關(guān)于相對論性坐標(biāo)變換的幾點思考

關(guān)于相對論性坐標(biāo)變換的幾點思考

u3000線元dl2的+x-1-5,5.2.2算法狹義討論通常涉及每個彈性系統(tǒng)之間的坐標(biāo)變化。在這種復(fù)雜的情況下，歷史學(xué)家從數(shù)學(xué)的角度展示了“非變變”的優(yōu)勢。因此，我們必須利用“非變量”和“氏族”來理解變換坐標(biāo)和靜止變化的量。歐里斯空間的常識提供了重要的借鑒。假設(shè)l是代表2維歐空間的曲線，l代表1個元段（見圖2-1），l代表1個長度（稱為元段長度），l2代表1個角[（直方方向）]。元段l是固定的。前線的l2當(dāng)然與坐標(biāo)無關(guān)，所以它是不變量（絕對量）。其次，關(guān)注線性元素的l2公式。設(shè)置[x]和直角坐標(biāo)系圖2-1為直角坐標(biāo)系。dl2=dy2+dx2.(2-1-1)如果改用極坐標(biāo)系{r,φ},則同一線元dl2的表達(dá)式變?yōu)閐l2=dr2+r2dφ2.(2-1-2)上兩式是同一個線元dl2的表達(dá)式,坐標(biāo)變換所改變的只是線元表達(dá)式而不是線元本身.要使線元表達(dá)式不變,新坐標(biāo)系必須也是直角坐標(biāo)系,例如,設(shè){x′,y′}是由{x,y}系轉(zhuǎn)動α角而得的新系(仍見圖2-1),則容易驗證兩者之間的坐標(biāo)變換為x′=xcosα+ysinα,y′=-xsinα+ycosα,(2-1-3)故dy2+dx2=dy′2+dx′2,(2-1-4)因而線元dl2在新系的表達(dá)式為dl2=dy′2+dx′2.(2-1-5)可見線元表達(dá)式在直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動變換下形式不變.其實還有更強的結(jié)論:當(dāng)且僅當(dāng)采用直角坐標(biāo)變換(轉(zhuǎn)動加原點平移)時,歐氏線元表達(dá)式不變.在相對論中有非常類似的情況.先討論2維時空.設(shè)p1,p2是兩個相鄰事件,在慣性系K和K′的坐標(biāo)分別為p1=(t1,x1)=(t′1,x′1),p2=(t2,x2)=(t′2,x′2).令dt≡t2-t1,dx≡x2-x1,dt′≡t′2-t′1,dx′≡x′2-x′1,則由洛倫茲變換式(1-3-9)得dt′=γ(dt-vdx),dx′=γ(dx-vdt),(2-1-6)由此不難驗證(習(xí)題)-dt2+dx2=-dt′2+dx′2,(2-1-7)定義時空(元)間隔(spacetimeinterval)ds2為ds2≡-dt2+dx2,(對國際制為ds2≡-c2dt2+dx2)(2-1-8)則式(2-1-7)表明時空間隔ds2在洛倫茲變換下形式不變.可見,至少形式地說,時空間隔很像線元dl2,慣性坐標(biāo)t,x很像直角坐標(biāo)y,x.不妨建立如下對應(yīng):時空間隔ds2?歐氏線元dl2;慣性坐標(biāo)t,x?直角坐標(biāo)y,x.但“很像”并非全同,時空間隔ds2與歐氏線元dl2表達(dá)式的惟一差別就是在dt2前有一負(fù)號.同歐氏線元dl2一樣,時空間隔ds2一經(jīng)選定[由式(2-1-8)定義]就是不變量(絕對量),坐標(biāo)變換有可能改變的只是它的表達(dá)式.例如,仿照歐氏空間引入極坐標(biāo)系的做法,現(xiàn)在可用下式引入新坐標(biāo)系{ψ,η}:x=ψchη,t=ψshη,(其中ch和sh分別代表雙曲余弦和雙曲正弦)(2-1-9)同一間隔ds2在新系的表達(dá)式變?yōu)閐s2≡dψ2-ψ2dη2.(2-1-10)小結(jié)存在兩個意義的不變性:(1)歐氏線元dl2和時空間隔ds2都是不變量(絕對量);(2)歐氏線元(時空間隔)的表達(dá)式在直角坐標(biāo)(慣性坐標(biāo))變換下形式不變.對于歐氏幾何,人們關(guān)心曲線的長度、兩點之間的距離、兩直線之間的夾角,……等等.這些幾何性質(zhì)都由歐氏線元決定:曲線的長度定義為線元dl2的開方根dl的積分;兩點之間的距離定義為兩點之間的最短曲線的長度(因而也取決于線元);兩直線之間的夾角定義為弧長與半徑長之比(歸根結(jié)蒂還是由線元決定).事實上,歐氏幾何的所有內(nèi)容都由歐氏線元決定,簡言之就是線元決定幾何.