專題7.2 均值不等式與線性規(guī)劃（解析版）【高考總復習】2024年高考數(shù)學滿分訓練必做題：基礎(chǔ)+提升2000題（新高考專用）

第第頁專題7.2均值不等式與線性規(guī)劃【1013】．（2022·全國·高考真題·★★）若x，y滿足約束條件則的最大值是（

）A． B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為，上下平移直線，可得當直線過點時，直線截距最小，z最大，所以.故選：C.【1014】．（2022·浙江·高考真題·★★）若實數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值是（

）A．20 B．18 C．13 D．6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐標系中畫出可行域，平移動直線后可求最大值.【詳解】不等式組對應的可行域如圖所示：當動直線過時有最大值.由可得，故，故，故選：B.【1015】．（2021·浙江·高考真題·★★）若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】畫出滿足條件的可行域，目標函數(shù)化為，求出過可行域點，且斜率為的直線在軸上截距的最大值即可.【詳解】畫出滿足約束條件的可行域，如下圖所示：目標函數(shù)化為，由，解得，設(shè)，當直線過點時，取得最小值為.故選：B.【1016】．（2021·全國·高考真題·★★★）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出．【1017】．（2021·全國·高考真題·★★）若滿足約束條件則的最小值為（

）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉(zhuǎn)換目標函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可得當直線過點時,取最小值，此時.故選：C.【1018】．（2017·全國·高考真題·★★）設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝2x＋y的最小值是（

）A．－15 B．－9 C．1 D．9【答案】A【解析】【分析】作出可行域，z表示直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合知z在點B(－6，－3)處取得最小值.【詳解】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，目標函數(shù)，z表示直線的縱截距，，數(shù)形結(jié)合知函數(shù)在點B(－6，－3)處縱截距取得最小值，所以z的最小值為－12－3＝－15.故選：A【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題.【1019】．（2019·浙江·高考真題·★★）若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值是A． B．1C．10 D．12【答案】C【解析】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重了基礎(chǔ)知識、基本技能的考查.【詳解】在平面直角坐標系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域為以為頂點的三角形區(qū)域（包含邊界），由圖易得當目標函數(shù)經(jīng)過平面區(qū)域的點時，取最大值.【點睛】解答此類問題，要求作圖要準確，觀察要仔細.往往由于由于作圖欠準確而影響答案的準確程度，也有可能在解方程組的過程中出錯.【1020】．（2014·安徽·高考真題·★★★）滿足約束條件，若取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)的值為A． B． C．2或1 D．【答案】D【解析】【詳解】試題分析：題中的約束條件表示的區(qū)域如下圖，將化成斜截式為，要使其取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則在平移的過程中與重合或與重合，所以或.考點：1.線性規(guī)劃求參數(shù)的值.【1021】．（2012·浙江·高考真題·★★）若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】【詳解】由已知可得，則，所以的最小值，應選答案C．【1022】．（2010·重慶·高考真題·★★）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．【答案】B【解析】【詳解】解析：考察均值不等式，整理得即，又，【1023】．（2011·安徽·高考真題·★★★）設(shè)變量滿足則的最大值和最小值分別為A．１，－１ B．２，－２ C．１，－２ D．２，－１【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由約束條件，作出可行域如圖，設(shè)，則，平移直線，當經(jīng)過點時，取得最大值，當經(jīng)過點時，取得最小值，故選．考點：線性規(guī)劃.【1024】．（2007·海南·高考真題·★★★）已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】【詳解】解：∵x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y，cd=xy，當且僅當x=y時取“=”，【1025】．（2021·天津·高考真題·★★★）若，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.【1026】．（2016·江蘇·高考真題·★★★）已知實數(shù)滿足則的取值范圍是.【答案】【解析】【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，由圖可知原點到直線距離的平方為的最小值，為，原點到直線與的交點距離的平方為的最大值為，因此的取值范圍為【考點】線性規(guī)劃【名師點睛】線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線（一般不涉及虛線），其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值或值域范圍.【1027】．（2016·全國·高考真題·★★）若滿足約束條件則的最小值為_________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：作出不等式組滿足的平面區(qū)域，如圖所示，由圖知當目標函數(shù)經(jīng)過點時取得最小值，即．【考點】簡單的線性規(guī)劃問題【技巧點撥】利用圖解法解決線性規(guī)劃問題的一般步驟：（1）作出可行域．將約束條件中的每一個不等式當作等式，作出相應的直線，并確定原不等式的區(qū)域，然后求出所有區(qū)域的交集；（2）作出目標函數(shù)的等值線（等值線是指目標函數(shù)過原點的直線）；（3）求出最終結(jié)果．【1028】．（2020·天津·高考真題·★★★★）已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.【詳解】，,，當且僅當=4時取等號，結(jié)合,解得，或時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查應用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.【1029】．（2022·全國·鄭州一中模擬預測·★★）已知x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A．-3 B．0 C．3 D．6【答案】C【解析】【分析】作出可行域，作出目標函數(shù)對應的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示陰影部分，作直線，在直線中，表示直線的縱截距，向上平移直線增大，向下平移直線減小，平移該直線，當它過點時，為最小值．故選：C．【1030】．（2022·山東泰安·模擬預測·★★★★）已知，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】對原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.【詳解】由，得，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是2.故選：A.【1031】．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測·★★★）若實數(shù)x，y滿足，且的最大值為8，則實數(shù)m的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】畫出不等式組表示的可行域，利用線性規(guī)劃去求實數(shù)m的值即可.【詳解】畫出不等式組表示的可行域如圖所示，由圖中直線斜率關(guān)系知：當直線向上平移時，依次經(jīng)過點O，B，A．故經(jīng)過點A時，z有最大值，由，得．故選：C．【1032】．（2022·上海松江·二?！ぁ铩铩铮┮阎龑崝?shù)、滿足，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)均值不等式及二次不等式的解法求解即可.【詳解】因為，所以，當且僅當時等號成立，即，解得或（舍去），即的最小值為4，當且僅當時等號成立.故答案為：4【1033】．（2022·上?！の挥袑W模擬預測·★★★★）已知，且，則的最小值為_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求最小值.【詳解】，而，當且僅當時等號成立，由可得或，故，當且僅當或等號成立，故的最小值為.故答案為：.【1034】．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學模擬預測·★★★）若、，且，則的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)基本不等式計算求解.【詳解】因為、，所以，即，所以，即，當僅當，即時，等號成立.故選：A.【1035】．（2022·浙江湖州·模擬預測·★★）若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】作出可行域，繪制出目標函數(shù)，考慮截距最小的情況.【詳解】如圖，作出可行域，目標函數(shù)經(jīng)過點B（1，1）時在y軸上有最小的截距，因為截距即z，故此時z最小，.故選：A【1036】．（2022·河南安陽·模擬預測·★★）已知實數(shù)x，y滿足，則（

