l-fuzzy閉包空間的1與

l-fuzzy閉包空間的1與

近年來(lái)，l-flu茲探測(cè)空間的研究非?；钴S，取得了豐富的研究成果。l-flu茲封閉空間是l-flu茲映射空間的推廣。在文獻(xiàn)中，l-flu茲封閉空間的概念是l-flu茲限制空間的概念，討論了具有t-1、t0和s0分離性的l-flu茲封閉空間的各種屬性。在本文中，l-flu茲模型空間中的t1和b2分離性引入了l-flu茲模型空間，并討論了它們的遺傳、可執(zhí)行性和其他屬性。文中假設(shè)L是有最小元0和最大元1的完備格.X是非空集,LX是從X到L的映射(或叫L-子集)的全體.則LX依點(diǎn)式序也構(gòu)成完備格.稱a∈L-{0}為L(zhǎng)中的余素元,是指對(duì)任意的b,c∈L,當(dāng)a≤b∨c有a≤b或a≤c,L中余素元的全體記為Copr(L).設(shè)L是一個(gè)完備格,A?L,若對(duì)任意的x∈L,存在Bx?A,使得x=∨Bx,則稱A為L(zhǎng)的并生成集.若Copr(L)是完備格L的并生成集,則稱L為閉集格,用xα表示在x點(diǎn)處取值α,在其它處取值為0的L-集.易證LX中體余素元構(gòu)成的集合Copr(LX)={xα|x∈X,α∈Copr(L)}.設(shè)A是X的子集,則Copr(A)={xα∈Copr(LX)|xα≤A}.設(shè)A∈LX,B∈LY(其中Y?X).我們用A|Y表示A在Y上的限制,即(A|Y)(y)=A(y)(?y∈Y).用B*表示B在X上的擴(kuò)張,即B*(x)=B(x)(?x∈Y),B*(x)=0(?x∈X-Y).每個(gè)映射f∶X→Y可誘導(dǎo)出一個(gè)映射(稱為L(zhǎng)-值z(mì)adeh型函數(shù))f→L∶LX→LY,具體定義為f→L(A)(y)=∨{A(x)|f(x)=y}(?A∈LX,?y∈Y).f→L的右伴隨記為f←L.易證f→L保任意并,f←L保任意并和任意交,并且有f←L(B)=∨{A∈LX|f→L(A)≤B}=B。f(?B∈LY).其他未加說(shuō)明的符號(hào)請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn).1l-sfzy閉包系統(tǒng)定義1如果映射τ∶LX→L滿足條件1)τ(0X)=τ(1X)=1;2)對(duì)任意的{Ai}i∈I?LX,τ(∧i∈IAi)≥∧i∈Iτ(Ai),則稱τ為X上的一個(gè)L-fuzzy閉包系統(tǒng),稱序?qū)?X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間.定義2設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,xλ∈Copr(LX),P∈LX且τ(P)>0,xλ?P,則稱P為xλ的遠(yuǎn)域,記xλ的全體域構(gòu)成的集合為τ(xλ).定義3設(shè)D是定向集,X是非空集合,則稱映射S∶D→X為X中的網(wǎng).特別的設(shè)L為完備格,Copr(LX)是LX中的全體余素元之集,則稱映射S∶D→Copr(LX)為X中的分子網(wǎng).網(wǎng)常記作S=(S(d),D).定義4設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,xλ∈Copr(LX),S=(S(d),D)是X中的分子網(wǎng).如果對(duì)任意的P∈τ(xλ),存在n0∈D,使得當(dāng)d≥n0時(shí),S(d)≤/P,則稱xλ為S的極限點(diǎn),或稱S收斂于xλ,記作S→xλ.S的一切極限點(diǎn)之并記作limS.