隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的漸近行為

隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的漸近行為

1隨機(jī)吸引子的存在性研究在這項工作中，我們研究了非邊界區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程中l(wèi)c-隨機(jī)隨機(jī)吸引子的存在。及初始值其中λ是正常數(shù),u=u(x,t)是定義在Rn上的實值函數(shù),g是定義在Rn上的已知函數(shù).非線性函數(shù)f滿足如下條件,即對任意x∈Rn,u∈R,其中α,δ和β都是正常數(shù)且p≥2.W(t)是定義在概率空間(Ω,,P)上的實值雙邊維納過程,這里Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0},是博雷爾σ-代數(shù),P是相對應(yīng)的維納測度;o表示在Stratonvich意義下的隨機(jī)項.這里,我們認(rèn)為ω(t)和W(t)是等價的,即眾所周知,隨機(jī)動力系統(tǒng)的漸近行為主要是通過隨機(jī)吸引子(見文)來描述的.近十幾年中,由隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程所生成的隨機(jī)動力系統(tǒng)(簡稱為RDS)的隨機(jī)吸引子已經(jīng)得到了廣泛的研究,其中定義在有界區(qū)域上的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程可見文;定義在無界區(qū)域上的隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程可參考文.注意到,文得到了定義在有界區(qū)域上帶有可乘白噪音的反應(yīng)擴(kuò)散方程的Lp-隨機(jī)吸引子,而文確立了定義在有界區(qū)域上帶有可加白噪音的反應(yīng)擴(kuò)散方程的Lp-隨機(jī)吸引子的存在性.本文主要研究無界區(qū)域上帶有可乘白噪音的反應(yīng)擴(kuò)散方程的(L2,Lp)-隨機(jī)吸引子的存在性.這里有必要指出文已經(jīng)充分研究了無界區(qū)域上不含隨機(jī)項的非自治反應(yīng)擴(kuò)散方程的(L2,Lp)-全局吸引子的存在性.不難知道證明隨機(jī)吸引子存在性的關(guān)鍵是得到相應(yīng)隨機(jī)動力系統(tǒng)(RDS)的連續(xù)性.事實上,RDS的連續(xù)性在某種程度上決定了隨機(jī)吸引子的不變性,而不變性是吸引子的三大特征(不變性,緊性和吸引性)之一.然而,正如趙在文中所指出,一般而言,許多非線性偏微分方程生成的隨機(jī)動力系統(tǒng)在Lp空間中的連續(xù)性難以證明,甚至定義在有界區(qū)域上的隨機(jī)動力系統(tǒng)也是如此.為了解決連續(xù)性這一難題,文在所研究的區(qū)域有界的前提下提出了準(zhǔn)連續(xù)的概念,從而得到了隨機(jī)動力系統(tǒng)存在Lp-隨機(jī)吸引子的充要條件.但是當(dāng)所研究的區(qū)域無界時,準(zhǔn)連續(xù)性失效了.這是因為此時的嵌入關(guān)系不再成立,而這一嵌入關(guān)系又是運(yùn)用準(zhǔn)連續(xù)性所必須的條件.由以上分析可知,僅僅運(yùn)用準(zhǔn)連續(xù)性,本文難以證明Lp隨機(jī)吸引子的存在性.受文中主要思想的啟發(fā),本文研究了定義在無界區(qū)域上帶有可乘白噪音的反應(yīng)擴(kuò)散方程并得到了相應(yīng)的Lp-隨機(jī)吸引子,該隨機(jī)吸引子吸引按Lp-范數(shù)吸引L2中的所有隨機(jī)緩增集.實際上,本文的方法適用于很多其他的隨機(jī)微分方程,同樣在確定型方程中也可以運(yùn)用.