設前所在的圓的圓心為R,連接OR、CR、MR,

?:DM=CM,RM=RM,DR=CR,

.?.△DRM必CRMCSSS),

；.NDMR=NCMR=^NDMC=30。,

在△￡>"/?中，DR=l,ZDM/?=30°,DM=V3=CM,

過點R作RHLDM于點H,

則RM=^^=W=I=M，

~2

故。、P、C、M四點共圓，

：.ZDPC=120°,

如圖4,連接MP,在尸M上取PP=PC,

圖4

???△COM為等邊三角形，

：.ZCDM=60°=ZCPM,

：./\P'PC為等邊三角形，則PP'=尸'C=PC,

■:NPMC=NPDC,NCP'M=1800-NPP'C=120°=NDPC,CD=CM,

.".△PDC^AP,MC(A4S),

：.PD=P'M,

：.PD+PC=PP'+PD=PP'+P'M=PM,

故當PM是直徑時，PD+PC最大值為2；

四邊