定義5設(shè)(X,τ1)和(Y,τ2)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,f∶X→Y為映射,若對(duì)任意的B∈LX,有τ1(f←L(B))≥τ2(B),則稱f∶X→Y為從(X,τ1)到(Y,τ2)的連續(xù)閉映射.若f∶X→Y為一一映射,且f與f-1都連續(xù),則稱(X,τ1)與(Y,τ2)同胚.定義6設(shè)(X,τ1)和(Y,τ2)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,f∶X→Y為映射,若對(duì)任意的A∈LX,有τ2(f→L(A))≥τ1(A),則稱f∶X→Y為從(X,τ1)到(Y,τ2)的閉映射.易得以下結(jié)論:命題1設(shè)(X,τ1)和(Y,τ2)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,(X,τ1)與(Y,τ2)同胚當(dāng)且僅當(dāng)存在一一映射f∶X→Y為從(X,τ1)到(Y,τ2)的連續(xù)閉映射.注1設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,Y?X.定義τY∶LY→L如下:τY(B)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=B}(?B∈LY),則τY是Y上的一個(gè)L-fuzzy閉包系統(tǒng),稱為由τ誘導(dǎo)的Y上的L-fuzzy閉包系統(tǒng),并稱(Y,τY)為(X,τ)的子空間,有時(shí)也記τ|Y=τY.注2設(shè){(Xt,τt)}t∈T為一族L-fuzzy閉包空間,X=∏t∈ΤXt,pt∶Xt→X為第t個(gè)投影映射(?t∈T).定義φ,τ∶LX→L如下:對(duì)任意的W∈LX,φ(W)=∨t∈Τ∨(pt)←L(U)=Wτt(U),τ(W)=∨∧λ∈ΛBλ=W∧λ∈Λφ(Bλ)則τ∶LX→L為X上的L-fuzzy閉包系統(tǒng).L-fuzzy閉包系統(tǒng)(X,τ)稱為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間族{(Xt,τt)}t∈T的乘積空間,φ∶LX→L稱為τ∶LX→L的基.易證,對(duì)任意的t∈T,pt∶X→Xt為從(X,τ)到(Xt,τt)的連續(xù)映射.定義7設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,A∈LX,定義A的閉包(記作ˉA或A-)如下:ˉA=∧{Κ∈LX|A≤Κ,τ(Κ)＞0}.3l-sfzy閉包空間定義8設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間.如果對(duì)任意的x,y∈X,以及任意的λ,μ∈Copr(L),xλ≤/yμ,存在P∈τ(xλ),使得yμ≤P,則稱(X,τ)為T(mén)1空間.定理1設(shè)L為閉集格,(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間,則(X,τ)是T1空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的xλ∈Copr(LX),x-λ=xλ.證明必要性.設(shè)(X,τ)是T1空間,xλ∈Copr(LX).首先,由閉包的定義可知,xλ≤x-λ.另一方面,設(shè)yμ≤x-λ.如果yμ≤/xλ,則有Q∈τ(yμ),使得xλ≤Q.這與yμ≤x-λ矛盾.所以yμ≤xλ,這說(shuō)明x-λ≤xλ,所以x-λ≤xλ,所以x-λ=xλ.充分性.設(shè)(X,τ)不是T1空間,則存在xλ,yμ∈Copr(LX),xλ≤/yμ,但對(duì)任意的P∈τ(xλ),有yμ≤/P.這表明xλ≤y-μ.所以yμ≤y-μ.