這一結(jié)論對非歐幾何也成立.指定一個與歐氏線元不同的線元就定義了一種非歐幾何.線元的改變起著“牽一發(fā)而動全身”的作用.現(xiàn)在,只要把時空間隔ds2≡-dt2+dx2也看作一種線元[稱為閔氏線元,閔氏是指閔可夫斯基(Minkowski)],它也決定一種幾何,與歐氏幾何不同,稱為(2維)閔氏幾何(Minkowskigeometry).定義了閔氏幾何的空間稱為閔氏空間(Minkowskispace).今后統(tǒng)一用符號ds2代表線元(但元段長則仍記作dl),所以歐氏線元dl2=dy2+dx2將改記作ds2=dy2+dx2.以上只是為陳述方便而討論2維情況,不難將討論推廣到維數(shù)更高的空間.讀者都熟悉3維歐氏空間,其線元在直角坐標(biāo)系的表達(dá)式為ds2=dx2+dy2+dz2,(2-1-11)如果改用球坐標(biāo)系{r,θ,φ},利用該系與直角系的熟知關(guān)系x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ,(2-1-12)由微分運算容易求得歐氏線元ds2=dx2+dy2+dz2在球坐標(biāo)系的表達(dá)式ds2=dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2).(2-1-13)我們再次強調(diào),坐標(biāo)變換改變的只是線元的表達(dá)式而不是線元本身.就是說,式(2-1-13)與(2-1-11)雖然形式不同,但實質(zhì)一樣,都代表3維歐氏線元,可表為連等式ds2=dx2+dy2+dz2=dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2).如果改用第三種坐標(biāo)系(例如柱坐標(biāo)系或者更復(fù)雜的坐標(biāo)系),歐氏線元ds2的表達(dá)式還會取其他更為復(fù)雜的形式.歐氏線元只在直角坐標(biāo)系才有最簡單的表達(dá)式dx2+dy2+dz2.想象地再補上第4維,把第4個直角坐標(biāo)記作w,便可寫出4維歐氏線元在直角系的表達(dá)式ds2=dw2+dx2+dy2+dz2,(2-1-14)與4維閔氏線元ds2=-dt2+dx2+dy2+dz2(2-1-15)相對應(yīng)(但請?zhí)貏e注意右邊第一項的負(fù)號).類似地,如果在閔氏時空中選取慣性坐標(biāo)系以外的坐標(biāo)系,閔氏線元的表達(dá)式也要改變.例如,若選4維球坐標(biāo)系{t,r,θ,φ},其中r,θ,φ仍由式(2-1-12)定義,則閔氏線元的表達(dá)式改為ds2=-dt2+dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2).(2-1-16)若選更復(fù)雜的坐標(biāo)系,閔氏線元的表達(dá)式將更為復(fù)雜.當(dāng)且僅當(dāng)選用慣性坐標(biāo)系時,閔氏線元才有最簡單的表達(dá)式-dt2+dx2+dy2+dz2.關(guān)于“ds2”的格式為方便起見,仍先討論2維情況.把ds2≡-dt2+dx2看作線元似乎意味著曲線的長度應(yīng)定義為ds的積分,但dt2前的負(fù)號卻帶來一個微妙之處,因為它導(dǎo)致ds2符號不定.圖2-2示出了三類曲線.曲線L1的任一元段都有ds2>0,故元段長dl可自然定義為dl≡√ds2,曲線L1介于a1和b1點之間的一段的線長(記作la1b1)自然是la1b1=b1∫a1√ds2.(2-2-1)但曲線L2的任一元段有ds2<0,如果把元段長dl仍定義為dl≡√ds2,則dl為虛數(shù),而虛數(shù)線長沒有意義.現(xiàn)在應(yīng)該明確指出,ds2其實只是-dt2+dx2的代表符號,并不代表某個實數(shù)ds的平方(個別書用符號Φ代替ds2,以防止把它看作某實數(shù)的平方這一誤解).記號ds并無意義,它總是連同右上角的“2”字一同出現(xiàn)(但不代表平方),有意義的只是整體記號ds2.大多數(shù)文獻(xiàn)之所以用記號ds2而不用Φ,目的在于讓人感到“ds2像dl2”,但并非像到可以把ds2看作ds的平方的程度.明確這點之后,我們約定把元段長dl定義為dl≡√-ds2(請注意-ds2>0),把曲線L2介于a2和b2點之間的一段的線長定義為la2b2=b2∫a2√-ds2.