此外,還需要說明的是對于大部分隨機(jī)微分方程,對其相應(yīng)方程的解僅運(yùn)用截尾估計法就可以得到該動力系統(tǒng)的隨機(jī)吸收集和漸近緊性,從而進(jìn)一步證明相應(yīng)的(L2,L2)-隨機(jī)吸引子的存在性.但是本文運(yùn)用一種新的估計法,即漸近優(yōu)先估計,證明(L2,Lp)-漸近緊性,得到了(L2,Lp)-隨機(jī)吸引子.本文第2部分給出關(guān)于隨機(jī)動力系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子等相關(guān)概念和隨機(jī)動力系統(tǒng)(L2,Lp)-的隨機(jī)吸引子的存在性條件等必要的命題.第3部分得到了定義在Rn上帶有可乘白噪音的反應(yīng)擴(kuò)散方程所生成的隨機(jī)動力系統(tǒng).第4部分運(yùn)用漸近優(yōu)先估計法,證明了隨機(jī)動力系統(tǒng)的(L2,Lp)-漸近緊性.第5部分證明了(L2,Lp)-隨機(jī)吸引子的存在性.本文用如下符號:Lp=Lp(Rn),‖·‖和(·)分別表示L2空間中的范數(shù)和內(nèi)積,‖·‖p,p≥2表示Lp空間中的范數(shù),表示Lp中所有隨機(jī)緩增子集的集合.特別地,當(dāng)p=2時,表示L2中所有隨機(jī)緩增子集的集合,|u|表示u的模或者絕對值,m(e)表示勒貝格測度,其中.字母c和ci(i=1,2,…)表示正常數(shù),在不同的式子里同一字母c可能不相同.2隨機(jī)吸引子的存在性本節(jié)介紹相關(guān)的基本知識.更多關(guān)于隨機(jī)動力系統(tǒng)的知識可以見文.設(shè)(X,‖·‖X)是帶有博雷爾σ-代數(shù)的完全可分度量空間,(Ω,,P)是完全概率空間.度量動力系統(tǒng)(MDS)是隨機(jī)動力系統(tǒng)(RDS)中的基本概念.我們通常用(Ω,,P,θt)表示某概率空間,其中流{θt:Ω→Ω,t∈F}是一族保測變換且滿足如下條件:(t,ω)→θtω是-可測的;對所有的s,t∈R,以及θ0=id.定義2.1定義在度量空間MDS(Ω,,P,θt)上的可測映射稱為隨機(jī)動力系統(tǒng)(RDS),如果對任意的ω∈Ω滿足下列條件:(1)在全空間X上φ(0,ω)=id;(2)對所有的s,t∈R+,有.其中d(B)=supx∈B‖·‖X,則有界隨機(jī)集{B(ω)}ω∈Ω關(guān)于(θt)t∈R稱為緩增的.(2)若對所有的β>0,ω∈Ω,滿足則隨機(jī)變量r(ω)>0稱為緩增的.定義2.3若對所有的和ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,使得對所有的t≥T,有定義2.4若對所有的ω∈Ω,當(dāng)tn→∞,時,在Lp有收斂的子列,則稱隨機(jī)動力系統(tǒng)φ是(L2,Lp)-漸近緊的,其中.定義2.5若對所有的ω∈Ω,有(1)是不變集,即對所有的t≥0,有;其中dp表示豪斯托夫半距離,即且和.以下是隨機(jī)吸引子存在性的結(jié)論,詳細(xì)內(nèi)容可見文.命題2.6設(shè)φ是定義在L2(RN)上的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng),則隨機(jī)動力系統(tǒng)φ存在隨機(jī)吸引子當(dāng)且僅當(dāng)φ存在隨機(jī)吸收集,且φ是漸近緊的.而且隨機(jī)吸引子可以表示成如下形式其中表示A在空間L2(RN)中的范數(shù)意義下的閉包.接下來給出文中的一個重要結(jié)論,這是本文的研究基礎(chǔ).由的定義可得,滿足內(nèi)閉性:對任意的隨機(jī)集{E(ω)}ω∈Ω,如果,以及,則{F(ω)}ω∈Ω∈(見).正如引言中所提及,Lp空間中的隨機(jī)動力系統(tǒng)φ的連續(xù)性難以驗證,甚至因為在無界區(qū)域上這嵌入關(guān)系不再成立導(dǎo)致了準(zhǔn)連續(xù)性失效.