2021年中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力高考數(shù)學(xué)診斷性試卷（文科）（一卷）（3月份）（附答案詳解）

2021年中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力高考數(shù)學(xué)診斷性試卷（文科）

（一卷）（3月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4={x|%2—5x+6W0},B~（x\y=log2（x-2）},則4nB=（）

A.（2,6）B.（2,6]C.（2,3]D.[2,3]

2.設(shè)“，6表示兩條不同的直線，￡表示平面，則下列命題正確的是（）

A.若a〃口，a//b,則b〃/?B.若。〃0,b//p,則a〃b

C.若￡1_1_0,alb,則b〃￡口.若（11￡,a//b,則8_L/?

3.已知某圓柱的正視圖是邊長為4的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.167TB.207rC.24兀D.40TT

4.已知復(fù)數(shù)Zi=l+i,Z2=f^a為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)Z2的模為（）

A.1B.V2C.V3D.4

5.某三棱錐的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該三棱

錐最長的棱長和體積分別為（）i

正視圖側(cè)視圖

A.a!

B.陰

_7F視圖

C.V6,|

D.歷*

D

6.等比數(shù)列5}的各項均為實數(shù)，其前〃項和為無，已知$3=14,56=中，則=（）

A.2B.\C.4D.

24

7.已知/⑶=sin（a）x+</?）+cosQx+<p},a>>0,\（p\<^,/（x）是奇函數(shù)，直線y=

-近與函數(shù)/（x）的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為（貝女）

A./⑶在（0由上單調(diào)遞減B./⑶在邑當(dāng)上單調(diào)遞減

十oO

C./（X）在（0,9上單調(diào)遞增D./。）在譚,1）上單調(diào)遞增

4oo

8.已知正實數(shù)小b,。滿足2a+b=l,abc4-1=2c,則c的最大值為（）

A.B.|C.￡D.2

9.若函數(shù)/（%）=/在區(qū)間口句上的值域為也t+l]（teR）,則b-a（）

A.有最大值，但無最小值B.既有最大值，也有最小值

C.無最大值，但有最小值D.既無最大值，也無最小值

10.下列函數(shù)圖象中，不可能是函數(shù)/0）=%4.005%（。64|例式2）的圖象的是（）

11.已知向量五滿足|中=3,設(shè)X={?|國=2巨一曲，丫={刃刃=：國,<禮少〉

=pxex）,若記ex,n&Y,則I記一記I的最大值為（）

A.西一1B,V5+1C.2V5-3D.2V5+3

12.已知直線/：y=x+2,若橢圓C：捺+y2=>1）的點到直線/的距離的最大

值與最小值之和為2a，則橢圓C的離心率范圍是（）

A.（0凈B.（當(dāng),1）C.（0凈D.俘,1]

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知a=Iog3108,3b=I，則a+b=.

14.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為2,則輸出

的左值為.

第2頁，共22頁

15.在△ABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a",c,。為邊8c上的一點，若c=6,

b=3V2>sinZ-BAD——>cos/.BAC——>則4。=.

44

16.已知雙曲線C：捻一3=1(。>°，匕>°)，&，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點,

尸為右支上一點(yp*0),在線段Pa上取“APF/z的周長中點”M,滿足|MP|+

\PF2\=IMF/+\F^F2\,同理可在線段P4上也取“△PF*?的周長中點”^若公

PMN的面積最大值為1,則6=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.正項數(shù)列8工的前n項和5n滿足2店=an+l.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

2O

(2)設(shè)“=；■『，數(shù)列｛%｝的前“項和為B"，求證：Bn<|.

an,an+23

18.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A8C￡＞是直角梯形，

AD//BC,^ABC=/.DAB=90°,BC=2AB=2AD=

2,平面PC。，平面ABCD.

B

(1)證明：BD1平面尸CO；

(2)若PD=PC=&，求三棱錐B-ACP的體積.

19.學(xué)校為方便學(xué)生聯(lián)系家長，在教學(xué)樓樓下設(shè)了一個公共電話亭，學(xué)生依次排隊打電

話.假設(shè)學(xué)生打電話所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往學(xué)生打電話所

需的時間統(tǒng)計結(jié)果如表：

打電話所

需的時間/12345

分

頻率0.20.40.250.10.05

從第一個學(xué)生開始打電話時計時.