(2-2-2)最后,曲線L3的任一元段有ds2=0,我們定義其元段長為零,因而L3的任一線段的線長為零.表面看來似乎很奇怪:這么長長的一條曲線L3的線長竟然為零?其實這正是閔氏幾何與歐氏幾何的一個重要區(qū)別.用歐氏眼光看問題,L3的確很長,但用閔氏眼光來看,由定義可知其長度就是為零.綜上所述可知任一類型的曲線段ab的線長都可表為lab=b∫a√|ds2|,(2-2-3)因為第一類曲線有ds2>0,上式回到式(2-2-1);第二類曲線有ds2<0,上式回到式(2-2-2);第三類曲線有ds2=0,上式給出lab=0.以上討論不難推廣至4維情況,對三類曲線依次命名如下:(1)任一元段都有ds2>0的曲線稱為類空曲線(spacelikecurve);(2)任一元段都有ds2<0的曲線稱為類時曲線(timelikecurve);(3)任一元段都有ds2=0的曲線稱為類光曲線(lightlikecurve,又稱nullcurve).此外也存在這樣的曲線,其上某些元段有ds2>0而另一些元段有ds2<0或ds2=0,我們戲稱這些曲線為不倫不類的曲線.圖2-3是歐氏空間與閔氏空間的對比圖.為畫圖方便,只對比3維歐氏空間與3維閔氏空間.歐氏空間的任一點A稱為一個空間點,可用直角坐標(biāo)表為空間點A=(z,x,y).由于閔氏空間必有一維代表時間,所以閔氏空間又稱為閔氏時空(Minkowskispacetime).不妨認(rèn)為閔氏空間是數(shù)學(xué)家的稱謂,而閔氏時空是物理學(xué)家的稱謂.時空中的任一點p稱為一個時空點(spacetimepoint),代表一個事件,可用慣性坐標(biāo)表為時空點p=(t,x,y).你看,從一個純物理問題出發(fā),經(jīng)過如此這般的三分析兩討論,“一不留神”地竟然就變成了一個幾何問題,就可以借用數(shù)學(xué)做許多極有幫助的討論和計算.盡量用幾何工具討論時空問題是國際相對論界的流行趨勢(其好處多得不計其數(shù)),也是本書的一大特色.dy2中的3維歐氏線元一切不同于歐氏線元的線元所決定的幾何都可稱為非歐幾何.從這一意義上說,閔氏幾何也是非歐幾何.不過,由于它與歐氏幾何很像,線元之間只有一個負(fù)號之差,通常也把閔氏幾何稱為偽歐幾何(pseudo-Euclideangeometry).本節(jié)再介紹一種很常用的非歐幾何,即球面幾何,這是一種2維非歐幾何,其線元可用坐標(biāo)系{x,y}表為ds2=dx2+sin2xdy2,(2-3-1)與歐氏線元的惟一區(qū)別是dy2前要補一個因子sin2x.雖然你可能從未見過這樣的線元表達(dá)式,但下面的一段會讓你發(fā)現(xiàn)這其實是很常見的線元.3維歐氏線元在球坐標(biāo)系{r,θ,φ}的表達(dá)式為ds2=dr2+r2(dθ2+sin2θdφ2).(2-3-2)設(shè)S是以原點為心、以1為半徑的球面,dL是躺在S上的任一曲線元段,當(dāng)然也可把它看作3維歐氏空間的元段,故式(2-3-2)就是這一特殊元段的線元在球坐標(biāo)系的表達(dá)式.由于元段躺在球面上,其上每點都有r=1,故式(2-3-2)簡化為(改用(d?s2代表)d?s2=dθ2+sin2θdφ2.(2-3-3)球面是個2維空間,因為要決定其上一點需要2個坐標(biāo)(θ和φ).上式實質(zhì)上是3維空間的歐氏線元在鑲嵌于其中的2維球面所誘導(dǎo)而生的線元,稱為(標(biāo)準(zhǔn))球面線元,描述球面這個2維空間的幾何(球面幾何).人們在討論球面上的問題時,無論自覺與否,都在默認(rèn)其幾何由線元(2-3-3)決定.請注意式(2-3-3)與式(2-3-1)實質(zhì)一樣(差別只在于坐標(biāo)的記號從x,y改為θ,φ,而這毫無影響),所以式(2-3-1)的確是球面線元.應(yīng)該指出,雖然從3維歐氏線元誘導(dǎo)出球面線元的講法很直觀,但球面幾何本身完全可以不依托于3維空間而獨立存在,它無非就是由式(2-3-1)表示的一種2維幾何.從2維彎曲空間到2維彎曲時空利用線元可以定義一個稱為曲率(curvature)的張量,又稱黎曼張量,是由線元所決定的諸多幾何性質(zhì)中很重要的一個性質(zhì).本書讀者不必知道什么是張量,只須記住以下四點.(1)各點曲率都為零的空間稱為平直空間(flatspace),否則稱為彎曲空間(curvedspace).