淺談微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

淺談微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

為了研究經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系及其內(nèi)在規(guī)律，有必要建立滿足特定經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系公式，并確定研究的函數(shù)形式，并根據(jù)一些已知條件確定函數(shù)表。從數(shù)學(xué)上講,這就是建立微分方程并求解微分方程。一階微分方程的應(yīng)用模型很多,尤其是微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用,下面通過4個(gè)方面舉例說明一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。1平衡乘子法例1某商品的需求函數(shù)與供給函數(shù)分別為Qd=a-bP,Qs=-c+dP,(其中a,b,c,d均為正常數(shù))。假設(shè)商品價(jià)格P為時(shí)間t的函數(shù),已知初始價(jià)格P(0)=P0,且在任一時(shí)刻t,價(jià)格P(t)的變化率總與這一時(shí)刻的超額需求Qd-Qs成正比(比例常數(shù)為k>0)。(1)求供需相等時(shí)的價(jià)格Pe(均衡價(jià)格);(2)求價(jià)格P(t)的表達(dá)式;(3)分析價(jià)格P(t)隨時(shí)間t的變化情況。解(1)由Qd=Qs得Ρe=a+cb+dPe=a+cb+d。(2)由題意可知dΡdt=k(Qd-Qs)(k>0)dPdt=k(Qd?Qs)(k>0)將Qd=a-bP,Qs=-c+dP代入上式,得dΡdt+k(b+d)Ρ=k(a+c)(1)dPdt+k(b+d)P=k(a+c)(1)解一階非齊次線性微分方程,得通解為Ρ(t)=Ce-k(b+d)t+a+cb+dP(t)=Ce?k(b+d)t+a+cb+d由P(0)=P0,得C=Ρ0-a+cb+d=Ρ0-ΡeC=P0?a+cb+d=P0?Pe,則特解為P(t)=(P0-Pe)e-k(b+d)t+Pe。(3)討論價(jià)格P(t)隨時(shí)間t的變化情況。由于P0-Pe為常數(shù),k(b+d)>0,故當(dāng)t→+∞時(shí),(P0-Pe)e-k(b+d)t→0,從而P(t)→Pe(均衡價(jià)格)(從數(shù)學(xué)上講,顯然均衡價(jià)格Pe即為微分方程(1)的平衡解,且由于limt→+∞Ρ(t)=Ρelimt→+∞P(t)=Pe,故微分方程的平衡解是穩(wěn)定的)。由P0與Pe的大小還可以分為3種情況進(jìn)一步討論:(a)若P0=Pe,則P(t)=Pe,即價(jià)格為常數(shù),市場(chǎng)無需調(diào)節(jié)達(dá)到均衡;(b)若P0>Pe,因?yàn)?P0-Pe)e-k(b+d)t總是大于0且趨于0,故P(t)總大于Pe而趨于Pe;(c)若P0<Pe,則P(t)總是小于Pe而趨于Pe。由以上討論可知,在價(jià)格P(t)的表達(dá)式中的2項(xiàng):Pe為均衡價(jià)格,而(P0-Pe)e-k(b+d)t就可理解為均衡偏差。2u3000d2:kt例2假設(shè)某產(chǎn)品的銷售量x(t)是時(shí)間t的可導(dǎo)函數(shù),如果商品的銷售量對(duì)時(shí)間的增長率dxdtdxdt與銷售量x(t)及銷售量接近于飽和水平的程度N-x(t)之積成正比(N為飽和水平,比例常數(shù)為k>0),且當(dāng)t=0時(shí),x=14Νx=14N。(1)求銷售量x(t);(2)求x(t)的增長最快的時(shí)刻T。解(1)由題意可知dxdt=kx(Ν-x)(k>0)(2)dxdt=kx(N?x)(k>0)(2)分離變量,得dxx(Ν-x)=kdtdxx(N?x)=kdt,兩邊積分,得xΝ-x=CeΝktxN?x=CeNkt,解出x(t),得x(t)=ΝCeΝktCeΝkt+1=Ν1+Be-Νkt(3)x(t)=NCeNktCeNkt+1=N1+Be?Nkt(3)其中B=1CB=1C,由x(0)=14Νx(0)=14N得B=3,故x(t)=Ν1+3e-Νktx(t)=N1+3e?Nkt(2)由于dxdt=3Ν2ke-Νkt(1+3e-Νkt)2?d2xdt2=-3Ν3k2e-Νkt(1-3e-Νkt)(1+3e-Νkt)3dxdt=3N2ke?Nkt(1+3e?Nkt)2?d2xdt2=?3N3k2e?Nkt(1?3e?Nkt)(1+3e?Nkt)3令d2xdt2=0d2xdt2=0,得Τ=ln3Νk。當(dāng)t<T時(shí),d2xdt2>0;t>T時(shí),d2xdt2<0。故Τ=ln3Νk時(shí),x(t)增長最快。3dytd1:t例3在宏觀經(jīng)濟(jì)研究中,發(fā)現(xiàn)某地區(qū)的國民收入y,國民儲(chǔ)蓄S和投資I均是時(shí)間t的函數(shù)。且在任一時(shí)刻t,儲(chǔ)蓄額S(t)為國民收入y(t)的110倍,投資額I(t)是國民收入增長率dydt的13倍。t=0時(shí),國民收入為5(億元)。設(shè)在時(shí)刻t的儲(chǔ)蓄額全部用于投資,試求國民收入函數(shù)。解由題意可知S=110y?Ι=13dydt由假設(shè),時(shí)刻t的儲(chǔ)蓄全部用于投資,那么S=I,于是有110y=13dydt,解此微分方程得y=Ce310t,由y|t=0=5,得C=5。故國民收入函數(shù)y=5e310t,而儲(chǔ)蓄函數(shù)和投資函數(shù)為S=Ι=12e310t。4計(jì)算存儲(chǔ)費(fèi)用與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系例4某商場(chǎng)的銷售成本y和存儲(chǔ)費(fèi)用S均是時(shí)間t的函數(shù),隨時(shí)間t的增長,銷售成本的變化率等于存儲(chǔ)費(fèi)用的倒數(shù)與常數(shù)5的和,而存儲(chǔ)費(fèi)用的變化率為存儲(chǔ)費(fèi)用的-13倍。若當(dāng)t=0時(shí),銷售成本y=0,存儲(chǔ)費(fèi)用S=10。試求銷售成本與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系及存儲(chǔ)費(fèi)用與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系。解由已知dydt=1S+5(4)dSdt=-13S(5)解微分方程(5)得S=Ce-t3,由s|t=0=10得C=10,故存儲(chǔ)費(fèi)用與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為S=10e-t3,將上式代入微分方程(4),得dydt=110et3+5,從而y=310