(1)估計第四個學(xué)生恰好等待5分鐘開始打電話的概率：

(2)y表示至第3分鐘末已打完電話的學(xué)生人數(shù)，求y的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.已知拋物線C：y2=4x,A為拋物線C上第一象限內(nèi)的一點，且在直線x=2的右

側(cè)，已知點以2,0),點B(-2,0).連接BA交拋物線C于點D

(1)若前=：用，求A點的坐標(biāo)；

(2)設(shè)的中點為N,且|MN|N]4D|,求A/IOM面積的最大值.

第4頁，共22頁

21.已知函數(shù)/(%)=QX?伍x(其中QH0,aG/?),5(x)=-.

(1)若存在實數(shù)a使得/(%)<m亙成立，求a的取值范圍；

(2)當(dāng)a<凱寸，討論函數(shù)y=/(x)-g(x)的零點個數(shù).

22.已知直線J巨丸片a?為參數(shù))，圓］；;然：(。為參數(shù))

(1)當(dāng)a=*時，求Ci與。2的交點坐標(biāo)；

(2)過坐標(biāo)原點。作G的垂線，垂足為4,P為OA的中點，當(dāng)a變化時，求P點軌

跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.

23.已知a,b,c是正數(shù)，且滿足a+b+c=3,求證:

(l)a2+b2+c2>3>ab+be+ac；

(2)^+-+->3.

、'bca

第6頁，共22頁

答案和解析

1.【答案】C

2

【解析】解：根據(jù)題意，集合4={x\x-5x4-6<0}=[2,3],B=(x\y=log2(x-2)}=

(2,+oo),

則anB=(2,3]；

故選：C.

根據(jù)題意，求出集合A、B,由集合交集的定義計算可得答案.

本題考查集合交集的計算，關(guān)鍵是理解集合交集的定義.

2.【答案】D

【解析】解：對于A,若a〃0,a〃b,則或bu/?,故A錯誤；

對于B,若a〃0,b///3,則a〃?；颉埃讼嘟?，或a,6異面，故B錯誤；

對于C,若a1￡,aLb,貝防〃夕或bu0,故C錯誤；

對于。，若…,a//b,由線面垂直的性質(zhì)定理可得bl小故。正確.

故選：

由線面平行的性質(zhì)和線面的位置關(guān)系，可判斷4由線面平行的性質(zhì)和線線的位置關(guān)系,

可判斷8；由線面垂直的性質(zhì)和線面的位置關(guān)系，可判斷C：由線面垂直的性質(zhì)定理,

可判斷。.

本題考查線線和線面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查推理能力，屬

于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因為圓柱的正視圖是邊長為4的正方形，

所以圓柱的底面半徑r=2,高九=4,

故該圓柱的表面積為S=2nrh+2nr2-24兀.

故選：C.

利用正視圖，得到圓柱的底面半徑以及圓柱的高，然后利用全面積公式求解即可.

本題考查了三視圖的應(yīng)用，圓柱的表面積的求解，圓柱的側(cè)面積公式的應(yīng)用，考查了邏

輯推理能力、空間想象能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：1??Zi=1+i,

_Zj+i_l+2i_(l+2i)(2+i)_5i_.

，

"22==T7=(2-i)(2+0=T=l

22

\z2\=Vo+I=1-

故選：A.

根據(jù)已知條件，運用復(fù)數(shù)的運算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算，以及復(fù)數(shù)模的公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬

于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為底面為等邊三角形的三

棱錐體.

如圖所示：

所以：BD—2,BC-DC-V22+1-V5>AD=AB=V5+1=V6，AC=1.

%-sc。=|x|x2x2xl=|.

故選：C.

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體的直觀圖，進(jìn)一步求出幾何體的棱長和體積.

本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的直觀圖之間的轉(zhuǎn)換，幾何體的棱長的求法，三

棱錐的體積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

第8頁，共22頁

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為4，

若S3=14,S6=箏則qH1,

ai(l_q6)$

則有白端=逐=1+/=|，解可得q/

i-q

7__

又由S3=14,即S3=Q1+。2+。3=-^1=14,解可得%=8,

則。5=a"=8乂2=

故選：B,

根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q，由等比數(shù)列的前〃項和公式可得自=1+q3=：

解可得q的值，又由S3=%+。2+。3==14,解可得的的值，由等比數(shù)列的通項

公式計算可得答案.

