中考數(shù)學規(guī)律性問題歸納

初中數(shù)學規(guī)律性問題歸納●【教學目標】理解并掌握規(guī)律探究性問題的方法●【重點難點】理解并掌握規(guī)律探究性問題的方法●【基礎(chǔ)知識】專題詮釋規(guī)律探索型題是根據(jù)已知條件或題干所提供的若干特例，通過觀察、類比、歸納，發(fā)現(xiàn)題目所蘊含的數(shù)字或圖形的本質(zhì)規(guī)律與特征的一類探索性問題。這類問題在素材的選取、文字的表述、題型的設(shè)計等方面都比較新穎新。其目的是考查學生收集、分析數(shù)據(jù)，處理信息的能力。所以規(guī)律探索型問題備受命題專家的青睞，逐漸成為中考數(shù)學的熱門考題。解題策略和解法精講規(guī)律探索型問題是指在一定條件下，探索發(fā)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學對象所具有的規(guī)律性或不變性的問題，它往往給出了一組變化了的數(shù)、式子、圖形或條件，要求學生通過閱讀、觀察、分析、猜想來探索規(guī)律．它體現(xiàn)了“特殊到一般”的數(shù)學思想方法，考察了學生的分析、解決問題能力，觀察、聯(lián)想、歸納能力，以及探究能力和創(chuàng)新能力．題型可涉及填空、選擇或解答．?！瘛纠}講解】(一)與數(shù)與式有關(guān)的規(guī)律探究性問題例1一組按規(guī)律排列的式子：－eq\f(b2,a)，eq\f(b5,a2)，－eq\f(b8,a3)，eq\f(b11,a4)，…(ab≠0)，其中第7個式子是________，第n個式子是______________(n為正整數(shù))．[解析]第7個式子是－eq\f(b20,a7)，第n個式子是(－1)neq\f(b3n－1,an).觀察給出的一列數(shù)，發(fā)現(xiàn)這一列數(shù)的分母a的指數(shù)分別是1、2、3、4、…，與這列數(shù)的項數(shù)相同，故第7個式子的分母是a7，第n個式子的分母是an；這一列數(shù)的分子b的指數(shù)分別是2、5、8、11、…，這一組數(shù)首項為2，從第二項起，每一項與它的前一項的差等于3，第n項應(yīng)為2＋3(n－1)＝3n－1.故第7個式子的分子是b3×7－1＝b20，第n個式子的分子是b3n－1；特別要注意的是這列數(shù)字每一項的符號，它們的規(guī)律是奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故第7個式子的符號為負，第n個式子的符號為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))eq\s\up12(n).例2小東玩一種“挪珠子”游戲，根據(jù)挪動珠子的難度不同而得分不同，規(guī)定每次挪動珠子的顆數(shù)與所得分數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表所示：按表中規(guī)律，當所得分數(shù)為71分時，則挪動的珠子數(shù)為________顆；當挪動n顆珠子時(n為大于1的整數(shù)),所得分數(shù)為___________(用含n的代數(shù)式表示)．[解析]從表格中能看出所得分數(shù)為5、11、19、29、41….從上圖中，我們能看出這一組數(shù)的增幅不相等，但是增幅以2的幅度在增加，∴所得分數(shù)是挪動珠子數(shù)的二次函數(shù)．設(shè)挪動n顆珠子時(n為大于1的整數(shù)),所得分數(shù)為yn＝an2＋bn＋c，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝5，,9a＋3b＋c＝11，,16a＋4b＋c＝19，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,c＝－1，))∴yn＝n2＋n－1.令yn＝71，解得n＝8.例3如圖Z2－1為手的示意圖，在各個手指間標記字母A，B，C，D.請你按圖中箭頭所指方向(即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)，從A開始數(shù)連續(xù)的正整數(shù)1，2，3，4，…，當數(shù)到12時，對應(yīng)的字母是_____；當字母C第201次出現(xiàn)時，恰好數(shù)到的數(shù)是______；當字母C第2n＋1次出現(xiàn)時(n為正整數(shù))，恰好數(shù)到的數(shù)是________(用含n的代數(shù)式表示)．[解析]通過對字母觀察可知：前六個字母為一組，后邊就是這組字母反復(fù)出現(xiàn).12除以6剛好余數(shù)為零，則表示這組字母剛好出現(xiàn)兩次，∴最后一個字母應(yīng)該是B.當字母C第201次出現(xiàn)時，由于每組字母中C出現(xiàn)兩次，則這組字母應(yīng)該出現(xiàn)100次后還要加一次C字母出現(xiàn)，而第一個C字母在第三個出現(xiàn)，∴100×6＋3＝603.