本文解決了Lp空間上的隨機(jī)動力系統(tǒng)φ的連續(xù)性和(L2,Lp)漸近緊性這一難題,進(jìn)而得到了主要結(jié)論,即(L2,Lp)-隨機(jī)吸引子的存在性.下面將從一個重要的命題開始本文的主要內(nèi)容.命題2.7設(shè)φ是定義在L2(RN)上的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng)和定義在Lp(RN)上的隨機(jī)動力系統(tǒng),其中2≤p<∞.若φ存在(L2,L2)-隨機(jī)吸引子,則φ存在(L2,Lp)-隨機(jī)吸引子當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立:(1)φ存在(L2,Lp)-隨機(jī)吸收集{K0(ω)}ω∈Ω;(2)φ是(L2,Lp)-漸近緊的.而且,在包含關(guān)系的意義下(L2,L2)-隨機(jī)吸引子和(L2,Lp)-隨機(jī)吸引子是等價的.引理2.8設(shè)B是Lq(RN)(q≥1)空間的有界集.若B存在有限ε-網(wǎng),則存在正常數(shù)M=M(B,ε),使得命題2.9設(shè)φ是定義在L2(RN)上的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng)和定義在Lp(RN)上的隨機(jī)動力系統(tǒng),其中2≤p<∞.若φ存在(L2,L2)-隨機(jī)吸引子,則φ存在(L2,Lp)-隨機(jī)吸引子當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立:(1)φ存在(L2,Lp)-隨機(jī)吸收集{K0(ω)}ω∈Ω;(2)對任意的ε>0以及對所有的{B(ω)}ω∈Ω∈,存在正常數(shù)M=M(ε,B,ω)和T=T(ε,B,ω),使得對所有的t≥T,有3ornsen-ullenbeck自然生成動力系統(tǒng)的建立這部分主要考慮定義在全空間上具可乘白噪音的應(yīng)擴(kuò)散方程及初值條件其中λ>0,g∈L2(RN)是已知函數(shù).f滿足條件(1.3)-(1.6);u=u(x,t)是定義在RN×R上的未知函數(shù).W(t)是完備概率空間的獨(dú)立雙邊實值維納過程.在整篇文章中所考慮的概率空間是(Ω,,P),其中是博雷爾σ-代數(shù),P是定義在(Ω,)上的維納測度且有定義如下變換則可得到(Ω,,P,{θtω}t∈R)是可測動力系統(tǒng).為了求解方程(3.1),(3.2),我們需要將其轉(zhuǎn)化為只含有隨機(jī)參數(shù)而非隨機(jī)項的確定性方程,然后證明轉(zhuǎn)化后的方程生成一個隨機(jī)動力系統(tǒng).首先給出Ornstein-Uhlenbeck過程的定義.設(shè)該過程是如下伊藤方程的解由文可知,隨機(jī)變量z(ω)是緩增的,而且有θt-不變集,使得對每一,t→z(θtω)關(guān)于t連續(xù);且方程(3.3)存在一個隨機(jī)不動點(具體過程見文).引理3.1存在有全測度的不變集,使得其中,同時對ω,有隨機(jī)變量而且對于任意,映射是方程(3.3)的有連續(xù)跡的平穩(wěn)解.此外,當(dāng)時,現(xiàn)在開始證明方程(3.1),(3.2)生成隨機(jī)動力系統(tǒng),首先設(shè)其中u是方程(3.1),(3.2)的解.則我們可轉(zhuǎn)化為研究如下只帶有隨機(jī)系數(shù)的反應(yīng)擴(kuò)散方程及初值條件運(yùn)用經(jīng)典的Galerkin方法可證明方程(3.4),(3.5)在L2(N)中存在唯一解v(t,ω,v0),對任意關(guān)于t>0,解v(t,ω,v0)關(guān)于初值v0連續(xù).