（人教A版2023選擇性必修第一冊浙江專用）2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中沖刺測試卷02（測試范圍：第1-3章） （含解析）

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一、單選題

1．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】化簡雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得的值，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.

【解析】由雙曲線，可得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，

則雙曲線的漸近線方程為.

故選：B.

2．設(shè)A是空間一定點，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件的點M構(gòu)成的圖形是（）

A．圓B．直線

C．平面D．線段

【答案】C

【分析】根據(jù)平面的法向量的含義，即可判斷出答案.

【解析】由題意，故點M位于過點A且和垂直的平面內(nèi)，

故點M構(gòu)成的圖形是經(jīng)過點A，且以為法向量的平面，

故選：C

3．如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點是的中點，若記，，，則（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.

【解析】由在三棱錐中，點，分別是，的中點，點是的中點，

如圖所示，連接，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，

可得：.

故選：A.

4．圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】兩圓方程相減即可得解.

【解析】聯(lián)立，相減可得，

故選:C

5．已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】分析：設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識可求，再結(jié)合橢圓定義可求離心率.

詳解：在中，

設(shè)，則，

又由橢圓定義可知

則離心率，

故選D.

點睛：橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為橢圓，二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、橢圓的弦長及最值和離心率問題等；“焦點三角形”是橢圓問題中的?？贾R點，在解決這類問題時經(jīng)常會用到正弦定理，余弦定理以及橢圓的定義.

6．已知圓與圓，則“”是“圓與圓外切”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用兩圓相切圓心距與兩半徑之和相等，分別證明充分性和必要性是否成立即可得出答案.

【解析】根據(jù)題意將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為；

易知，

所以可得圓心，半徑為，圓心，半徑為，

可得，兩半徑之和；

若，圓心距，兩半徑之和，此時，

所以圓與圓外切，即充分性成立；

若圓與圓外切，則，解得或（舍），

所以必要性成立；

即“”是“圓與圓外切”的充分必要條件.

故選：C

7．若方程有兩個不等的實根，則實數(shù)b的取值范圍為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】將化為，作出直線與半圓的圖形，利用兩個圖形有個公共點，求出切線的斜率，觀察圖形可得解.

【解析】解：由得，

所以直線與半圓有個公共點，

作出直線與半圓的圖形，如圖：

當(dāng)直線經(jīng)過點時，，

當(dāng)直線與圓相切時，，解得或（舍），

由圖可知，當(dāng)直線與曲線有個公共點時，，

故選：B.

8．如圖1，在菱形中，，是其對角線，是上一點，且，將沿直線翻折，形成四棱錐（如圖2），則在翻折過程中，下列結(jié)論中正確的是（）

A．存在某個位置使得B．存在某個位置使得

C．存在某個位置使得D．存在某個位置使得

【答案】B

【分析】選項A，在翻折過程中，與夾角始終不變，，故A錯誤；選項B，，轉(zhuǎn)化為判斷和是否會垂直，由圖觀察翻折過程中和夾角的變化范圍可得解；選項C，由圖觀察翻折過程中和夾角的變化范圍可得解；選項D，由于平行于翻折前的，故只需觀察翻折過程中與翻折前的的夾角變化范圍可得解.

【解析】對于選項A，沿翻折，在翻折過程中，與夾角始終不變，，故A錯誤；

對于選項B，，轉(zhuǎn)化為判斷和是否會垂直，由圖觀察翻折過程中和夾角變化范圍是，故存在某個位置使得，故B正確；

對于選項C，由圖觀察翻折過程中和夾角的變化范圍是，故不存在某個位置使得，故C錯誤；

對于選項D，由于平行于翻折前的，故只需觀察翻折過程中與翻折前的的夾角變化范圍，由圖觀察翻折過程中與的夾角變化范圍是，所以不存在某個位置使得，故D錯誤.

故選：B.

二、多選題

9．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（）

A．當(dāng)時，

B．當(dāng)時，

C．直線過定點，直線過定點

D．當(dāng)，平行時，兩直線的距離為

【答案】AD

【分析】A選項：把的值分別代入兩直線，根據(jù)直線垂直時，斜率相乘為，直接判斷即可；

B選項，把的值分別代入兩直線，根據(jù)直線平行時，斜率相等判斷即可；

C選項，把直線的方程變形，根據(jù)直線過定點的定義判斷即可；

D選項，由直線平行時，斜率相等，可求得得值，排除重合情況，再利用平行直線的距離公式直接求解即可.