當字母C第2n＋1次出現(xiàn)時，則這組字母應(yīng)該出現(xiàn)2n次后還要加一次C字母出現(xiàn)，∴應(yīng)該是n×6＋3＝6n＋3.例4如圖Z2－2所示，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，過直角頂點C作CA1⊥AB，垂足為A1，再過A1作A1C1⊥BC，垂足為C1，過C1作C1A2⊥AB，垂足為A2，再過A2作A2C2⊥BC，垂足為C2，…，這樣一直作下去，得到了一組線段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，…，AnCn，則A1C1＝______，AnCn＝__6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2n)______．[解析]在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，利用勾股定理得AB＝10，可由△A1CA∽△CBA計算得CA1＝eq\f(24,5)(也可由Rt△ABC斜邊上的高h＝eq\f(ab,c)求得)，同理可求A1C1＝eq\f(96,25)，AnCn＝6·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2n).例5例5在平面直角坐標系xOy中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點．已知點A(0，4)，點B是x軸正半軸上的整點，記△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點個數(shù)為m.當m＝3時，點B的橫坐標的所有可能值是__________；當點B的橫坐標為4n(n為正整數(shù))時，m＝________(用含n的代數(shù)式表示)．[解析]根據(jù)題意畫出圖形，再找出點B的橫坐標與△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點m之間的關(guān)系．當點B在(3，0)點或(4，0)點時，△AOB內(nèi)部(不包括邊界)的整點為(1，1)(1，2)(2，1)，共三個點，∴當m＝3時，點B的橫坐標的所有可能值是3或4；學生通過在試卷上精確作圖，能夠發(fā)現(xiàn)當n＝1時，點B的橫坐標為4，此時m＝3；當n＝2時，點B的橫坐標為8，此時m＝9；當n＝3時，點B的橫坐標為12，此時m＝15.我們能夠發(fā)現(xiàn)3、9、15為首項為3，公差為6的等差數(shù)列，很容易能夠得到6n－3.此類題解答的關(guān)鍵是先練后想，通過精確作圖，列出關(guān)于兩個變量變化情況的表格，再通過尋找數(shù)式規(guī)律得到解答．例6在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖Z2－4所示，點A的坐標為(1，0)，點D的坐標為(0，2)．延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進行下去，第3個正方形的面積為________；第n個正方形的面積為________(用含n的代數(shù)式表示).[解析]觀察圖形可知，正方形都相似，△A1B1A2∽△A2B2A3，這些三角形的三邊比等于1∶2∶eq\r(5)，可求出A1B1∶AB＝2∶3.同理可知每一個正方形與后一個正方形的相似比等于3∶2，∵第1個正方形的面積為5，∴2個正方形的面積為5(eq\f(3,2))2，第3個正方形的面積為5(eq\f(3,2))4，第n個正方形的面積為5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2n－2)以平面直角坐標系為載體的規(guī)律探究性問題，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合．在坐標系中研究幾何圖形，實現(xiàn)線段長度和點的坐標的正確轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵，要注重橫、縱坐標兩者各自變化的規(guī)律以及兩者之間的關(guān)系．解決問題的方法與前兩種類型一致．例7在下表中，我們把第i行第j列的數(shù)記為ai，j(其中i，j都是不大于5的正整數(shù))，對于表中的每個數(shù)ai，j規(guī)定如下：當i≥j時，ai，j＝1；當i<j時，ai，j＝0.例如：當i＝2，j＝1時，ai，j＝a2，1＝1.按此規(guī)定，a1，3＝________；表中的25個數(shù)中，共有________個1；計算a1，1·ai，1＋a1，2·ai，2＋a1，3·ai，3＋a1，4·ai，4＋a1，5·ai，5的值為________．[解析]因為1<3，根據(jù)規(guī)定，當i<j時，ai，j＝0，所以a1，3＝0；按照方格中排序可知，滿足i＝j(luò)的恰好為對角線上的五個數(shù)，從而可知i≥j的數(shù)共有15個；第3空按規(guī)律可知后四項都為0，因此結(jié)果為1.