大學(xué)數(shù)學(xué)-實變函數(shù)教案講義

PAGE大學(xué)數(shù)學(xué)-實變函數(shù)教案講義第一章集合一、學(xué)習(xí)內(nèi)容1.集合的概念，集合的表示方法、集合的運算（并、交、差、補）以及集合列的上極限與下極限和極限的運算。2．集合對等的概念與伯恩斯坦定理。3.集合基數(shù)的概念，并理解可數(shù)基數(shù)和連續(xù)基數(shù)。二、學(xué)習(xí)要求1.必須準確熟練地掌握集合的運算法則，特別要注意集合運算既有和代數(shù)運算在形式上有許多類似的公式，但也有許多本質(zhì)不同的公式。學(xué)習(xí)時千萬不要不加證明地把代數(shù)恒等式搬到集合運算中來。2.可數(shù)集是所有無限集中基數(shù)最小的無限集，這一點很關(guān)鍵。所以從一無限集中去掉一個可數(shù)子集后，若剩下的仍為無限集，則剩下的無限集的基數(shù)與原無限集的基數(shù)相等。類似的，無限集并上一個可數(shù)集后，其基數(shù)也不變。3.學(xué)習(xí)本書中的概念既要從肯定方面又要從否定方面加以考慮，并能在此基礎(chǔ)上總結(jié)出論證某些問題的基本思路與方法。4.一列集合的上極限、下極限及極限是用集合運算來解決分析中許多問題的基礎(chǔ)，應(yīng)該很好的掌握。5.證明集合A與B對等的基本方法有三種：（1）根據(jù)對等的定義，直接構(gòu)造兩集間的1-1對應(yīng)；（2）利用對等的傳遞性，及欲證A~C，此時已知A~B，于是只需證明B~C即可；（3）利用伯恩斯坦定理，即欲證A~B，只要證A與B各與對方一子集對等即可。6.證明一集合A的基數(shù)為c時常常用到區(qū)間、、的基數(shù)為c，也常常設(shè)法把A與p進位無窮小對等。三、例題解析例1證明證法一先證明左式右式，設(shè),則或，若，則對一切，有，所以;若，則由，可得對任何，有,所以。因此，因而左式右式。再證右式左式，設(shè)，則對任何，都有，因此或。若，則；若，則對任何成立，所以，即右式左式。綜上得結(jié)論成立。證法二由德摩根公式得所以設(shè)有集合A,B和C，試證明：若（A\B）~（B\A），則A~B；若AB且A~(A)，則B~(B)證明（1）因,，，所以（2）因，所以，另一方面，，并且，，再由及條件，有，又因,所以B~(B)證畢。作出實數(shù)全體與無理數(shù)全體間的1—1映射。解：在R中取出可數(shù)子集，則也是可數(shù)集，其中表示有理數(shù)全體，所以，因而存在到上的1—1映射，例如，設(shè)，則可取，，則是到上的1—1映射，令則是到上的1—1映射。四、練習(xí)題1．證明：=2．證明：3．