【解析】對于A，當(dāng)時，那么直線為，直線為，此時兩直線的斜率分別為和，所以有，所以，故A選項正確；

對于B，當(dāng)時，那么直線為，直線為，此時兩直線重合，故B選項錯誤；

對于C，由直線：，整理可得：，故直線過定點，直線：，整理可得：，故直線過定點，故C選項錯誤；

對于D，當(dāng)，平行時，兩直線的斜率相等，即，解得：或，當(dāng)時，兩直線重合，舍去；當(dāng)時，直線為，為，此時兩直線的距離，故D選項正確.

故選：AD.

10．下面四個結(jié)論正確的是（）

A．若，，三點不共線，面外的任一點，有，則，，，四點共面

B．有兩個不同的平面，的法向量分別為，，且，，則

C．已知為平面的一個法向量，為直線的一個方向向量，若，則與所成角為

D．已知向量，，若，則為鈍角

【答案】AC

【分析】由四點共面的向量表示判斷A，由兩平面平行的向量表示判斷A，由直線與平面所成角的定義判斷C，由兩向量所成角為鈍角的條件判斷D．

【解析】對于A：，即，，，，四點共面，故A正確，

對于B：，，，即與不平行，與不平行，故B錯誤，

對于C：若，則與所成角為，故C正確，

對于D：，，

若，則，

若，反向，則，，

，，

當(dāng)且時，為鈍角，故D錯誤，

故選：AC．

11．如圖，在直三棱柱中，，，點D，E分別是線段BC，上的動點（不含端點），且．則下列說法正確的是（）

A．平面

B．點C1到直線B1C的距離為1

C．異面直線與所成角的正切值為

D．平面與平面的夾角的余弦值為

【答案】AD

【分析】證明，再利用線面平行的判定推理判斷A；利用等面積法求出三角形的高判斷B；利用定義求出線線夾角正切值判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出夾角余弦判斷D.

【解析】在直三棱柱中，由，得，

平面，平面，所以平面，A正確；

在中，，在中，斜邊，

邊上的高，則點C1到直線B1C的距離為，B錯誤；

由，得異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，

在中，，，則，C錯誤；

以A為坐標(biāo)原點，以的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，

設(shè)平面的法向量，則，令，得，

設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，

于是，顯然二面角的大小為銳角，

二面角即二面角，所以二面角的余弦值為，D正確.

故選：AD

12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，直線與橢圓交于，兩點，點，則（）

A．四邊形的周長為8B．的最小值為9

C．直線，的斜率之積為D．若點為橢圓上的一個動點，則的最小值為1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)橢圓定義結(jié)合橢圓對稱性可判斷A；利用橢圓定義以及基本不等式判斷B；設(shè)，，表示出，的斜率之積，結(jié)合點在橢圓上即可化簡求值，判斷C；將轉(zhuǎn)化為，利用圖形的幾何意義求解，判斷D.

【解析】對于A，由題意知對于橢圓，，

與橢圓交于，兩點，

則，關(guān)于原點對稱，且，,

故四邊形的周長為，A正確；

對于B，由于，關(guān)于原點對稱，故，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時等號成立，B錯誤；

對于C，設(shè)，則，而，

故，

而在橢圓上，即，

即，故，C正確；

對于D，由于點為橢圓上的一個動點，故,

則，故，

當(dāng)且僅當(dāng)共線時，且P在之間時等號成立，

而，，

故的最小值為，D正確，

故選：ACD

【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于D的判斷，解答時要注意利用橢圓的定義將線段差轉(zhuǎn)化為線段之和，結(jié)合圖形的幾何意義即可求解.

三、填空題

13．直線在軸上的截距為．

【答案】/

【分析】求出直線與軸交點的橫坐標(biāo)即可.

【解析】∵直線方程為，

∴令，得，即直線與軸交于點，

∴直線在軸的截距為.

故答案為：.

14．動點與定點、的連線的斜率之積為，則點的軌跡方程是.

【答案】()

【解析】利用斜率的公式進(jìn)行求解即可

【解析】設(shè)，則，，

∵動點與定點、的連線的斜率之積為，

∴，∴，即，且，

綜上點的軌跡方程是().

