數(shù)學(xué)教案 北師大版選修2-2 同步備課-第1章 推理與證明學(xué)案第1節(jié)歸納與類比

PAGE第1頁共5頁§1歸納與類比1.1歸納推理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡單的推理．(重點(diǎn))2．了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用．(難點(diǎn))1．通過歸納推理概念的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．通過歸納推理的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).1．歸納推理的定義根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性，這種推理方式稱為歸納推理．2．歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理．思考：由歸納推理得到的結(jié)論一定是正確的嗎？[提示]不一定正確．因?yàn)闅w納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理，其結(jié)論還需要證明其正確性．1．下列關(guān)于歸納推理的說法錯(cuò)誤的是()①歸納推理是由一般到一般的推理過程；②歸納推理是一種由特殊到特殊的推理；③歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不一定正確；④歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識(shí)功能．A．①② B．②③C．①③ D．③④A[歸納推理是由特殊到一般的推理，故①②不正確，易知③④均正確，故選A.]2．若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B[n＝2時(shí)，可以；n＝3時(shí)，為正三角形，可以；n＝4時(shí)，為正四面體，可以；n＝5時(shí)，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對角線長與邊長相等，不可能．]3．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，……的子集個(gè)數(shù)歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個(gè)數(shù)為________．2n[集合{a1}有兩個(gè)子集和{a1}，集合{a1，a2}的子集有，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4個(gè)子集，集合{a1，a2，a3}有8個(gè)子集，由此可歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)．]數(shù)式中的歸納推理【例1】(1)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，……，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199(2)已知f(x)＝eq\f(x,1－x)，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，則f3(x)的表達(dá)式為________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表達(dá)式為________．思路探究：(1)記an＋bn＝f(n)，觀察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之間的關(guān)系，再歸納得出結(jié)論．(2)寫出前幾項(xiàng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納猜想結(jié)果．(1)C(2)f3(x)＝eq\f(x,1－4x)fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x)[(1)記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.(2)f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,1－x)，f2(x)＝f1(f1(x))＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)，f3(x)＝f2(f2(x))＝eq\f(\f(x,1－2x),1－2·\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－4x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表達(dá)式，歸納fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x).]已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法1．要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；2．要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；3．提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；4．運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論．1．經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，……根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個(gè)對正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：________.當(dāng)a＋b＝20時(shí)，有eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10)，a，b∈R＋[從上面幾個(gè)不等式可知，左邊被開方數(shù)的和均為20，故可以歸納為a＋b＝20時(shí)，eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10).]數(shù)列中的歸納推理【例2】(1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)，則a2019等于()A．2 B．－eq\f(1,2)C．－2 D．1(2)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖：由于圖中1,3,6,10這些數(shù)能夠表示成三角形，故被稱為三角形數(shù)，試結(jié)合組成三角形數(shù)的特點(diǎn)，歸納第n個(gè)三角形數(shù)的石子個(gè)數(shù)．思路探究：(1)寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再利用數(shù)列的周期性解答．(2)可根據(jù)圖中點(diǎn)的分布規(guī)律歸納出三角形數(shù)的形成規(guī)律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形數(shù)與n的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而歸納出第n個(gè)三角形數(shù)．C[(1)a1＝1，a2＝－eq\f(1,2)，a3＝－2，a4＝1，…，數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，2019＝673×3，∴a2019＝a3＝－2．](2)[解]法一：由1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，可歸納出第n個(gè)三角形數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).法二：觀察項(xiàng)數(shù)與對應(yīng)項(xiàng)的關(guān)系特點(diǎn)如下：項(xiàng)數(shù)1234對應(yīng)項(xiàng)eq\f(1×2,2)eq\f(2×3,2)eq\f(3×4,2)eq\f(4×5,2)分析：各項(xiàng)的分母均為2，分子分別為相應(yīng)項(xiàng)數(shù)與相應(yīng)項(xiàng)數(shù)加1的積．歸納：第n個(gè)三角形數(shù)的石子數(shù)應(yīng)為eq\f(nn＋1,2).數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和．(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前幾項(xiàng)和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前幾項(xiàng)和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；(3)運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式．2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項(xiàng)公式an.[解](1)當(dāng)n＝1時(shí)，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1，得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31．(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可歸納猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．