如果空間是時空(其中一維代表時間),則平直空間和彎曲空間也分別稱為平直時空(flatspacetime)和彎曲時空(curvedspacetime).(2)歐氏空間是平直空間,閔氏時空是平直時空.(3)球面是2維彎曲空間的簡單例子.球面上任一點的曲率都非零.(4)狹義相對論以閔氏時空為背景時空,而廣義相對論則以彎曲時空為背景時空(詳見第6講).在彎曲時空中,曲線的類空、類時和類光性的定義與閔氏時空相同,線長仍由線元絕對值|ds2|的積分決定,即式(2-2-3)同樣適用于彎曲時空.測地線、比自己所定義的“極短線”歐氏空間的曲線中有一類最為簡單,這就是直線.直線是這樣的曲線,它在直角坐標(biāo)系中的任意兩個坐標(biāo)都有線性關(guān)系.以3維歐氏空間為例,直角坐標(biāo)x,y,z滿足下式的曲線就是直線:y=ax+b,z=cx+d.(其中a,b,c,d是常實數(shù))(2-5-1)由于任意兩個直角坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換都是線性變換,所以,只要式(2-5-1)對一個直角系成立,則它對任一直角系也成立.這就保證直線是絕對的概念,不存在某系認(rèn)為是直線而另一系認(rèn)為不是直線的情況.歐氏空間之所以可以定義直線,是因為它有一類簡單的、與眾不同的坐標(biāo)系,這就是直角坐標(biāo)系.類似地,閔氏時空也有一類簡單的、與眾不同的坐標(biāo)系,這就是慣性坐標(biāo)系,因而也可用類似方法定義直線.以4維閔氏時空為例,其直線是這樣的曲線,它的慣性坐標(biāo)t,x,y,z之間有如下的線性關(guān)系:x=a1t+b1,y=a2t+b2,z=a3t+b3.(其中a1,b1,a2,b2,a3,b3是常實數(shù))(2-5-2)由于任意兩個慣性坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換都是線性變換(洛倫茲變換),所以閔氏時空中的直線概念也是絕對的.歐氏空間和閔氏空間都是平直空間.對于彎曲空間,不存在像直角坐標(biāo)系或慣性坐標(biāo)系那樣的與眾不同的坐標(biāo)系,直線難以定義.然而,彎曲空間的曲線中也存在一類最簡單的曲線,稱為測地線(geodesic).由于數(shù)學(xué)知識不夠,此處不擬給出測地線的定義,只想指出以下三點.(1)把測地線定義用于平直空間,結(jié)果正是直線.可見測地線概念是直線概念向彎曲空間的推廣.(2)不難驗證球面上的大圓弧滿足球面上測地線的定義.事實上,球面上的曲線是測地線當(dāng)且僅當(dāng)它是大圓弧.(3)鑒于歐氏空間存在“兩點之間直線最短”的結(jié)論,人們往往把測地線稱為短程線.然而這一稱謂容易誤導(dǎo).下面僅舉兩個反例.第一個反例是關(guān)于球面的.下面以對話形式闡述,其中乙代表筆者.甲球面上的大圓弧(測地線)一定是其首末兩點之間的最短曲線,對嗎?乙不對.圖2-4中的大圓弧SAND就不是點S與D之間最短的線,因為大圓弧SED更短.甲我把“最短”改為“極短”總對了吧?我的“最短”和“極短”是仿照一元微積分中的“最小值”和“極小值”說的,函數(shù)在定義域中可以有若干個極小值,其中最小的一個叫最小值.就是說,當(dāng)我說“SAND是極短線”時,是只與其鄰近曲線比較的結(jié)果.乙問題就在于“大圓弧SAND是極短線”這一結(jié)論也不對,因為跟它緊鄰的曲線SBCD比它還短(其中BCD是B,D點間的一個大圓弧),理由如下.SBCD長=SB長+BCD長,SAND長=SA長+AN長+ND長,故SAND長-SBCD長=SA長+AN長+ND長-SB長-BCD長=(BN長+ND長)-BCD長=BND長-BCD長>0,(2-5-3)[其中第二步用到SA長=SB長(總可選這樣的A,B點)及AN長=BN長,末步(即>號)是因為BCD和BND都是連結(jié)B,D點的線,而前者是測地線后者不是,故BND長>BCD長.]式(2-5-3)表明測地線段SAND并非短程線,連“極短”也不是.測地線段SAND之所以不是“極短”,關(guān)鍵在于線上包含南極S和北極N,兩者組成線上的一個“共軛點對”,即存在從S到N的、與測地線SAN無限鄰近的測地線SBN.可以證明,只要大圓弧上沒有共軛點對,它必定是最短線.例如,大圓弧SA,SB和SED分別都是最短線.上述例子已經(jīng)表明把測地線稱為“短程線”至少不夠準(zhǔn)確.更有甚者,在閔氏時空及彎曲時空中存在大量的類時測地