故答案為：()

15．已知拋物線的焦點為，過的弦滿足，則的值為．

【答案】

【分析】由，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，根據(jù)拋物線定義，，，設(shè)直線與拋物線的準(zhǔn)線交點為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，根據(jù)，和的相似關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解析】

如圖，由，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為，，設(shè)直線與拋物線的準(zhǔn)線交點為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點，則，

設(shè)（），則，

由拋物線的定義，，，

易知，

∴，∴，∴，

又易知，，

∴，∴，∴，

∴.

故答案為：.

16．兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點，E和A，F(xiàn)，使，且已知，則線段的長為．

【答案】或

【分析】利用空間向量線性運(yùn)算得到，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及模的運(yùn)算即可得解，注意的夾角有兩種情況.

【解析】由題意，得，

所以，

因為，所以，，

因為，所以，則，同理：，

因為異面直線a，b所成的角為，

當(dāng)?shù)膴A角為時，，

所以，則，即，故；

當(dāng)?shù)膴A角為時，，

所以，則，故；

綜上：線段的長為或.

故答案為：或.

.

四、解答題

17．已知.

(1)求；

(2)求與夾角的余弦值；

(3)當(dāng)時，求實數(shù)的值.

【答案】(1)-10

(2)

(3)或

【分析】（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算律,即可求解.

（2）根據(jù)空間向量的夾角公式,代入求解.

（3）由,轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0即可.

【解析】（1）；

（2）；

（3）當(dāng)時，，得，

，或.

18．陜西歷史博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作中的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線的右支與y軸及直線圍成的曲邊四邊形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，如圖，若該金杯主體部分的上口外直徑為，下底座外直徑為，且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，

(1)求杯身最細(xì)之處的周長（杯的厚度忽略不計）：

(2)求此雙曲線C的離心率與漸近線方程.

【答案】(1)

(2)離心率為2，漸近線方程為

【分析】（1）由題意可得，代入雙曲線方程可求出，從而可求得結(jié)果，

（2）由（1）可求出，從而可求出離心率和漸近線方程.

【解析】（1）由題意可得，

因為雙曲線C過點M，N，所以

解得，所以杯身最細(xì)之處的周長為．

（2）因為雙曲線C為，所以，則，

漸近線方程為，即，

即離心率為2，漸近線方程為.

19．已知圓：與圓：.

(1)若圓與圓內(nèi)切，求實數(shù)的值；

(2)設(shè)，在軸正半軸上是否存在異于A的點，使得對于圓上任意一點，為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)16

(2)存在，6

【分析】（1）根據(jù)題意求圓心和半徑，在結(jié)合兩圓的位置關(guān)系列式求解；

（2）設(shè)點，利用兩點間距離公式可得，結(jié)合題意分析運(yùn)算即可.

【解析】（1）因為：，即，

故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長，

且圓：，故圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長，

若圓與圓內(nèi)切，則，

即，且，所以.

（2）設(shè)點，則，

于是，即，

同理，可得，

要使為定值，則，解得或（舍去），

故存在點使得為定值，此時.

20．如圖，拋物線在點（）處的切線交軸于點，過點作直線（的傾斜角與的傾斜角互補(bǔ)）交拋物線于，兩點，求證：

(1)的斜率為；

(2).

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】（1）設(shè)：，聯(lián)立直線與拋物線，消去，根據(jù)即可得證；

（2）首先求出點坐標(biāo)，從而得到直線的方程，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再由弦長公式表示出，，再代入韋達(dá)定理計算可得.

【解析】（1）設(shè)：，

由，消去整理得，

則，即，

故，即的斜率為；

（2）由（1）可得直線：，令，解得，則，

因為的傾斜角與的傾斜角互補(bǔ)，

所以直線的斜率為，

所以直線的方程為，設(shè)，，

由，消去整理得，

則，所以，，

則，，

則

，

即，

又，

故.

21．如圖，等腰直角的斜邊為直角的直角邊，是的中點，在上，將三角形沿翻折，分別連接、、，使得平面平面.已知，.

(1)證明：

(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)

【分析】（1）過點在平面內(nèi)作，垂足為，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得出平面，可得出，由等腰三角形的幾何性質(zhì)可得出，利用線面垂直的判定和性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

（2）推導(dǎo)出，計算出、的長，然后以為原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.

【解析】（1）證明：過點在平面內(nèi)作，垂足為，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

平面，，

是等腰直角三角形斜邊的中點，，

又，、平面，平面，

平面，.

