湖南省 高一數(shù)學(xué)周考試題（含答案）

試卷第=page44頁，總=sectionpages44頁試卷第=page11頁，總=sectionpages11頁湖南省益陽市高一數(shù)學(xué)周考試題姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合，，則()A． B． C． D．2．已知，，，則（）A． B． C． D．3．關(guān)于直線與平面，下列說法正確的是（）A．若直線平行于平面，則平行于內(nèi)的任意一條直線B．若直線與平面相交，則不平行于內(nèi)的任意一條直線C．若直線不垂直于平面，則不垂直于內(nèi)的任意一條直線D．若直線不垂直于平面，則過的平面不垂直于4．已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象可能是()A． B．C． D．6．已知扇形的周長(zhǎng)是，扇形面積為，扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A．2 B．1 C． D．37．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．8．在三棱錐中，，且兩兩互相垂直,則三棱錐的外接球的體積為()A． B． C． D．9．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再把所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為（）A． B． C． D．10．我們把正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象看作一組“平行曲線”，而“平行曲線”具有性質(zhì)：任意兩條平行于橫軸的直線與兩條相鄰的“平行曲線”相交，被截得的線段長(zhǎng)度相等，已知函數(shù)圖象中的兩條相鄰“平行曲線”與直線相交于，兩點(diǎn)，且.則的一個(gè)增區(qū)間為()A． B．C． D．11．已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，則對(duì)任意都有成立，則（）A． B． C． D．12．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①若，則；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②④ B．①② C．③④ D．②④二、填空題13．已知，，則在的方向上的投影為________．14．若tanα＝2，則的值為_________15．已知函數(shù)的最小正周期為，若將該函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后，所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為________.16．如圖在中，已知，，，，邊上的中線交于點(diǎn)，則的值是________.三、解答題17．（1）已知，，求；（2）化簡(jiǎn)：.18．如圖，在直三棱柱中，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)于平面內(nèi)任意向量，都存在實(shí)數(shù)、，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式.（2）若不等式，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知點(diǎn),,點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)直線與交于、兩點(diǎn),求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（3）設(shè)是線段中垂線上的動(dòng)點(diǎn),過作的兩條切線、,、分別為切點(diǎn),判斷是否存在定點(diǎn),直線始終經(jīng)過點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由．22．已知實(shí)數(shù)，，，若向量滿足，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若在上為增函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)滿足題意的恒成立，求的取值范圍.本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。本卷由系統(tǒng)自動(dòng)生成，請(qǐng)仔細(xì)校對(duì)后使用，答案僅供參考。答案第=page1212頁，總=sectionpages1515頁答案第=page1313頁，總=sectionpages1515頁參考答案1．D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合的具體范圍，然后求兩個(gè)集合的交集，從而得出正確選項(xiàng)【詳解】由解得，故.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合交集的概念及運(yùn)算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】【分析】首先得出，然后利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵，∴，即，∴，即，∵，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.3．B【解析】分析：利用線面平行的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中命題逐一判斷，即可得結(jié)果.詳解：對(duì)于，若直線平行于平面，則與內(nèi)的任意一條直線平行或異面，錯(cuò)；對(duì)于，若直線與平面相交，則不平行于內(nèi)的任意一條直線，正確；對(duì)于，若直線不垂直于平面，則可垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線，錯(cuò)；對(duì)于，若直線不垂直于平面，則過的平面可垂直于，錯(cuò)，故選B.點(diǎn)睛：空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，常采用畫圖（尤其是畫長(zhǎng)方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價(jià).4．A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后再根據(jù)誘導(dǎo)公式求出即可．【詳解】∵點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)定義求出正弦值，然后再用誘導(dǎo)公式求解，解題時(shí)要注意三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于基礎(chǔ)題．5．A【解析】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，再利用特殊點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)的正負(fù)進(jìn)行排除即可.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，故為奇函?shù)，故選項(xiàng)B、C排除；又，，故選項(xiàng)D排除；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別、函數(shù)奇偶性的判斷；考查運(yùn)算求解能力和識(shí)圖能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.6．A【解析】【分析】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，根據(jù)題意有，解得，代入公式求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，解得，，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查弧度制公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.8．A【解析】【分析】將已知三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體，將求三棱錐的外接球體積轉(zhuǎn)化為該正方體的外接球，由正方體體對(duì)角線長(zhǎng)度等于其外接球直徑即可求得外接球的半徑，進(jìn)而由球體的體積公式計(jì)算即可.【詳解】在三棱錐中有兩兩互相垂直，且，則可將其補(bǔ)全為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體，顯然該正方體的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)該外接球的半徑為r，正方體的體對(duì)角線為，則故外接球的體積為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐外接球的體積，屬于簡(jiǎn)單題.9．C【解析】【分析】【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得，在把所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，所以可得函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，故選C.10．