數(shù)學(xué)教案 北師大版選修2-2 同步備課-第1章 推理與證明學(xué)案第1節(jié)歸納與類比

PAGE第1頁共5頁§1歸納與類比1.1歸納推理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解歸納推理的含義，能利用歸納推理進(jìn)行簡單的推理．(重點)2．了解歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用．(難點)1．通過歸納推理概念的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．通過歸納推理的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).1．歸納推理的定義根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個事物都有這種屬性，這種推理方式稱為歸納推理．2．歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理．思考：由歸納推理得到的結(jié)論一定是正確的嗎？[提示]不一定正確．因為歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理，其結(jié)論還需要證明其正確性．1．下列關(guān)于歸納推理的說法錯誤的是()①歸納推理是由一般到一般的推理過程；②歸納推理是一種由特殊到特殊的推理；③歸納推理得出的結(jié)論具有或然性，不一定正確；④歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識功能．A．①② B．②③C．①③ D．③④A[歸納推理是由特殊到一般的推理，故①②不正確，易知③④均正確，故選A.]2．若空間中n個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值()A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B[n＝2時，可以；n＝3時，為正三角形，可以；n＝4時，為正四面體，可以；n＝5時，為四棱錐，側(cè)面為正三角形，底面為菱形且對角線長與邊長相等，不可能．]3．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，……的子集個數(shù)歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個數(shù)為________．2n[集合{a1}有兩個子集和{a1}，集合{a1，a2}的子集有，{a1}，{a2}，{a1，a2}共4個子集，集合{a1，a2，a3}有8個子集，由此可歸納出集合{a1，a2，a3，…，an}的子集個數(shù)為2n個．]數(shù)式中的歸納推理【例1】(1)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，……，則a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199(2)已知f(x)＝eq\f(x,1－x)，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N＋)，則f3(x)的表達(dá)式為________，猜想fn(x)(n∈N＋)的表達(dá)式為________．思路探究：(1)記an＋bn＝f(n)，觀察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之間的關(guān)系，再歸納得出結(jié)論．(2)寫出前幾項發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納猜想結(jié)果．(1)C(2)f3(x)＝eq\f(x,1－4x)fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x)[(1)記an＋bn＝f(n)，則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.(2)f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,1－x)，f2(x)＝f1(f1(x))＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)，f3(x)＝f2(f2(x))＝eq\f(\f(x,1－2x),1－2·\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－4x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表達(dá)式，歸納fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x).]已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法1．要特別注意所給幾個等式(或不等式)中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；2．要特別注意所給幾個等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；3．提煉出等式(或不等式)的綜合特點；4．運用歸納推理得出一般結(jié)論．1．經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，……根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個對正實數(shù)a，b都成立的條件不等式：________.當(dāng)a＋b＝20時，有eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10)，a，b∈R＋[從上面幾個不等式可知，左邊被開方數(shù)的和均為20，故可以歸納為a＋b＝20時，eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10).]數(shù)列中的歸納推理【例2】(1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)，則a2019等于()A．2 B．－eq\f(1,2)C．－2 D．1(2)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖：由于圖中1,3,6,10這些數(shù)能夠表示成三角形，故被稱為三角形數(shù)，試結(jié)合組成三角形數(shù)的特點，歸納第n個三角形數(shù)的石子個數(shù)．思路探究：(1)寫出數(shù)列的前幾項，再利用數(shù)列的周期性解答．(2)可根據(jù)圖中點的分布規(guī)律歸納出三角形數(shù)的形成規(guī)律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形數(shù)與n的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而歸納出第n個三角形數(shù)．C[(1)a1＝1，a2＝－eq\f(1,2)，a3＝－2，a4＝1，…，數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，2019＝673×3，∴a2019＝a3＝－2．](2)[解]法一：由1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，可歸納出第n個三角形數(shù)為1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).