則方程(3.4),(3.5)生成連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng){φ(t)}t≥0,其中定義變換φ:R+×Ω×L2(RN)→L2(RN),即則φ是空間L2(RN)中定義在(Ω,,P,{θtω}t∈R)上的由方程(3.1),(3.2)所生成的連續(xù)隨機(jī)動力系統(tǒng).作者在文中已得到隨機(jī)動力系統(tǒng)在空間L2(RN)中φ的存在性和唯一性.注意到上述隨機(jī)動力系統(tǒng)φ和φ是等價的.據(jù)此可知若φ有(L2(RN),Lp(RN))-隨機(jī)吸引子,則φ也有(L2(RN),Lp(RN))-隨機(jī)吸引子,因此只需考慮隨機(jī)動力系統(tǒng)φ.定理3.2設(shè)g∈L2(RN)且(1.3)-(1.6)都成立,則隨機(jī)動力系統(tǒng)φ在L2(RN)存在唯一(L2(RN),Lp(RN))-隨機(jī)吸引子.4分辨率的一致評估4.1估計條件及前提本節(jié)為了證明(3.6)所定義的隨機(jī)動力系統(tǒng)φ的(L2(RN),Lp(RN))-隨機(jī)吸引子的存在性,需要得到定義在RN中隨機(jī)反應(yīng)擴(kuò)散方程的解在Lp(RN)空間中的一致估計.事實上,這些解的估計不但是證明有界隨機(jī)吸收集的存在性所必要的,也是證明相應(yīng)隨機(jī)動力系統(tǒng)的漸近緊性所需要的.特別地,我們將要證明φ存在有界(L2(RN),Lp(RN))-隨機(jī)吸收集{K0(ω)}ω∈Ω∈,且該隨機(jī)吸收集吸收所有的有界隨機(jī)集.本文后面默認(rèn)u=u(t,ω,u0(ω))是方程(3.1),(3.2)的解,其初值為u(0)=u0(ω).同時v(t)=v(t,ω,v0(ω))是方程(3.4),(3.5)的解,其初值為v(0)=v0(ω)=e-z(ω)u0(ω).下面的引理將證明φ有(L2(RN),Lp(RN))∈隨機(jī)吸收集.引理4.1設(shè)g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同時成立.設(shè),v0(ω)∈B(ω),則對任意ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,使得對所有t≥T,特別地,對ω∈Ω,是φ在中的(L2(RN),Lp(RN))-隨機(jī)吸收集.證明將(3.4)式與|v|p-2v在Lp(RN)中作內(nèi)積,可得現(xiàn)在對(4.2)式的每一項進(jìn)行估計.首先對于非線性項由(1.3),(1.4)可知因為是有界的,則,使得由Young不等式,可得運(yùn)用Cauchy-Schwartz不等式,可知綜上所得的不等式,有即其中.再運(yùn)用經(jīng)典Gronwall不等式,可知用θ-tω替代(4.9)式中的ω,并化簡可得再由Ornstein-Uhlenheck變換的性質(zhì),可知注意到{B(ω)}∈是緩增的,則對任意v0(θ-tω)∈B(θ-tω),有記對任意給定的ω∈Ω,記則.進(jìn)一步,(4.14)說明{Ko(ω)}ω∈Ω是φ在中的(L2(RN),Lp(RN))-隨機(jī)吸收集,證畢.引理4.2設(shè)g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同時成立.設(shè),v0(ω)∈B(ω),則對任意ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,使得對所有t≥T,s∈[t,t+1],證明將(3.4)與v在L2(RN)中作內(nèi)積,可得一方面,由(1.3),(1.4)可知其中c3>0.另一方面,由Cauchy-Schwarz不等式,可得則由(4.17),(4.18),可得根據(jù)Gronwall不等式,可得然后將(4.20)中的ω?fù)Q成θ-t-1ω,設(shè)s∈[t,t+1],則其中c4=max{2,}.