C【解析】【分析】由題意可知函數(shù)的最小正周期，從而求出，再整體代入法求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，從而得出答案．【詳解】解：由題意可知函數(shù)的最小正周期，∴，解得，∴，由得，當(dāng)時(shí)，得，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，得，故B錯(cuò)、C對(duì)；當(dāng)時(shí)，得，故D錯(cuò)；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期性與單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)想象能力，屬于基礎(chǔ)題．11．A【解析】【分析】由題意，設(shè)，則，得，可得，即可求解.【詳解】由題意，因?yàn)樵跒閱握{(diào)函數(shù)，且，設(shè)，則，即，所以，可得或（負(fù)值舍），所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用問題，其中解答中合理利用換元法和函數(shù)的關(guān)系式，求得的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.12．D【解析】【分析】①根據(jù)對(duì)稱中心進(jìn)行分析；②根據(jù)對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)的函數(shù)值特征進(jìn)行分析；③根據(jù)的單調(diào)性進(jìn)行分析；④利用函數(shù)圖象的平移進(jìn)行分析，注意誘導(dǎo)公式的運(yùn)用.【詳解】①由知，是圖象的兩個(gè)對(duì)稱中心，則是的整數(shù)倍（是函數(shù)的最小正周期），即，所以結(jié)論①錯(cuò)誤；②因?yàn)?，所以是的?duì)稱中心，所以結(jié)論②正確；③由解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以結(jié)論③錯(cuò)誤；④的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以結(jié)論④正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度一般.(1)的對(duì)稱中心對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為；(2)分析的單調(diào)性，可令滿足的單調(diào)區(qū)間，從而可求的單調(diào)區(qū)間.13．2【解析】【分析】根據(jù)向量在的方向上的投影為，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，，則在的方向上的投影為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和模計(jì)算公式的應(yīng)用，以及向量的投影的概念與計(jì)算，其中解答熟記平面向量的數(shù)量積、模及投影的計(jì)算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.14．【解析】15．【解析】【分析】先利用周期公式求出，再利用平移法則得到新的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求出的表達(dá)式，即可求出的最小值．【詳解】由得，所以，向左平移個(gè)單位后，得到，因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，有，則，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及圖像變換，以及型的函數(shù)奇偶性判斷條件．一般地為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則；為奇函數(shù)，則；為偶函數(shù)，則．16．【解析】【分析】用、表示向量、，然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.設(shè)，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，解得，則，從而，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計(jì)算能力，屬于中等題.17．（1）（2）【解析】【分析】（1）由同角三角函數(shù)的關(guān)系，先求余弦值，然后求正切值即可;（2）由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：（1），，，則；（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，重點(diǎn)考查了誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.18．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)可得，再利用線面平行的判定定理可證得平面；（2）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，由平面得出，利用線面垂直的判定定理可證得平面，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理可得出平面平面.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，四邊形為平行四邊形.因?yàn)闉閷?duì)角線與的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平?又因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，、平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【點(diǎn)睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定，考查推理能力，屬于中等題.19．（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直，其數(shù)量積等于0，利用向量數(shù)量積公式得到對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系式，求得結(jié)果；（2）平面內(nèi)任意向量，都存在實(shí)數(shù)、，使得，其等價(jià)結(jié)果為向量和向量是兩個(gè)不共線向量，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得到結(jié)果.【詳解】（1）若，則有，即，又因?yàn)椋?，所以，即，解得；?）對(duì)于平面內(nèi)任意向量，都存在實(shí)數(shù)、，使得，所以向量和向量是兩個(gè)不共線向量，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量垂直的坐標(biāo)表示，平面向量基本定理，一組向量可以作為基底的條件，屬于基礎(chǔ)題目.20．（1）f(x)＝2sin(2x－)．（2）（－3，）．【解析】【分析】（1）利用，再用，求出即可；（2），得，轉(zhuǎn)化成，最后求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，故．?）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，即，又對(duì)任意，恒成立，，即，故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題屬于三角函數(shù)的綜合題，考查了三角函數(shù)的周期性和已知定義域，求三角函數(shù)的值域等問題，難點(diǎn)在于對(duì)絕對(duì)值要進(jìn)行分段處理和化簡(jiǎn).21．（1）；（2）；（3）定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】【分析】(1)根據(jù)列出關(guān)于的方程再化簡(jiǎn)即可.(2)求解到直線的距離以及弦長(zhǎng),進(jìn)而求得面積即可.(3)設(shè),,,根據(jù)以及可得,滿足的方程,進(jìn)而求得定點(diǎn)即可.【詳解】（1）因?yàn)?故,即,化簡(jiǎn)可得；（2）到直線的距離為,∴,從而；（3）設(shè),,,其中,,由,可得,化簡(jiǎn)得,同理,有,將,看作方程的兩組不同的解,由方程思想,可知直線的方程即,當(dāng)時(shí),,∴所求定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡方程的求解,同時(shí)也考查了直線與圓方程中的定點(diǎn)問題,需要根據(jù)題意確定切點(diǎn)滿足的關(guān)系式,再利用方程的思想求出直線方程,進(jìn)而求得定點(diǎn).屬于中檔題.22．（Ⅰ）或（Ⅱ）（1）（2）【解析】【分析】（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，進(jìn)而得到和，即可得到向量的坐標(biāo)；（Ⅱ）（1）根據(jù)向量的模的運(yùn)算，求得，又由函數(shù)在上為增函數(shù)，得到也