）A．最小值為-7，最大值為2 B．最小值為-2，最大值為7C．最小值為-7，無最大值 D．最大值為2，無最小值【答案】C【解析】【分析】作出可行域，利用平移法即可求出目標函數(shù)的最大最小值．【詳解】作出可行域，如圖所示陰影部分：，，即，直線越往上移的取值越小，當直線往上平移至經(jīng)過點時，取最小值，此時，當直線往下平移至經(jīng)過點時，，因為該點取不到，所以無法取到最大值，即的最小值為-7，無最大值．故選：C．【1037】．（2022·河南安陽·模擬預測·★★）已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示：把轉(zhuǎn)化為直線，經(jīng)過點A時，縱截距最小，z最大.由解得：，此時.故選：A【1038】．（2022·江蘇·南京市天印高級中學模擬預測·★★★★）已知正實數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．有最大值 B．的最小值是8C．若，則 D．的最大值為【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式，以及對數(shù)的運算，不等式的性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：，∴，當且僅當時，等號成立，故A正確；對B：，當且僅當，即時，等號成立，故B錯誤；對C：，∴，∴，故C正確；對D：由可知，故，當且僅當時，等號成立，故D正確.故選：B.【1039】．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學模擬預測·★★）若實數(shù)、滿足，則的最大值為_______．【答案】【解析】【分析】先畫出不等式組表示的可行域，然后由，得，作出直線，向上平移過點時，目標函數(shù)取得最大值，求出點的坐標，代入目標函數(shù)可求得結(jié)果【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示由，得，作出直線，向上平移過點時，目標函數(shù)取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：6【1040】．（2022·上海奉賢·二模·★★）滿足線性約束條件的目標函數(shù)的最大值是________.【答案】2【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出使得該直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)即可得解.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，平移直線，當該直線經(jīng)過可行域的頂點時，直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故答案為：.【1041】．（2022·內(nèi)蒙古·烏蘭浩特一中模擬預測·★★）若變量滿足約束條件則的最小值是______【答案】##1.5【解析】【分析】作出可行域，根據(jù)圖形找到最優(yōu)解，將最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖：,化簡可得：，由圖可知，點為最優(yōu)解，聯(lián)立解得，所以，所以，故答案為：【1042】．（2022·青?！ず|市第一中學模擬預測·★★）設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為______．【答案】11【解析】【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察該直線在軸上截距最大值即可求出答案.【詳解】作出不等式組所表示的可行域，如下圖，平移直線，當直線過點時，z取得最大值．聯(lián)立，解得：，所以z取得最大值為：11.故答案為：11.【1043】．（2022·上海虹口·二?！ぁ铩铮┖瘮?shù)的值域為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可解出．【詳解】因為，所以，當且僅當時取等號．故答案為：．【1044】．（2022·江蘇·阜寧縣東溝中學模擬預測·★★★★）已知，，直線與曲線相切，則的最小值為___________.【答案】8【解析】【分析】設(shè)