類似地,由Ornstein-Uhlenheck過程的性質(zhì),可得又因為v0(θ-t-1ω)∈B(θ-t-1ω),則由以上式及(4.17)-(4.21)可得本引理的結(jié)論,證畢.引理4.3設(shè)g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同時成立.設(shè)B={B(ω)}ω∈Ω∈D,u0(ω)∈B(ω),則對任意ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,使得對所有t≥T,s∈[t,t+1],根據(jù)隨機(jī)變量的性質(zhì),還可得引理4.4設(shè)g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同時成立.設(shè),v0(ω)∈B(ω),則對任意ε>0,ω∈Ω,存在T=T(B,ω)>0,M=M(ε,B,ω),使得對所有t≥T,s∈[t,t+1],證明由引理4.2可知存在隨機(jī)變量M0=M0(ω),使得對每一,都可以找到常數(shù)T=T(B,ω)>0,使得對所有的t≥T,s∈[t,t+1],成立及同時,對任意確定的M>0,有則對任意的ε>0,由(4.25)可得,若保證,可有證畢.4.2v.2e-本節(jié)得到方程(3.4),(3.5)的解v的絕對值|v|無界部分Lp(RN)-范數(shù)的漸近優(yōu)先估計,這也是證明(3.6)中所定義的隨機(jī)動力系統(tǒng)φ的(L2(RN),Lp(RN))-漸近緊性的重要方法.我們以一個引理開始.引理4.5設(shè)∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同時成立.設(shè),v0(ω)∈B(ω),則對任意ε>0,ω∈Ω,存在T=T(B,ω,ε>0)>0,M1=M1(ε,B,ω)>0,使得對所有t≥T,證明由引理3.2可知,存在緊隨機(jī)吸引子(ω),使得對所有ω0(ω)∈B(ω)都成立,其中d是L2(RN)中豪斯托夫半距離.用θ-1ω替換上式中的ω可得設(shè)是在L2(RN)中的-鄰域.由上式可得,存在使得對所有的t≥T0,由的緊性,可推得有有限的網(wǎng).因此,由引理2.8可得,存在使得對所有的t≥T0,其中v0(ω)∈B(ω),證畢.引4.6設(shè)g∈L2(RN)和(1.3)-(1.6)同時成立.設(shè),v0(ω)∈B(ω),則對任意ε>0,ω∈Ω,存在T=T(B,ω,ε)>0,M=M(ε,B,ω),使得對所有t≥T,證明將(3.4)乘以(v-M)+,然后在RN上積分可得接下來開始估計(4.30)式的每一項.首先由(1.3)-(1.6)及Young不等式,可得和由緩增隨機(jī)變量的性質(zhì)可知這里的正常數(shù)c可能互不相同,這一點已經(jīng)在引言里說明了.因此,由(4.31)-(4.35)可知用τ替換(4.36)中的t,然后對變量τ在[t,t+1]上積分可得設(shè)在(4.37)中將ω?fù)Q成θ-t-1ω可知因為g∈L2(RN),Φ1∈L(RN)和Φ2∈L2(RN),則由積分論和引理4.4,可得再次由Ornstein-Uhlenbeck過程的性質(zhì)可知,使得故由(4.38)-(4.40)知,然后,將(3.4)與做內(nèi)積得到類似引理4.6的證明,可得到因此,由如下式子成立其中ai(i=1,2,3,4)是正數(shù).則根據(jù)(4.43)-(4.45),可得用τ替換(4.46)中的t,然后對τ在[s,t+1]上積分,取s∈[t,t+1]得到在(4.47)中用θ-t-1ω替代ω,然后對s在區(qū)間[t,t+1]上積分可得到其中D1(τ)=RN(v(τ,θ-t-1ω,v0(θ-t-1ω))≥M),則由(4.39)及Φ1,Φ1,g的性質(zhì)知由引理4.3和緩增變量的性質(zhì)不難得到因此根據(jù)(4.47)-(4.50)可得對所有的t≥T,故可推導(dǎo)得對所有t≥T+1,其中D2(t)=RN((v(t,θ-tω,v0(θ-tω))≥2M).再將(v-M)+和|(v