本題考查等比數(shù)列的求和，涉及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解："/(X)=sin(wx+8)+cos(cox+9)=V2sin(cox++7).>0,\(p\<7,

4N

f(%)是奇函數(shù)，

：?+(p+三=kn,k￡Z,???(P=—%/(%)=\[2sina)x-

直線y=—或，—魚為/(%)得最小值，

直線y=-2與函數(shù)/(%)的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為詈=pA3=

4,

故/(%)=y/2sin4x-

在(0中上，4x6(0,7r),函數(shù)/(%)=&s勿以沒有單調(diào)性，故A、C錯誤；

在G，9上，4xe(py),函數(shù)/(%)=岳譏4x單調(diào)遞減，故8正確、力錯誤，

故選:B.

由題意利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求出函數(shù)的解析式，從而得出結(jié)論.

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意得b=l-2訪0<a<|,

代入到abc4-1=2c得(1—2a)ac+1=2c,

1181a

整理得c=赤石=2(加獷+卷《6,即a=；時，C取得最大值自

故選：C.

先由已知整理出c,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.

本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

2

【解析】解：由題意知a<b當(dāng)ab<0時，t=0,則b?<i,a<1,即b<1,a>-1,

所以0Vb—Q42,則b—a有最大值；

當(dāng)ab>0時，不妨設(shè)OvaVb,則62-。2=1,所以人一。二」工，顯然b-Q有最大值

a+b

無最小值，

故選：A.

根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與“，人的位置關(guān)系，可知對訪進(jìn)行分類討論，進(jìn)而確定函數(shù)在

[a,句上取得的值域，進(jìn)而確定b-a的范圍.

本題考查了二次函數(shù)的綜合問題以及不等式的性質(zhì)，根據(jù)單調(diào)性求區(qū)間上的最值，二次

函數(shù)在軸定區(qū)間動狀態(tài)下的最值求法，但是難度不大.

io.【答案】c

【解析】解：,??aGZ,|a|W2,二a的可能取值為-2,-1,0,1,2,

(1)當(dāng)a=-2,0,2時，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，可能與選項B對應(yīng)；

(2)當(dāng)。=一1,1時，函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，可能與選項A、C和。對應(yīng)；

若a=l,則/(x)=x?cosx,定義域為R,可能與選項A對應(yīng)，

若a=-l,則/(x)=/cosx,定義域為｛x|xHO),對應(yīng)著選項C和￡>,

而當(dāng)0<x<]時，/(x)>0,與選項C不符.

故選：C.

第10頁，共22頁

a的可能取值為—2,-1,0,1,2,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性，將a的取值分成。=-2,0,

2和a=-l,1兩種情況，然后考慮函數(shù)的定義域或特殊點處的函數(shù)值即可作出選擇.

本題考查函數(shù)圖象的識別，一般可從函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性或特殊點處的函數(shù)值等方面

著手思考，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】D

【解析】解：由題意，不妨設(shè)方=(3,0),x=OA=(xpyD

因為I幻=2反一五I，所以I引2=4|三-磯2,

所以好+yf=4Kxi_3)2],整理得Q]-4)2+比=4,

則做與,％)在以M(4,0)為圓心，半徑巳=2的圓上，

設(shè)歹=OB=(x2,y2)>

因為(三廳>=],所以K1=X62+=0，

又I歹1=4國,則靖+禿=：(好+及),

所以可喊1二字'喊1:2舞,

將:螳2,代入(/一4)2+資=4,得好+(y2+2)2=1,

則8(孫乃)在以N(0,-2)為圓心,半徑-=1的圓上,

因為沆6X,n&Y,所以|沆一元|=|布-而|=|瓦？|

則可得|而\max=\MN\=q+七=2b+3，

\BA\maX=\MN\+ri+r2=2V5+3

同理，若代入另外一組解，由于對稱性，可得最大值也為2通+3,

所以|沆-利的最大

值為2有+3.

故選：D.

設(shè)出向量五的坐標(biāo)，

得出x和y的軌跡為

圓，兩圓心距離加上

兩圓的半徑，即為

I訪-利的最大值.

本題考查向量的有關(guān)計算，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及兩圓上點的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用

向量的坐標(biāo)運算，解得兩圓的圓心和半徑，屬中檔題.

12.【答案】A

(y=x+2

22

【解析】解：聯(lián)立|立+2_］可得(1+a)%+4a2%+3a2=0,

IQ2)

因為直線/與橢圓C相離或相切，所以△=16a4-12a2(1+a2)<0,

1<a2<3設(shè)橢圓上任意一點P(acosJ,sin。)，則點到直線/的距離d=叵竺等幽=

|Va2+lsin(0+a)+2|

”的最小值、最大值分別為：上誓，區(qū)萼，

x/2V2

滿足最大值與最小值之和為2企，

1<a2<3,

e=EI=6le(0凈.

