關(guān)于兩個(gè)漸近公式的注記

關(guān)于兩個(gè)漸近公式的注記

對(duì)于指定的自然數(shù)m和任意自然數(shù)n，定義了f（n）=（m，n）和g（n）=[m，n）。這顯然是可執(zhí)行的函數(shù)。在這項(xiàng)工作中，我們的主要目標(biāo)是使用分析方法研究這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，并得到以下有趣的漸近公式，以證明以下一點(diǎn)。定理1設(shè)m為任意給定的正整數(shù),α為實(shí)數(shù).則對(duì)任意的實(shí)數(shù)x≥1有漸近公式∑n≤xσα(f(n))=σ1-α(m)m1-αx+Ο(x12+ε),(1)∑n≤xσα(f(n))=σ1?α(m)m1?αx+O(x12+ε),(1)其中σα(n)=∑d|ndα,ε為任意給定的正數(shù).特別當(dāng)α=0,1時(shí),我們有下面的:推論對(duì)于任意實(shí)數(shù)x≥1,有漸近公式:∑n≤xd(f(n))=σ(m)mx+Ο(x12+ε),(2)∑n≤xσ(f(n))=d(m)x+Ο(x12+ε),(3)其中d(n)為除數(shù)函數(shù),σ(n)為除數(shù)和函數(shù).定理2設(shè)m為任意給定的正整數(shù),φ(n)為歐拉函數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥1有∑n≤xφ(f(n))=x?φ(m)m∏pβ∥m(1+β-β-1p)+Ο(x12+ε).(4)定理3設(shè)m為任意給定的正整數(shù),α≠0,-1,則對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥1有漸近公式∑n≤xσα(g(n))=xα+1?ζ(α+1)α+1∏pβ∥m(1-1p+1p(β+1)(α+1)-α)+Ο(xα+12+ε).(5)定理4設(shè)m為任意給定的正整數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥1有其中C為歐拉常數(shù).定理5設(shè)m為任意給定的正整數(shù),則對(duì)任意實(shí)數(shù)x≥1有∑n≤xφ(g(n))=x22ζ(2)∏pβ∥m1p2β(1+p2β+3-p3p3+p2-p-1)+Ο(x32+ε).(6)2fn2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1/2.2.1/2.2.1/2.2.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.3.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.1/2.2.2s2.2.2t1/2.2t1/2.2t1/2.2.2.3.2.2t1/2.2t1/2t1/2t1/2t1/2s2t1/2t1/2+srs2t1/2t1/2+2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.3.2.2.2.3.2.2.3.2.3.2.2.2t1/2+2t1/2+2t1/2+2t1這節(jié)我們來(lái)完成定理的證明,首先證定理1.令h(s)=∞∑n=1σα((m,n))ns,因?yàn)閙固定時(shí)f(n)=(m,n)為n的可乘函數(shù),且不難驗(yàn)證σα((m,n))也為n的可乘函數(shù).則由Eurler積公式知因?yàn)閨σα((m,n))|<Κ,|∞∑n=1σα((m,n))nσ|<Κσ-1其中K為某一只和m,α有關(guān)的常數(shù),σ>1為s的實(shí)部,則由Perron公式,有其中N為離x最近的整數(shù),當(dāng)x為半奇數(shù)時(shí)取N=x-1/2,‖x‖=|x-N|.在上式中取a(n)=σα(f(n)),s0=0,b=2,Τ=x3/2,Η(x)=Κ,B(σ)=Κσ-1,則有∑n≤xσα(f(n))=12πi∫2+iΤ2-iΤζ(s)R(s)xssds+Ο(x1/2+ε),其中R(s)=∏pβ∥m(1+1ps-α+1p2(s-α)+?+1pβ(s-α)).現(xiàn)在來(lái)估計(jì)12πi∫2+iΤ2-iΤζ(s)R(s)xssds.將積分線從2±iT移到1/2±iT.考慮到函數(shù)ζ(s)R(s)xss在s=1處有一個(gè)一階極點(diǎn),留數(shù)為R(1)x.即12πi(∫2+iΤ2-iΤ+∫1/2+iΤ2+iΤ+∫1/2-iΤ1/2+iΤ+∫2-iΤ1/2-iΤ)ζ(s)R(s)xssds=R(1)x.取T=x3/2,容易估計(jì)|12πi(∫1/2+iΤ2+iΤ+∫2-iΤ1/2-iΤ)ζ(s)R(s)xssds|?∫21/2|ζ(σ+iΤ)R(s)x2Τ|dσ?x2Τ=x1/2;再利用分部積分法便可得到如下估計(jì)|12πi∫1/2-iΤ1/2+iΤζ(s)R(s)xssds|?∫Τ0|ζ(1/2+it)R(s)x1/2t|dt?x1/2+ε;由于R(1)=∏pβ∥m(1+1p1-α+1p2(1-α)+?+1pβ(1-α))=σ1-α(m)m1-α所以∑n≤xσα(f(n))=σ1-α(m)m1-αx+Ο(x12+ε).這樣就完成了定理1的證明.以下我們完成其余定理的證明.令f1(s)=∞∑n=1φ(f(n))ns,f2(s)=∞∑n=1σα(g(n))ns,f3(s)=∞∑n=1φ(g(