第四章 晶體定向和晶面符號

第四章晶體的定向和晶面符號晶體定向的概念晶體定向的原則晶系的定向法則晶面符號晶棱符號晶帶定律和晶帶符號1一、為何要進行晶體定向晶體的具體形態(tài)取決于晶體的晶面在空間的方位，亦即晶面與對稱要素之間的關系要了解晶體的具體形態(tài)，只知道對稱型是不夠的3L44L36L29PC3L44L36L29PC3L44L36L29PC2二、何謂晶體定向晶體定向：就是在晶體上建立坐標系統(tǒng),即選定坐標軸（晶軸）和確定各晶軸上單位長（軸長）之比（軸率）晶軸交于晶體中心的三條直線分別表示為X

Y

Z軸角各晶軸正端之間的夾角

＝Y

Z；

＝Z

X；

＝X

Y軸率各晶軸上的軸單位之比a:b:c組成要素：晶軸行列，軸單位結點間距

高級晶軸a:b:c=1中級晶軸a:c

低級晶軸a/b:1:c/bwhy？三軸坐標系34三軸定向和四軸定向的比較

5在三個行列上有晶胞參數(shù)(a,b,c;α,β,γ),這些參數(shù)就構成了三個晶軸上的軸單位和晶軸之間的夾角.晶體外形不可能知道軸單位,但根據對稱性可以知道軸單位之間的比值關系,即：a:b:c

例如,等軸晶系的a:b:c=?

四方晶系的a:b:c=?

我們將a:b:c

稱為軸率,α,β,γ稱軸角,軸率與軸角統(tǒng)稱晶體常數(shù).6各晶系的晶體幾何常數(shù)特點等軸晶系：a=b=c，a=b=g=90

；四方晶系：a=b≠c，a=b=g=90

；三方和六方晶系：a=b≠c，a=b=90

，g=120

；三方晶系菱面體格子：a=b=c，a=b=g≠60

≠90

≠109

28’16’’斜方晶系：a≠b≠c，a=b=g=90

；單斜晶系：a≠b≠c，a=g=90

，b>90

；三斜晶系：a≠b≠c，a≠b≠g；7各晶系的晶體幾何常數(shù)特點

8三、晶體定向的原則應當符合晶體所固有的對稱性1、晶軸的選擇對稱軸對稱面的法線平行晶棱盡可能使

=

=

=90

,a=b=c2、步驟高次軸L2P

法線顯著晶棱9

a=b=c

=

=

=90

3L4或3Li4或3L2

abc軸c

直立，b

左右，a

前后等軸晶系3.各晶系晶體的定向方法10a=b

c

=

=

=90

1L4

c軸2L2

/2P

法線/2晶棱

ab軸c

直立，b

左右，a

前后四方晶系11a

b

c

=

=

=90

3L2abc軸或1L2c軸2P法線ab軸

c

直立，b

左右，a

前后斜方晶系12a

b

c

=

=90

>90

1L2/1P法線b軸,2晶棱ac軸

c

直立，b

左右a

前后但向前下方傾斜使

>90

單斜晶系13a

b

c

90

選擇3個顯著的、而且相互間較接近于90

的晶棱方向作為abc軸c

直立，b

左右并朝右下方傾斜a

大致前后方向并使之朝前下方傾斜使

>90

,

>90

，

則可為鈍角，亦可為銳角使三斜晶系14晶體的四軸定向三方晶系和六方晶系對稱特點：晶體中唯一的高次軸為L3

或L6c軸上下直立b軸左右水平，右正左負a軸左前—水平朝正前偏左30

u軸左后—水平朝正后偏左30

a=bc

=

=90

=120

選擇1個直立結晶軸和3個水平結晶軸L3/L6c軸，3L2120

/3P120/3晶棱120

abu軸abu

軸正向之間的夾角為120

XYU120°120°120°XYZ15L44L25PC163L23PC17晶系選軸原則晶體常數(shù)特點等軸晶系以互相垂直的3L4或3Li4或3L2為X、Y、Z軸a=b=ca=b=g=90