幾何圖形中的歸納推理[探究問題]1．某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個(gè)球；第2,3,4，…堆最底層(第一層)分別按如圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，試求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示]觀察圖形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20.2．上述問題中，試用n表示出f(n)的表達(dá)式．[提示]由題意可得：下一堆的個(gè)數(shù)是上一堆個(gè)數(shù)加下一堆第一層的個(gè)數(shù)，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1,2).將以上(n－1)個(gè)式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)nn＋12n＋1＋\f(nn＋1,2)))＝eq\f(nn＋1n＋2,6).【例3】有兩種花色的正六邊形地面磚，按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A．26 B．31C．32 D．36思路探究：解答本題可先通過觀察、分析找到規(guī)律，再利用歸納得到結(jié)論．B[法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31．法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個(gè)有紋正六邊形圍繞(圖案1)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第6個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為：6＋5×(6－1)＝31．]在題干不變的條件下，第6個(gè)圖案中周圍的邊有多少條？[解]各個(gè)圖形周圍的邊的條數(shù)如下表：圖案123…邊條數(shù)182634…由表可知，周圍邊的條數(shù)依次組成一個(gè)以18為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，解得第6個(gè)圖形周圍的邊的條數(shù)為18＋8×(6－1)＝58條．歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理．解答該類問題的一般策略是：3．根據(jù)圖中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為________．509[分別求出前4個(gè)圖形中線段的數(shù)目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想．圖形①到④中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29，因?yàn)?＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為28＋1－3＝509.]1．歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．(1)由歸納推理得到的結(jié)論帶有猜測的性質(zhì)，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的，結(jié)論是否正確，需要經(jīng)過理論證明或?qū)嵺`檢驗(yàn)，因此，歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具．(2)一般地，如果歸納的個(gè)別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題就越可能為真．(3)歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實(shí)，獲得新結(jié)論，是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段．通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題．2．歸納推理的思維過程大致是：實(shí)驗(yàn)、觀察→概括、推廣→猜測一般性結(jié)論．該過程包括兩個(gè)步驟：(1)通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想)．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，這種估計(jì)屬于歸納推理． ()(2)由個(gè)別到一般的推理稱為歸納推理． ()(3)由歸納推理所得到的結(jié)論一定是正確的． ()[答案](1)√(2)√(3)×2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2C[a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2．]3．已知12＝eq\f(1,6)×1×2×3,12＋22＝eq\f(1,6)×2×3×5,12＋22＋32＝eq\f(1,6)×3×4×7,12＋22＋34＋42＝eq\f(1,6)×4×5×9，則12＋22＋…＋n2＝________.(其中n∈N*)．eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)[根據(jù)題意歸納出12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，下面給出證明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，則23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．]4．有以下三個(gè)不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2，(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2，(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．請你觀察這三個(gè)不等式，猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．[解]結(jié)論為：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．證明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．

1.2類比推理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．通過具體實(shí)例理解類比推理的意義．(重點(diǎn))2．會(huì)用類比推理對具體問題作出判斷．(難點(diǎn))1．通過類比推理的意義的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．通過應(yīng)用類比推理對具體問題判斷的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).1．類比推理由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理．類比推理是兩類事物特征之間的推理．2．合情推理合情推理是根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式．合情推理的結(jié)果不一定正確．思考：合情推理的結(jié)果為什么不一定正確？[提示]合情推理是由特殊到一般的推理，簡單地說就是直接看出來的，沒有通過證明，只歸納了一部分，屬于不完全歸納，所以不一定正確．1．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”C[由實(shí)數(shù)運(yùn)算的知識(shí)易得C項(xiàng)正確．]2．下列推理是合情推理的是()(1)由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；(2)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；(3)a≥b，b≥c，則a≥c；(4)三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸n邊形內(nèi)角和是(n－2)×180°.A．(1)(2) B．(1)(3)(4)C．(1)(2)(4) D．(2)(4)C[(1)為類比推理，(2)(4)為歸納推理，(3)不是合情推理，故選C.]3．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖莀_______．(填序號)①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等．①②③[正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對．]類比推理在數(shù)列中的應(yīng)用【例1】在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數(shù)列，且公比為4100.類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項(xiàng)和．試寫出相應(yīng)的結(jié)論，判斷該結(jié)論是否正確，并加以證明．思路探究：結(jié)合已知等比數(shù)列的特征可類比等差數(shù)列每隔10項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)．[解]數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是正確的．