法二：觀察項數(shù)與對應(yīng)項的關(guān)系特點如下：項數(shù)1234對應(yīng)項eq\f(1×2,2)eq\f(2×3,2)eq\f(3×4,2)eq\f(4×5,2)分析：各項的分母均為2，分子分別為相應(yīng)項數(shù)與相應(yīng)項數(shù)加1的積．歸納：第n個三角形數(shù)的石子數(shù)應(yīng)為eq\f(nn＋1,2).數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項公式或前n項和．(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項或前幾項和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項或前幾項和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；(3)運用歸納推理寫出數(shù)列的通項公式或前n項和公式．2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．(1)求a2，a3，a4，a5；(2)歸納猜想通項公式an.[解](1)當(dāng)n＝1時，知a1＝1，由an＋1＝2an＋1，得a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31．(2)由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，可歸納猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．幾何圖形中的歸納推理[探究問題]1．某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有一層，就一個球；第2,3,4，…堆最底層(第一層)分別按如圖所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，試求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示]觀察圖形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20.2．上述問題中，試用n表示出f(n)的表達(dá)式．[提示]由題意可得：下一堆的個數(shù)是上一堆個數(shù)加下一堆第一層的個數(shù)，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n－1)＋eq\f(nn＋1,2).將以上(n－1)個式子相加可得f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)[(12＋22＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)]＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)nn＋12n＋1＋\f(nn＋1,2)))＝eq\f(nn＋1n＋2,6).【例3】有兩種花色的正六邊形地面磚，按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是()A．26 B．31C．32 D．36思路探究：解答本題可先通過觀察、分析找到規(guī)律，再利用歸納得到結(jié)論．B[法一：有菱形紋的正六邊形個數(shù)如下表：圖案123…個數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項，以5為公差的等差數(shù)列，所以第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)是6＋5×(6－1)＝31．法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6個有紋正六邊形圍繞(圖案1)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每兩塊相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第6個圖案中有菱形紋的正六邊形的個數(shù)為：6＋5×(6－1)＝31．]在題干不變的條件下，第6個圖案中周圍的邊有多少條？[解]各個圖形周圍的邊的條數(shù)如下表：圖案123…邊條數(shù)182634…由表可知，周圍邊的條數(shù)依次組成一個以18為首項，8為公差的等差數(shù)列，解得第6個圖形周圍的邊的條數(shù)為18＋8×(6－1)＝58條．歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理．解答該類問題的一般策略是：3．根據(jù)圖中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個圖形中線段的條數(shù)為________．509[分別求出前4個圖形中線段的數(shù)目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出猜想．圖形①到④中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29，因為1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8個圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為28＋1－3＝509.]1．歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理．(1)由歸納推理得到的結(jié)論帶有猜測的性質(zhì)，所以“前提真而結(jié)論假”的情況是有可能發(fā)生的，結(jié)論是否正確，需要經(jīng)過理論證明或?qū)嵺`檢驗，因此，歸納推理不能作為數(shù)學(xué)證明的工具．(2)一般地，如果歸納的個別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題就越可能為真．(3)歸納推理能夠發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論，是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段．通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題．2．歸納推理的思維過程大致是：實驗、觀察→概括、推廣→猜測一般性結(jié)論．該過程包括兩個步驟：(1)通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題(猜想)．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)統(tǒng)計學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，這種估計屬于歸納推理． ()(2)由個別到一般的推理稱為歸納推理． ()(3)由歸納推理所得到的結(jié)論一定是正確的． ()[答案](1)√(2)√(3)×2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2C[a1＝8，a2＝14，a3＝20，猜想an＝6n＋2．]3．已知12＝eq\f(1,6)×1×2×3,12＋22＝eq\f(1,6)×2×3×5,12＋22＋32＝eq\f(1,6)×3×4×7,12＋22＋34＋42＝eq\f(1,6)×4×5×9，則12＋22＋…＋n2＝________.(其中n∈N*)．eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)[根據(jù)題意歸納出12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，下面給出證明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，則23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．]4．有以下三個不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2，(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2，(202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．請你觀察這三個不等式，猜想出一個一般性的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．[解]結(jié)論為：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．證明：(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋b2d2＋2abcd)＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．