四方晶系L4或Li4為Z軸,以垂直Z軸，并互相垂直的L2或P的法線為X、Y軸a=b≠ca=b=g=90

三方晶系及六方晶系以L3或L6或Li6

為Z軸，以垂直Z軸并彼此交角120°的L2或P法線為X、Y、Ua=b≠ca=b=90

g=120

斜方晶系以互相垂直的L2或P的法線為X、Y、Z軸a≠b≠ca=b=g=90

單斜晶系以L2或P的法線為Y軸，以垂直于Y軸的主要晶棱方向為X、Z軸a≠b≠ca=g=90

b>90

三斜晶系以三個主要的晶棱方向為X、Y、Z軸a≠b≠c

a≠b≠g書上表5-1要熟記18四、晶面符號

代表晶面空間方位的符號

只涉及晶面在空間的方位與晶體的大小無關是根據晶面(或晶體中平行于晶面的其他平面）與各結晶軸的交截關系，用簡單的數(shù)字符號形式來表達它們在晶體上方位的一種晶體學符號。晶面的米氏符號

由英國人Miller（1839）創(chuàng)立用晶面在3個結晶軸上的截距系數(shù)的倒數(shù)比來表示晶面指數(shù)(hkl)(hkil)按x、y、z軸順序，不得顛倒！晶軸有正負方向，指數(shù)的負號寫在上面晶面可與晶軸垂直,平行或斜交19晶面符號的產生晶體上任意一個晶面，若它在三個結晶軸x軸、y軸、z軸上的截距依次為OA、OB、OC,已知軸率為a∶b∶c，則該晶面在晶軸上的截距系數(shù)p,q,r分別為:

p=OX/a,q=OY/b,r=OZ/c其倒數(shù)比1/p:1/q:1/r=h:k:l

晶面指數(shù)(米氏指數(shù)):取h:k:l的最簡單整數(shù)比,此時的h,k,l就稱為晶面指數(shù);注意正負之分。(321)截距系數(shù)的倒數(shù)比20舉例:

某晶面在X,Y,Z軸上的截距為2a,3b,6c,那么截距系數(shù)為2,3,6,其倒數(shù)比為1/2:1/3:1/6=3:2:1,去掉比例符合，寫做(321),這就是該晶面的米氏符號.注意：三個晶軸上的軸單位不一定相等，所以，截距系數(shù)與截距不一定成正比。21單斜晶系的正長石晶體。其對稱型為2/m(L2PC)，我們以L2方向作為結晶軸Y軸，以m、a、b等晶面的交棱方向為Z軸，而以c、n、b等晶面的交棱方向為X軸；正長石晶體結構中相應方向上行列的重復周期，亦即晶胞的三根棱長為a=0.860nm，b=1.306nm，c=0.719nm，此時晶面a在三個結晶軸上的截距(指截距，不是指截距系數(shù))之比為2.270:1.148:∞，求a的晶面符號。

其他各晶面都可利用相同的關系式，根據各自的截距比，求出相應的晶面符號。軸率a:b:c=0.6585:1:0.5554截距系數(shù)之比2.270/0.6585:1.148/∞/1:0.5554h:k:l=0.6585/2.270:1/1.148:0.5554/∞=0.2904:0.8712:0=1:3:0思考22晶面符號的含義和規(guī)律晶面符號中不能同時出現(xiàn)數(shù)字和符號晶面指數(shù)有正負之分

(hkl)-晶面與結晶軸平行時，相應的晶面指數(shù)為0晶面指數(shù)的絕對值越大，表示晶面在相應結晶軸上的截距系數(shù)值（絕對值）越小兩個晶面指數(shù)的絕對值相等，且相對應的兩個結晶軸的軸單位也相等時，則晶面與此二結晶軸等角度相交同一晶體中，晶面指數(shù)的絕對值全部相等，而正、負號恰好全部相反的兩晶面必相互平行23考察晶體模型晶面的晶面符號：CubeOctahedronDodecahedron110

101

011

011_110_101_(001)(100)(010)(111)(111)(111)(111)24Allthreecombined:25-用(hkil)的形式表達，指數(shù)的排列順序依次為X、Y、U和Z軸，軸率為1:1:1:C，C=c/a從數(shù)學角度來看，3個水平結晶軸中必有1個是多余的，三者之間具有某種的關系，由其中的任意兩者必能確定第三者。四軸定向的晶面符號（hkil)根據四軸定向時3個水平結晶軸的正端互成120

交角的關系，應當有：p1+p2p1

上式兩端同除以p1

111即：3個水平結晶軸相應的晶面指數(shù)，它們的代數(shù)和永遠為0

(1010)-(1121)(1011)X+Y+U+Z+－－－–––––=––

p2p3p2p1p3+=h+k+i=026應當說明，在實際晶體的晶面符號計算工作中，我們并不是真正去測量每一晶面在各個結晶軸上截距的具體長度，然后據以來求晶面符號的。在實際工作中，都是根據晶體測量所得出的各個晶面的極坐標值。計算出晶面法線與三個結晶軸間的夾角θx，θy，θz，由于角距與截距間有如下的關系:cosθx:cosθy:cosθz=1/OX:1/OY:1/OZ因而可由下式直接求出晶面指數(shù)：h:k:l=cosθx:cosθy:cosθz

27整數(shù)定律晶面在晶軸上的截距系數(shù)之比為簡單的整數(shù)比yao(010)(110)(210)(310)b0b1b2b3a1晶面指數(shù)為簡單整數(shù).為什么?