故選：A.

fy=%+2

聯(lián)立爐1利用△=16d—12Q2(I+Q2)WO,求得。的范圍，再驗證是否符合題

Q+y=i

意，從而利用e=J1-人=J1一P求解.

本題考查了直線與橢圓位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想、計算能力，屬于中檔題.

13.【答案】4

【解析】解：a=log3108,b=log3^,

4

3

???Q+b=/O53(108x-)=log381=4.

故答案為:4.

可求出b=log3^,然后進(jìn)行對數(shù)的運算即可求出a+b的值.

本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】2

第12頁，共22頁

【解析】解：模擬程序的運行，可得

a=2,/c=0,b=2

i

a="?

不滿足條件a=b,執(zhí)行循環(huán)體，k=l,a=—|

不滿足條件a=b,執(zhí)行循環(huán)體，fc=2,a=2

滿足條件。=心退出循環(huán)，輸出左的值為2.

故答案為：2.

由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量A的值，模擬

程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的

結(jié)論，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】4

【解析】解：由余弦定理知：a=加+c2-2bccos1cBAC=

J18+36-2x3^x6Xy=6=c>

所以△48c是等腰三角形，即NB4C=4C,

設(shè)CO=%,則8。=6—x,AD=y,

在44DC中，由余弦定理可知：4。2=AC2+CD2-2AC?DC.coszC,即y2=18+%2一

2x3A/2X%X^=X2—3X+18①，

因為cosz_BAC=—,

4

所以sinz_B4C=-金小!/=|l--=—,

\84

所以有sinB=sin(7r—24BAC)=sin2z.BAC=2sinZ.BAC-cosZ-BAC=2x岸又當(dāng)=

77

--,

4

因此有sinB=smLBAD=—，

4

在AADB中，由正弦弦定理可知：BD=AD,可得y=6-x,可得x=6-y②，

把②代入①得,y2=(6-y)2-3(6-y)+18,解得y=4,即4。=4.

故答案為：4

根據(jù)余弦定理可以求出a的值，可以判斷出△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性

質(zhì)，結(jié)合余弦定理、正弦定理、同角的三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角的正弦公式進(jìn)行求解即

可.

本題主要考查了余弦定理，正弦定理，同角的三角函數(shù)關(guān)系式，二倍角的正弦公式在解

三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16.【答案】V2

【解析】解：由題意作出圖形,

設(shè)雙曲線的焦距為2c,

因為|MP|+|P芻|=|MFI|+|F/2|,

|NP|+|PFi|=|NF2|+|&F2|,

所以|MP|-|NP|=|PF/-\PF2\=2a,\MFr\=\NF2\,

所以|MP|+|NP|=I&F2I=2c,

所以|MP|=a+c,\NP\=c-a,

所以當(dāng)NMPN=90。時，APMN的面積取最大值，

所以(SAPMN)min=1-\MP\-\NP\=.(c2—a2)=”2=1,

所以b=V2,

故答案為：V2.

由題意結(jié)合雙曲線的定義可得|MP|=a+c,\NP\=c-a,進(jìn)而可得；?(c2-a2)=1,

即可解得答案.

本題考查雙曲線的性質(zhì)，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

2

17.(答案］⑴解:由2^^=an+1,得4sH=(an+I)…①

2

???當(dāng)n>2時，4Sn_i=(an-i+I)…②

①一②得4a；,=W+2an—an-i—2an^,

第14頁，共22頁

即(@n+an-l)(an-an-l_2)=0,

,?,正項數(shù)列｛即｝,.?.a九+a71T>0,?,.Qn-an-i-ZuO,

—an-l=2,

由4sl=(%+1)2可得的=1,

??.數(shù)列｛Qn｝是以1為首項、2為公差的等差數(shù)列，

???Q九=1+2(幾—1)=2幾—1；

22111

(2)證明：%—an.an+2—(2n-l)(2n+3)—2Qn-l2n+3)'

nI,"1,11,11,,11,11.

n2v537592n-32n+l2n-l2n+3

=-1/(4-----1--------1-、)<一2

2k32n+l2n+3y3*

【解析】(1)用4S“-4s時［可解決此問題；

(2)用裂項法可解決此問題.

本題考查等差等比數(shù)列通項公式、裂項法求和，考查數(shù)學(xué)運算能力及推理能力，屬于中

檔題.