1.2類比推理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．通過具體實例理解類比推理的意義．(重點)2．會用類比推理對具體問題作出判斷．(難點)1．通過類比推理的意義的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．通過應(yīng)用類比推理對具體問題判斷的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).1．類比推理由于兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理．類比推理是兩類事物特征之間的推理．2．合情推理合情推理是根據(jù)實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺、已有的事實和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式．合情推理的結(jié)果不一定正確．思考：合情推理的結(jié)果為什么不一定正確？[提示]合情推理是由特殊到一般的推理，簡單地說就是直接看出來的，沒有通過證明，只歸納了一部分，屬于不完全歸納，所以不一定正確．1．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?)A．“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”C[由實數(shù)運算的知識易得C項正確．]2．下列推理是合情推理的是()(1)由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；(2)由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；(3)a≥b，b≥c，則a≥c；(4)三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸n邊形內(nèi)角和是(n－2)×180°.A．(1)(2) B．(1)(3)(4)C．(1)(2)(4) D．(2)(4)C[(1)為類比推理，(2)(4)為歸納推理，(3)不是合情推理，故選C.]3．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖莀_______．(填序號)①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等．①②③[正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對．]類比推理在數(shù)列中的應(yīng)用【例1】在公比為4的等比數(shù)列{bn}中，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項積，則有eq\f(T20,T10)，eq\f(T30,T20)，eq\f(T40,T30)也成等比數(shù)列，且公比為4100.類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公差為3的等差數(shù)列{an}中，若Sn是{an}的前n項和．試寫出相應(yīng)的結(jié)論，判斷該結(jié)論是否正確，并加以證明．思路探究：結(jié)合已知等比數(shù)列的特征可類比等差數(shù)列每隔10項和的有關(guān)性質(zhì)．[解]數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30也是等差數(shù)列，且公差為300.該結(jié)論是正確的．證明如下：∵等差數(shù)列{an}的公差d＝3，∴(S30－S20)－(S20－S10)＝(a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)同理可得：(S40－S30)－(S30－S20)＝300，所以數(shù)列S20－S10，S30－S20，S40－S30是等差數(shù)列，且公差為300.1．本例是由等比類比等差，你能由等差類比出等比結(jié)論嗎？完成下題：設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn(Tn≠0)，則T4，_______，_______，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)[等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．]2．在本例條件不變的情況下，你能寫出一個更為一般的結(jié)論嗎？(不用論證)[解]對于任意k∈N＋，都有數(shù)列S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k是等差數(shù)列，且公差為k2d.1．在等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比推理中，要注意等差與等比、加與乘、減與除、乘法與乘方的類比特點．2．類比推理的思維過程觀察、比較→聯(lián)想、類推→猜測新的結(jié)論．即在兩類不同事物之間進(jìn)行對比，找出若干相同或相似之處后，推測這兩類事物在其他方面的相同或相似之處．1．在等差數(shù)列{an}中，如果m，n，p，r∈N＋，且m＋n＋p＝3r，那么必有am＋an＋ap＝3ar，類比該結(jié)論，寫出在等比數(shù)列{bn}中類似的結(jié)論，并用數(shù)列知識加以證明．[解]類似結(jié)論如下：在等比數(shù)列{bn}中，如果m，n，p，r∈N＋，且m＋n＋p＝3r，那么必有bmbnbp＝beq\o\al(3,r).證明如下：設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則bm＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，bp＝b1qp－1，br＝b1qr－1，于是bmbnbp＝b1qm－1·b1qn－1·b1qp－1＝beq\o\al(3,1)qm＋n＋p－3＝beq\o\al(3,1)q3r－3＝(b1qr－1)3＝beq\o\al(3,r)，故結(jié)論成立．類比推理在幾何中的應(yīng)用【例2】如圖所示，在平面上，設(shè)ha，hb，hc分別是△ABC三條邊上的高，P為△ABC內(nèi)任意一點，P到相應(yīng)三邊的距離分別為pa，pb，pc，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝1．證明此結(jié)論，通過類比寫出在空間中的類似結(jié)論，并加以證明．思路探究：三角形類比四面體，三角形的邊類比四面體的面，三角形邊上的高類比四面體以某一面為底面的高．