大學(xué)物理：第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)Chap.1Kinematics第二節(jié)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述一、參考系坐標(biāo)系參考系（ReferenceFrame）：確定一個(gè)物體的位置總是相對(duì)于某一物體或某一物體系來確定，那么這—物體或物體系就作為描述物體位置的基準(zhǔn)，稱為參考系。坐標(biāo)系（Coordinates）：確定了參考系后，為了能夠定量地描述一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，必需在選定的參考系上建立一個(gè)合適的坐標(biāo)系。常見的坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、自然坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系等。參考系rzyxo二、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)（Particle）:將宏觀物理抽象為只有質(zhì)量而不計(jì)大小、形狀的點(diǎn)（粒子），是力學(xué)中的一個(gè)重要的理想模型。質(zhì)點(diǎn)系（ParticleSystem）：很多質(zhì)點(diǎn)按一定規(guī)律組成的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。通過描述質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，從而了解整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)（求和，積分）。地球的運(yùn)動(dòng)：公轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)模型自轉(zhuǎn)：質(zhì)點(diǎn)系模型三、位置矢量（PositionVector）位矢用坐標(biāo)值表示為：從坐標(biāo)原點(diǎn)o出發(fā)，指向質(zhì)點(diǎn)所在位置P的一有向線段。

P(x,y,z)zyxo運(yùn)動(dòng)方程（MotionEquation）：矢量形式：參數(shù)形式：軌道方程（TrackEquation）：消去時(shí)間參數(shù)（t）例：第三節(jié)質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度一、位移（Displacement）zyxo設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)t時(shí)刻位于A點(diǎn)，位矢t+

t時(shí)刻位于B點(diǎn)，位矢在

t時(shí)間內(nèi)，位矢的變化量（即A到B的有向線段）稱為位移；而A到B路徑的長(zhǎng)度Ds稱為路程。r(t)r(t＋Dt)DrABDs顯然：在直角坐標(biāo)系中二、速度（Velocity）平均速度：刻畫速度Dt時(shí)間內(nèi)平均變化率在

t時(shí)間內(nèi)發(fā)生位移則平均速度：瞬時(shí)速度：刻畫t時(shí)刻速度的即時(shí)變化率顯然，v和r(t)曲線的斜率有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系！oABr(t)r(t＋Dt)DrB'B''速度在直角坐標(biāo)系中的解析表示：速度的三個(gè)分量：速度的大?。豪?/p>

sBA在

t時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過路程

s對(duì)時(shí)間的變化率平均速率：瞬時(shí)速率：一般情況：當(dāng)

t0時(shí)：o三、加速度（Acceleration）t1時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于A處，速度為v(t)t2時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位于A處，速度為v(t+Dt)

t時(shí)間內(nèi)，速度增量為：平均加速度：當(dāng)t0時(shí)，平均加速度的極限即為瞬時(shí)加速度：ov(t)v(t+Dt)r(t)r(t＋Dt)ABDv＝v(t

Dt)v(t)

Dvv(t)v(t+Dt)加速度在直角坐標(biāo)系中的解析表示：例：第四節(jié)質(zhì)點(diǎn)的曲線運(yùn)動(dòng)一、平面自然坐標(biāo)系（NaturalSystemofCoordinates）soQ平面自然坐標(biāo)系“自然地”選取坐標(biāo)曲線上的切向和法向?yàn)榛?。切向基矢，它的方向是質(zhì)點(diǎn)所在處的軌道曲線的切向并沿質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。另一個(gè)法向基矢，沿軌道曲線在該點(diǎn)處的法向并指向曲線凹的一側(cè)?！白匀蛔鴺?biāo)系”就是直接選取沿著軌道曲線的坐標(biāo)系。選定該曲線上一個(gè)定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o，以曲線上某點(diǎn)到原點(diǎn)o之間的曲線長(zhǎng)度也即弧長(zhǎng)s為坐標(biāo)參量，并規(guī)定自原點(diǎn)向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的一側(cè)s為正，另一側(cè)s為負(fù)。P

s二、速度和加速度在自然坐標(biāo)系中的解析表示

s

ABCr無限小位移dr沿曲線切向基矢的方向，故：在軌道上取非常接近的兩點(diǎn)A、B，這兩點(diǎn)間弧長(zhǎng)

s足夠小，以致可以看作是一段圓?。▽?shí)際為A處的曲率圓的一部分）。那么A、B兩點(diǎn)的法線的交點(diǎn)C就是這段圓弧的圓心。我們稱C為A點(diǎn)處曲線的曲率中心。C、A間的距離為r，稱為曲線在A點(diǎn)處的曲率半徑。的方向指向曲率中心。因此在自然坐標(biāo)系中，加速度可以表示為：r的倒數(shù)通常稱為曲線的曲率。如果平面曲線用方程y＝y(tǒng)(x)來表示，由高等數(shù)學(xué)的知識(shí)可知，曲線上某點(diǎn)的曲率可以表示為：速度：速率：加速度：切向加速度

切向加速度反映速度大小的變化其方向沿軌道切線方向法向加速度

法向加速度反映速度方向的變化其方向沿法線方向，指向曲率中心總加速度的大?。嚎偧铀俣鹊姆较颍簣A周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)是一般曲線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，曲率半徑恒為r。一般圓周運(yùn)動(dòng)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)：設(shè)：質(zhì)點(diǎn)作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)

質(zhì)點(diǎn)所在的位矢與x軸的夾角角位移：角位置

：質(zhì)點(diǎn)從A到B位矢轉(zhuǎn)過的角度規(guī)定：逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎槙r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)角速度

：角加速度：RB

sxoA

角量表示勻加速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式角量和線量的關(guān)系：

運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題1、已知運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻的位置、速度以及加速度2、已知運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度函數(shù)（或加速度函數(shù)）以及初始條件求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程第五節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩類問題一、運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題第一類問題是已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程r＝r(t)，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢、速度和加速度，這主要是進(jìn)行微分運(yùn)算。例1一質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為：x=t+5，y=t2+3t-4。式中，t的單位為秒（s），坐標(biāo)x、y的單位為米（m），求：（1）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡力程；（2）t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量；（3）質(zhì)點(diǎn)從t=1s到t=2s間的位移；（4）質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。（1）將參數(shù)形式的運(yùn)動(dòng)方程第一式t＝x－5帶入第二式，消去時(shí)間即得軌跡方程：（2）（3）（4）例2如圖所示，湖中一小船，岸邊有人用繩子跨過離水面高h(yuǎn)處的滑輪拉船，人以恒定速率v0收繩，試求船離岸的距離為時(shí)，船的速度和加速度。在運(yùn)動(dòng)學(xué)第一類問題中，有時(shí)沒有顯含時(shí)間的運(yùn)動(dòng)方程，這時(shí)需要通過一些幾何關(guān)系構(gòu)造等式，再通過對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度或加速度。v0hlv0hloxx解：建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)小船位置為x，船到滑輪的距離為l，由于小船可看作質(zhì)點(diǎn)在水面上運(yùn)動(dòng)，所以其速度和加速度均在x方向。由勾股定理得：二、運(yùn)動(dòng)學(xué)的第二類問題第二類問題是已知加速度a=a(t)及運(yùn)動(dòng)的初始條件(即t=0時(shí)的位矢r0及初速度v0)，求任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度和位矢。這是第一類問題的逆運(yùn)算，需要用積分求解。例3一質(zhì)點(diǎn)