18.【答案】(1)證明：因為四棱錐P-4BC。的底面ABCD是直角梯形，AD//BC,/.ABC=

Z.DAB=90°,

BC=2AB=2AD=2,所以BD=\/AB2+AD2=V2.DC=V2,

可得：BD2+CD2=BC2,所以B。J.DC,又因為平面PCO_L平面A8C￡),

且平面PCDC平面力BCD=CD,乂BDu平面ABCD,

所以BDJL平面PCD.

(2)解：因為PO=PC=&,取CQ的中點。，連接尸。，

則由(1)知DC=&，則APDC為等邊三角形，所以P。ICO,

又因為平面PCD_L平面ABCD,POu平面PCD,且平面PCDn平面力BCD=CD,

所以P。，平面BC￡>,PO=V2x^=^,

22

所以Vg-ACP=^P-ABC=.SAABC.P。=]X]X1X2X，=，?

【解析】(1)根據(jù)勾股定理可計算BD,CD的長，易證明8D2+CD2=BC2,可得BD1DC,

再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可求證；

(2)由(1)結(jié)合已知條件可判斷APOC為等邊三角形，取C。的中點O,連接產(chǎn)。，易證明

POJL平面BCD,利用％-ACP=KP-ABC=三SAABC,P0即可求解.

本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，兒何體的體積的求法，考查空間想象能力，

轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)X表示學(xué)生打電話所需的時間，用頻率估計概率，得X的分布列

如下：

X12345

P0.20.40.250.10.05

A表示事件“第四個學(xué)生恰好等待5分鐘開始打電話”，則事件A對應(yīng)兩種情形，

①前三位同學(xué)打電話所花時間為1分鐘，1分鐘，3分鐘(不計順序)，

②前三位同學(xué)打電話所花時間為1分鐘，2分鐘，2分鐘(不計順序)，

P(A)=瑪X(0.2)2x0.25+廢x(0.4)2X0.2=0.126.

二估計第四個學(xué)生恰好等待5分鐘開始打電話的概率為0.126.

(2)由題意可得，丫所有可能的取值為0,1,2,3,

r=0對應(yīng)第一個學(xué)生打電話所需的時間超過3分鐘，

???P(y=0)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.05=0.15,

y=i對應(yīng)三種情形，

①第一個學(xué)生打電話所學(xué)的時間為1分鐘且第二個學(xué)生打電話所需的時間超過2分鐘,

②第一個學(xué)生打電話所學(xué)的時間為2分鐘且第二個學(xué)生打電話所需的時間超過1分鐘,

③第一個學(xué)生打電話所需的時間為3分鐘，

P(Y=1)=0.2x(1-0.2-0.4)+0.4x(1-0.2)+0.25=0.65,

Y=2,對應(yīng)兩種情形，

①前兩個學(xué)生打電話所需的時間都為1分鐘，且第三個學(xué)生打電話所學(xué)的時間超過1

分鐘，

②前兩個學(xué)生打電話所所需的時間為1分鐘和2分鐘(不計順序)，

P(Y=2)=0.2x0.2x(1-0.2)+?0.2x0.4=0.192,

第16頁，共22頁

y=3,對應(yīng)前三個學(xué)生打電話所需的時間都為1分鐘,

???P（y=3）=0.23=0.008,

故可得y的分布列：

Y0123

P0.150.650.1920.008

E(Y)=0x0.15+1x0.65+2x0.192+3x0.008=1.058.

【解析】（1）設(shè)X表示學(xué)生打電話所需的時間，用頻率估計概率，得X的分布列，A表

示事件“第四個學(xué)生恰好等待5分鐘開始打電話”，則事件A對應(yīng)兩種情形，分別計算

概率，并求和，即可求解.

（2）由題意可得，丫所有可能的取值為o,1,2,3,分別求出對應(yīng)的概率，即可得丫的

分布列，并結(jié)合期望公式，即可求解.

本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要學(xué)生熟練掌握期望公式,屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：⑴由題意設(shè)點做已26,

由于A為拋物線C上第一象限內(nèi)一點，

所以t>0,

因為點A在直線x=2的右側(cè)，可得t?>2,BPt>V2.

直線BA的方程為y=品Q+2）,

解得％='上y—2,

it'

代入必=4%,

得y2+8=0,

由韋達(dá)定理可得為）?%=8,

所以為5=2t=P

因為前=3瓦?，可得y。=一％）），

所以;=g（2t-：）,解得t=歷，

所以A點坐標(biāo)為（6,2通）.