證明如下：∵等差數(shù)列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，且公差為300.1．本例是由等比類比等差，你能由等差類比出等比結(jié)論嗎？完成下題：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn(Tn≠0)，則T4，_______，_______，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)[等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．]2．在本例條件不變的情況下，你能寫出一個(gè)更為一般的結(jié)論嗎？(不用論證)[解]對于任意k∈N＋，都有數(shù)列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數(shù)列，且公差為k2d.1．在等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比推理中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類比特點(diǎn)．2．類比推理的思維過程觀察、比較→聯(lián)想、類推→猜測新的結(jié)論．即在兩類不同事物之間進(jìn)行對比，找出若干相同或相似之處后，推測這兩類事物在其他方面的相同或相似之處．1．在等差數(shù)列{an}中，如果m，n，p，r∈N＋，且m＋n＋p＝3r，那么必有am＋an＋ap＝3ar，類比該結(jié)論，寫出在等比數(shù)列{bn}中類似的結(jié)論，并用數(shù)列知識(shí)加以證明．[解]類似結(jié)論如下：在等比數(shù)列{bn}中，如果m，n，p，r∈N＋，且m＋n＋p＝3r，那么必有bmbnbp＝beq\o\al(3,r).證明如下：設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則bm＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，bp＝b1qp－1，br＝b1qr－1，于是bmbnbp＝b1qm－1·b1qn－1·b1qp－1＝beq\o\al(3,1)qm＋n＋p－3＝beq\o\al(3,1)q3r－3＝(b1qr－1)3＝beq\o\al(3,r)，故結(jié)論成立．類比推理在幾何中的應(yīng)用【例2】如圖所示，在平面上，設(shè)ha，hb，hc分別是△ABC三條邊上的高，P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa，pb，pc，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝1．證明此結(jié)論，通過類比寫出在空間中的類似結(jié)論，并加以證明．思路探究：三角形類比四面體，三角形的邊類比四面體的面，三角形邊上的高類比四面體以某一面為底面的高．[解]eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,2)BC·pa,\f(1,2)BC·ha)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(S△PAC,S△ABC)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PAB,S△ABC).∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PBC＋S△PAC＋S△PAB,S△ABC)＝1．類比上述結(jié)論得出以下結(jié)論：如圖所示，在四面體ABCD中，設(shè)ha，hb，hc，hd分別是該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)到對面的距離，P為該四面體內(nèi)任意一點(diǎn)，P到相應(yīng)四個(gè)面的距離分別為pa，pb，pc，pd，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝1．證明：eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·pa,\f(1,3)S△BCD·ha)＝eq\f(VP-BCD,VA-BCD)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(VP-ACD,VA-BCD)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(VP-ABD,VA-BCD)，eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP-ABC,VA-BCD).∵VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC＝VA-BCD，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC,VA-BCD)＝1．1．在本例中，若△ABC的邊長分別為a，b，c，其對角分別為A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cosB可類比四面體的什么性質(zhì)？[解]在如圖所示的四面體中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大?。孪隨＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.2．在本例中，若r為三角形的內(nèi)切圓半徑，則S△＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，請類比出四面體的有關(guān)相似性質(zhì)．[解]四面體的體積為V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(r為四面體內(nèi)切球的半徑，S1，S2，S3，S4為四面體的四個(gè)面的面積．1．平面圖形與空間圖形類比平面圖形點(diǎn)線邊長面積線線角三角形空間圖形線面面積體積二面角四面體2．類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的結(jié)論．類比推理在其他問題中的應(yīng)用[探究問題]1．魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的．因此，它們在形狀上也應(yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的．你認(rèn)為該過程為歸納推理還是類比推理？[提示]類比推理．2．已知以下過程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因?yàn)?n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n,2)＝eq\f(nn＋1,2).類比以上過程試求12＋22＋32＋…＋n2的和．[提示]因?yàn)?n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n3＋3n2＋3n－\f(3n2＋5n,2)))＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)＝eq\f(nn＋12n＋1,6).【例3】已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值，試寫出雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明．思路探究：eq\x(雙曲線與橢圓類比)→eq\x(橢圓中的結(jié)論)→eq\x(雙曲線中的相應(yīng)結(jié)論)→eq\x(理論證明)[解]類似性質(zhì)：若M，N為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．證明如下：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則N(－m，－n)．因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)是雙曲線上的點(diǎn)，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2．同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，則kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．1．兩類事物能進(jìn)行類比推理的關(guān)鍵是兩類對象在某些方面具備相似特征．2．進(jìn)行類比推理時(shí)，首先，找出兩類對象之間可以確切表達(dá)的相似特征．然后，用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得到一個(gè)猜想．2．我們知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，將以上各式的左右兩邊分別相加，整理得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2).類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達(dá)式的過程．[解]已知：13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1，將以上各式的左右兩邊分別相加，得(13＋23＋…＋n3)＝[13＋23＋…＋(n－1)3]＋3[12＋22＋…＋(n－1)2]＋3[1＋2＋…＋(n－1)]＋n，整理得n3＝3(12＋22＋…＋n2)－3n2＋3[1＋2＋…＋(n－1)]＋n，將1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2)代入整理可得12＋22＋…＋n2＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)，即12＋22＋…＋n2＝eq\f(n2n＋1n＋1,6).1．類