因為指數(shù)越簡單的晶面對應到內部結構是面網密度大的面網,而面網密度大的面網容易形成晶面,所以實際晶體上的晶面就是晶面指數(shù)簡單的晶面。

28五、晶棱符號、晶帶與晶帶定律1、晶棱符號：表征晶棱方向的符號，所有平行的晶棱具有同一個晶棱符號。晶棱符號只涉及方向,不涉及具體位置。截距系數(shù)比：表達為[rst]

r:s:t=MR/a:MK/b:MF/c

[rst]=[rst]此例：[rst]=[123]29四軸定向時的晶棱符號以[uvmw]的形式表達也有三指數(shù)形式:[uvw]四指數(shù)和三指數(shù)之間的比較302、晶帶:

(zone)彼此間的交棱均相互平行的一組晶面之組合。晶帶軸(zoneaxis)用以表示晶帶方向的一根直線，它平行于該晶帶中的所有晶面，也就是平行于該晶帶中各個晶面的公共交棱方向。晶帶符號(zonesymbol)

在晶體上用相應的晶帶軸(晶棱)符號來表示。一個晶體上有多少個方向的晶棱，就有多少個晶帶，實際晶體上的晶帶是為數(shù)不多的。31晶帶符號例如(110),(100),(110),(010)…的交棱相互平行，組成一個晶帶;直線CC’即可表達為此晶帶的晶帶軸此組晶棱的符號,即該晶帶軸的符號，為[001]（或者[001]）晶帶32晶帶:交棱相互平行的一組晶面.晶帶軸:移至過晶體中心的一條交棱。晶帶符號：交棱的晶棱符號.舉例:立方體,菱形十二面體晶體上的晶面是以晶帶的形式發(fā)育的.晶帶定律:晶體上任一晶面至少屬于兩個晶帶。任兩晶帶(晶棱)相交可決定一可能晶面,任兩晶面相交可決定一可能晶帶(晶棱).333、晶帶方程應用即：任一屬于[uvw]晶帶的晶面(hkl)，必定有： h

u+k

v+

lw=0晶帶方程簡單的證明：

三維空間的一般平面方程為Ax+By+Cz

+D=0 系數(shù)A、B、C決定該平面的方向，常數(shù)項D決定距原點的距離。那么過坐標原點且平行于(hkl)的平面方程則可以表達為

hx+ky+lz=0

因(hkl)晶面屬于[uvw]晶帶,故直線[uvw]上的任一點均滿足平面方程,即用u,v,w替代x,y,z,便得到上述的晶帶方程。341、已知兩個晶面，求包含此二晶面的晶帶之符號如二已知晶面(hkl)和(mnp)，其交棱（即晶帶）的符號[rst]為：因為：hr+ks+lt=0，mr+ns+pt=0解聯(lián)立式(1)和式(2)的方程組，可得

r:s:t=(kp-nl):(lm-ph):(hn-mk)上式右方可用行列式表示：或寫作：此式較易記憶，即將每一晶面的指數(shù)依次寫兩次，將兩晶面的指數(shù)寫成上下兩行，用豎線隔開，并刪去左右兩列，然后交叉相乘并依次取其乘積之差?，F(xiàn)舉例說明如下：例如，求晶面（100）和晶面（010）所決定的晶帶。r=0×0-1×0=0，s=0×0-1×0=0，t=1×1-0×0=1，即此晶帶的符號為(001)。35⒉求位于晶帶[rst]和晶帶[uvw]交點的晶面（hkl）。因為：hr+ks+lt=0hu+kv+lw=0則與例（1）類比，可用下列行列式計算：例如，求位于[010]和[001]兩晶帶交點的晶面的晶面符號（hkl）。h=1×1-0×0=1，k=0×0-1×0=0，l=0×0-0×1=0即該晶面的晶面符號為（100）。36⒊已知晶面（hkl）和（mnp）在同一晶帶上。求位于此晶帶上介于此兩晶面之間的另一晶面的符號。因為hr+ks+lt=0，mr+ns+pt=0

則(h+m)r+(k+n)s+(l+p)t=0即此晶帶上介