⑵由⑴知點?；?》，

因為A。的中點為N,且IMNIN^MDI，

則乙4MD<90°,

所以兩?而20-

因為質(zhì)？=?2_2,2t),麗=?-2,5，

從而《2—2)住—2)+2t-^>0,

化簡可得14—8/+4S0,

解得4-2V3<C2<4+2料，

由于t>a，解得&<t<1+V3,

SAADM=SMBM-SABDM=1x4x2t-|x4x^=4t-?=4(t-y),

令/⑷=t-p則f(t)在(夜,1+㈣上單調(diào)遞增,

所以f?max=/(I+b)=1+b一隔=2,

所以，△4MD的面積的最大值為8.

【解析】(1)由題意設(shè)點4(t2,2t),t>0,由于點A在直線x=2的右側(cè)，可得t>企,

寫出直線8A的方程，聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得知?%=8,解得

如，由前=之方，可得=之小一如)，解得。即可得出答案.

(2)由(1)知點。(看,》，由于AD的中點為N,且|MN|2：|4D|,則拓？.而20，進(jìn)而

解得，的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性，解得S“DM=4(，-令的最大值.

本題考查向量與圓錐曲線的關(guān)系，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因為/Q)=ax)x,a二0,

要使得/(%)<9在(0,+8)上恒成立，

所以Q<0,

由/'(%)=a(lnx+1),

由/'(%)=Q("不+1)>0,解得0V%<%

由/'(%)=a(lnx+1)<0,解得%>p

所以=/(》=一%

所以―2<

ee

所以一1<a<0,

第18頁，共22頁

所以。的取值范圍為(一LO).

(2)①當(dāng)a<0時，當(dāng)％W(0,1)時,/(%)>0,g(x)<0,

所以V=f(%)-9(%)恒大于零，

當(dāng)％=1時，y-/(%)-g(x)=0,

令力(乃=/(%)-g(%)，

所以Q<0時，令九(X)在(0,+8)只有1個零點，

②當(dāng)a>0時,令九。)=/(%)-g(x)，

則九(x)=axlnx—14----(%>0),

"(x)=a(Znx+1)-品，h\x)=三+看,

因為x＞0,

所以》'(x)＞0恒成立，

所以/i'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為h(l)=0,當(dāng)/i'(l)=0,即a=：時，

/i'(x)在(0,1)上恒小于零，在(1,+8)上恒大于零，

即八0)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以h(x)＞九(1)=0,y=h(x)在(0,+8)只有1個零點,

若0＜a＜］時，九'(l)=a-；＜0,

由于"(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以h'(x)在(0,1］上恒小于零，八。)在(0刀上單調(diào)遞減,

因為九(1)=0,

所以h(x)在(0,1］上有唯一零點1,

21O

又因為九'(1)=。一之＜0,〃0-1)=2-一一>0,

(eS-1+l)2

所以存在x°e(l,e/i)，使得八'Qo)=0,

由于》(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，/iz(l)=a-1<0,Zi'Qo)=0,

所以h(x)在(1,&)上單調(diào)遞減，在(如+8)上單調(diào)遞增，XoC(l,eh)，

所以九(&)<九(1)=0,

11112

又0<a<；,.>1，%(ea)=ea—1+-p—>0,

2ea+i

所以%o<ea?

結(jié)合九。)在Qo,+8)單調(diào)遞增，九(%)在(1,+8)上有唯一零點,

又無⑴=0,

所以0<a時，八(無)在(0,+8)上有唯一零點，

又因為％(1)=0,

所以0<a<：時，h(x)在(0,+8)上有2個零點，

綜上所述，當(dāng)a<0或a=￡時，/i(x)在(0,+8)只有1個零點,

當(dāng)0<a<：時，九(乃在(0,+8)上有2個零點.

【解析】(1)要使得f(x)<:在(0,+8)上恒成立,推出a<0,求導(dǎo)得f'(x)=a(/nx+1),

令((X)>0,廣(X)<0,解得/(X)的單調(diào)性，進(jìn)而可得/(x)max，只需即

可解得4的取值范圍.

(2)分兩種情況：①當(dāng)a<0時，②當(dāng)a>0時，h(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性，最值，零

點個數(shù)，即可得出答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中注意分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

x=2-I——t

22.【答案】解：⑴當(dāng)a屋7時r，直線％]2,，是參數(shù)，

尹

消去參數(shù)t,得直線G的普通方程為x-by-2=0，

圓二篝(。為參數(shù))，

消去參數(shù)0,得圓C