[解]eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,2)BC·pa,\f(1,2)BC·ha)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(S△PAC,S△ABC)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PAB,S△ABC).∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＝eq\f(S△PBC＋S△PAC＋S△PAB,S△ABC)＝1．類比上述結(jié)論得出以下結(jié)論：如圖所示，在四面體ABCD中，設(shè)ha，hb，hc，hd分別是該四面體的四個頂點到對面的距離，P為該四面體內(nèi)任意一點，P到相應(yīng)四個面的距離分別為pa，pb，pc，pd，可以得到結(jié)論eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝1．證明：eq\f(pa,ha)＝eq\f(\f(1,3)S△BCD·pa,\f(1,3)S△BCD·ha)＝eq\f(VP-BCD,VA-BCD)，同理，eq\f(pb,hb)＝eq\f(VP-ACD,VA-BCD)，eq\f(pc,hc)＝eq\f(VP-ABD,VA-BCD)，eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP-ABC,VA-BCD).∵VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC＝VA-BCD，∴eq\f(pa,ha)＋eq\f(pb,hb)＋eq\f(pc,hc)＋eq\f(pd,hd)＝eq\f(VP-BCD＋VP-ACD＋VP-ABD＋VP-ABC,VA-BCD)＝1．1．在本例中，若△ABC的邊長分別為a，b，c，其對角分別為A，B，C，那么由a＝b·cosC＋c·cosB可類比四面體的什么性質(zhì)？[解]在如圖所示的四面體中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大?。孪隨＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.2．在本例中，若r為三角形的內(nèi)切圓半徑，則S△＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，請類比出四面體的有關(guān)相似性質(zhì)．[解]四面體的體積為V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r(r為四面體內(nèi)切球的半徑，S1，S2，S3，S4為四面體的四個面的面積．1．平面圖形與空間圖形類比平面圖形點線邊長面積線線角三角形空間圖形線面面積體積二面角四面體2．類比推理的一般步驟(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性；(2)用一類事物的性質(zhì)推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的結(jié)論．類比推理在其他問題中的應(yīng)用[探究問題]1．魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們在功能上是類似的．因此，它們在形狀上也應(yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的．你認(rèn)為該過程為歸納推理還是類比推理？[提示]類比推理．2．已知以下過程可以求1＋2＋3＋…＋n的和．因為(n＋1)2－n2＝2n＋1，n2－(n－1)2＝2(n－1)＋1，……22－12＝2×1＋1，有(n＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n，所以1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n2＋2n－n,2)＝eq\f(nn＋1,2).類比以上過程試求12＋22＋32＋…＋n2的和．[提示]因為(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，n3－(n－1)3＝3(n－1)2＋3(n－1)＋1，……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，所以12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n3＋3n2＋3n－\f(3n2＋5n,2)))＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)＝eq\f(nn＋12n＋1,6).【例3】已知橢圓具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值，試寫出雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明．思路探究：eq\x(雙曲線與橢圓類比)→eq\x(橢圓中的結(jié)論)→eq\x(雙曲線中的相應(yīng)結(jié)論)→eq\x(理論證明)[解]類似性質(zhì)：若M，N為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率kPM，kPN都存在時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值．證明如下：設(shè)點M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則N(－m，－n)．因為點M(m，n)是雙曲線上的點，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2．同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2，則kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．1．兩類事物能進(jìn)行類比推理的關(guān)鍵是兩類對象在某些方面具備相似特征．2．進(jìn)行類比推理時，首先，找出兩類對象之間可以確切表達(dá)的相似特征．然后，用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得到一個猜想．2．我們知道：12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，將以上各式的左右兩邊分別相加，整理得n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n，所以1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2).類比上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表達(dá)式的過程．[解]已知：13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，……n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1，將以上各式的左右兩邊分別相加，得(13＋23＋…＋n3)＝[13＋23＋…＋(n－1)3]＋3[12＋22＋…＋(n－1)2]＋3[1＋2＋…＋(n－1)]＋n，整理得n3＝3(12＋22＋…＋n2)－3n2＋3[1＋2＋…＋(n－1)]＋n，將1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2)代入整理可得12＋22＋…＋n2＝eq\f(2n3＋3n2＋n,6)，即12＋22＋…＋n2＝eq\f(n2n＋1n＋1,6).1．類