定義新運算是指用一種新的運算符號或表達式表示一種新的運算規(guī)則，解決此類題的關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義，嚴格按照新定義的計算順序，將數(shù)值代入算式中，再把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運算，然后進行計[達標檢測]A組1..對于任意兩個實數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：當且僅當a＝c且b＝d時，（a，b）=（c，d）．定義運算“”：（a，b）（c，d）=（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）（p，q）=（5，0），則p＝，q＝．2.在平面直角坐標系xOy中,正方形A1B1C1O、A2B2C2B1、A3B3C3B2,…,按如圖所示的方式放置.點A1、A2、A3,…和B1、B2、B3,…分別在直線y=kx+b和x軸上.已知C1(1,-1),C2(),則點A3的坐標是.第2題 第3題3、將邊長分別為1、2、3、4……19、20的正方形置于直角坐標系第一象限，如圖中方式疊放，則按圖示規(guī)律排列的所有陰影部分的面積之和為▲.4、若是不等于1的實數(shù)，我們把稱為的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)為，現(xiàn)已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，……，依次類推，則=▲．5、觀察圖給出的四個點陣，s表示每個點陣中的點的個數(shù)，按照圖形中的點的個數(shù)變化規(guī)律，猜想第n個點陣中的點的個數(shù)s為（） A.3n﹣2 B.3n﹣1C.4n+1 D.4n﹣3B組6、如圖所示，直線y＝x＋1與y軸相交于點A1，以O(shè)A1為邊作正方形OA1B1C1，記作第一個正方形；然后延長C1B1與直線y＝x＋1相交于點A2，再以C1A2為邊作正方形C1A2B2C2，記作第二個正方形；同樣延長C2B2與直線y＝x＋1相交于點A3，再以C2A3為邊作正方形C2A3B3C3，記作第三個正方形；…，依此類推，則第n個正方形的邊長為_________． 6題 7、設(shè),,,…,，設(shè)，則S=_______________(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))。8、如圖，已知Al（1，0），A2（1，1），A3（－1，1），A4（－1，－1），A5（2，－1），…．則點A2012的坐標為______．第7題 第8題 第10題9.如圖，等腰Rt△ABC的直角邊長為4，以A為圓心，直角邊AB為半徑作弧BC1，交斜邊AC于點C1，C1B1⊥AB于點B1，設(shè)弧BC1，C1B1，B1B圍成的陰影部分的面積為S1，然后以A為圓心，AB1為半徑作弧B1C2，交斜邊AC于點C2，C2B2⊥AB于點B2，設(shè)弧B1C2，C2B2，B2B1圍成的陰影部分的面積為S2，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到的陰影部分的面積S3=．10、（如圖，已知△ABC的周長為m，分別連接AB，BC，CA的中點A1，B1，C1得△A1B1C1，再連接A1B1，B1C1，C1A1的中點A2，B2，C2得△A2B2C2，再連接A2B2，B2C2，C2A2的中點A3，B3，C3得△A3B3C3，…，這樣延續(xù)下去，最后得△AnBnCn．設(shè)△A1B1C1的周長為l1，△A2B2C2的周長為l2，△A3B3C3的周長為l3，…，△AnBnCn的周長為ln，則ln=．C組11、如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1,M2,M3,……Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,……，BnBn+1的中點，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=。(用含n的式子表示)12、如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2…，如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn．下列結(jié)論正確的有（）①四邊形A2B2C2D2是矩形；②四邊形A4B4C4D4是菱形；③四邊形A5B5C5D5的周長是QUOTE
④四邊形AnBnCnDn的面積是QUOTE
．A、①② B、②③ C、②③④ D、①②③④13．已知是正整數(shù)，是反比例函數(shù)圖象上的一列點，其中．記，，若（是非零常數(shù)），則的值是________________________（用含和的代數(shù)式表示）．14．如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面積為1，按上述方法所作的正方形的面積依次為，…，（n為正整數(shù)），那么第8個正方形的面積＝_______。15．如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．1234567891011121314151