（2）解：由題意可知，在等腰直角三角形中，，，

在平面內(nèi)，，，則，

為的中點，則為直角三角形的中位線，

，，，

，，，

，，

，

以為原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)平面的法向量，則、、，

，，

由得，令，則，

顯然，平面的一個法向量為，

.

因此，平面與平面的夾角的余弦值.

22．已知點在雙曲線上．

(1)雙曲線上動點Q處的切線交的兩條漸近線于兩點，其中O為坐標(biāo)原點，求證：的面積是定值；

(2)已知點，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點，在線段上取異于點的點，滿足，證明：點恒在一條定直線上．

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】（1）先求出雙曲線方程，設(shè)，則過點的切線方程為，聯(lián)立與兩條漸近線方程，得到點坐標(biāo)，利用求出面積為定值；

（2）考慮直線斜率不存在，不合題意，故直線斜率存在，設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)出，得到兩根之和，兩根之積，再設(shè)點的坐標(biāo)為，由得到，，消去參數(shù)得到點恒在一條定直線上.

【解析】（1）將代入雙曲線中，，

解得，故雙曲線方程為，

下面證明上一點的切線方程為，

理由如下：當(dāng)切線方程的斜率存在時，

設(shè)過點的切線方程為，與聯(lián)立得，

，

由

化簡得，

因為，代入上式得，

整理得，

同除以得，，

即，

因為，，

所以，

聯(lián)立，兩式相乘得，，

從而，

故，

即，

令，則，即，

解得，即，

當(dāng)切線斜率不存在時，此時切點為，切線方程為，滿足，

綜上：上一點的切線方程為，

設(shè)，則過點的切線方程為，

故為過點的切線方程，

雙曲線的兩條漸近線方程為，

聯(lián)立與，解得,

聯(lián)立與，解得,

直線方程為，即，

故點到直線的距離為，

且，

故的面積為

，為定值；

（2）若直線斜率不存在，此時直線與雙曲線右支無交點，不合題意，不滿足條件，

故直線斜率存在，設(shè)直線方程，

與聯(lián)立得，

由，

因為恒成立，所以，

故，

解得,

設(shè)，則，

設(shè)點的坐標(biāo)為，

則由得，，

變形得到，

將代入，解得，

將代入中，解得，

則，

故點恒在一條定直線上.

【點睛】方法點睛：過圓上一點的切線方程為：，

過圓外一點的切點弦方程為：.

過橢圓上一點的切線方程為，

過雙曲線上一點的切線方程為2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中測試卷02（測試范圍：第1-3章）

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線方程為（）

A．B．

C．D．

2．設(shè)A是空間一定點，為空間內(nèi)任一非零向量，滿足條件的點M構(gòu)成的圖形是（）

A．圓B．直線

C．平面D．線段

3．如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點是的中點，若記，，，則（）

A．B．

C．D．

4．圓：與圓：的公共弦所在直線方程為（）

A．B．

C．D．

5．已知，是橢圓的兩個焦點，是上的一點，若，且，則的離心率為

A．B．C．D．

6．已知圓與圓，則“”是“圓與圓外切”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

7．若方程有兩個不等的實根，則實數(shù)b的取值范圍為（）

A．B．C．D．

8．如圖1，在菱形中，，是其對角線，是上一點，且，將沿直線翻折，形成四棱錐（如圖2），則在翻折過程中，下列結(jié)論中正確的是（）

A．存在某個位置使得B．存在某個位置使得

C．存在某個位置使得D．存在某個位置使得

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．全對得5分，少選得3分，多選、錯選不得分）

9．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（）

A．當(dāng)時，

B．當(dāng)時，

C．直線過定點，直線過定點

D．當(dāng)，平行時，兩直線的距離為

10．下面四個結(jié)論正確的是（）

A．若，，三點不共線，面外的任一點，有，則，，，四點共面

B．有兩個不同的平面，的法向量分別為，，且，，則

C．已知為平面的一個法向量，為直線的一個方向向量，若，則與所成角為

D．已知向量，，若，則為鈍角

11．如圖，在直三棱柱中，，，點D，E分別是線段BC，上的動點（不含端點），且．則下列說法正確的是（）

A．平面

B．點C1到直線B1C的距離為1

C．異面直線與所成角的正切值為

D．平面與平面的夾角的余弦值為

12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，直線與橢圓交于，兩點，點，則（）

A．四邊形的周長為8B．的最小值為9

C．直線，的斜率之積為D．若點為橢圓上的一個動點，則的最小值為1

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13．直線