定理2設(shè)(X,τ1),(Y,τ2)為同胚的L-fuzzy閉包空間,且(X,τ1)是T1空間,則(Y,τ2)也是T1空間.證明(X,τ1),(Y,τ2)為同胚的L-fuzzy閉包空間,(X,τ1)是T1空間.則存在一一映射f∶X→Y為從(X,τ1)到(X,τ2)的連續(xù)閉映射.設(shè)xλ,yμ∈Copr(LY),且xλ,yμ∈Copr(LY),且xλ≤/yμ.令ˉx=f-1(x),ˉy=f-1(y),則ˉxλ,ˉyμ∈Copr(LX),且ˉxλ≤/ˉyμ.由(X,τ1)是T1空間知,存在P∈τ1(xˉλ),使得yˉμ≤Ρ,即存在P∈LX,使得τ1(Ρ)＞0,xλ≤/Ρ,yˉμ≤Ρ.由f∶X→Y為閉映射知,τ2(f→L(P))≥τ1(P)>0.由xˉλ≤/Ρ知,fL→(Ρ)(x)=Ρ(xˉ)≥/λ,故xλ≤/f→L(P).由yμ≤P知,fL→(Ρ)(y)=Ρ(yˉ)≥μ,故yμ≤f→L(P).所以f→L(P)∈τ2(xλ),且yμ≤f→L(P),因此(Y,τ2)也是T1空間.下面證明L-fuzzy閉包空間T1空間分離性具有遺傳性.定理3T1分離性是遺傳的.即如果(X,τ)是T1空間,Y?X,則其子空間(Y,τY)也是T1空間.證明設(shè)(X,τ)為T(mén)1空間,Y?X,xλ,yμ∈Copr(LY),且xλ≤/yμ.則xλ,yμ在X上擴(kuò)張x*λ,y*μ∈Copr(LX),且x*λ≤/y*μ.因此,由(X,τ)是T1空間可知,存在P∈τ(x*λ),使得y*μ≤P.由P∈τ(x*λ)知,x*λ≤/P且τ(P)>0.故xλ=x*λ|Y≤/P|Y,且τY(P|Y)=∨{τ(C)|C∈LX,C|Y=P|Y}≥τ(P)>0.因此,P|Y∈τY(xλ).由y*μ≤P知,yμ=y*μ|Y≤P|Y.從而有(Y,τY)是T1空間.下面定理將討論L-fuzzy閉包空間中T1分離性的可乘性.定理4設(shè){(Xt,τt)}t∈T為一族L-fuzzy閉包空間,T≠?,(X,τ)為它們的乘積空間.若對(duì)任意的t∈T,(Xt,τt)為T(mén)1空間,則(X,τ)也是T1空間.證明設(shè)對(duì)任意的t∈T,(Xt,τt)為T(mén)1空間,(X,τ)為它們的乘積空間,xλ,yμ∈Copr(LX),其中x={xt}t∈T,y=ytt∈T,且xλ≤/yμ.由xλ≤/yμ可知,存在t∈T,使得(xt)λ≤/(yt)μ.由(Xt,τx)為T(mén)1空間可知,存在P∈τt((xt)λ),使得(yt)μ≤P.由P∈τt((xt)λ)知,(xt)λ≤/P,且τt(P)>0,由pt∶X→Xt連續(xù)知,τ((pt)←L(P))≥τt(P)>0.由(xt)λ≤/P知,(pt)←L(P)(x)=P(xt)≥/λ,即xλ≤/(pt)←L(P).由(yt)μ≤P知,(pt)←L(P)(y)=P(yt)≥μ,即yμ≤(pt)←L(P).所以(pt)←L(P)∈τ(xλ),且使得yμ≤(pt)←L(P),因此,(X,τ)為T(mén)1空間.4l-sfzy閉包空間tl-1定義9設(shè)(X,τ)為L(zhǎng)-fuzzy閉包空間.如果對(duì)任意的x,y∈X,x≠y,以及任意的λ∈Copr(L),當(dāng)x≠y時(shí),存在P∈τ(xλ)和Q∈τ(yμ),使得P∨Q=1X,則稱(X,τ)為T(mén)2空間.定理5設(shè)L為閉集格,(X,τ)為T(mén)2的L-fuzzy閉包空間,則對(duì)于X中的每個(gè)分子網(wǎng)S,都有|supp(limS)|≤1.證明設(shè)(X,τ)是T2空間,S={S(n),n∈D}是X中的分子網(wǎng),xλ,yμ∈Copr(LX),且xλ,yμ是S的極限點(diǎn).如果x≠y,則有P∈τ(xλ),Q∈τ(yμ),使得P∨Q=1X.因?yàn)镾→xλ,所以存在m1∈D使得n≥m1時(shí),S(n)≤/P.又,S→yμ,所以存在m2∈D,使得當(dāng)n≥m2時(shí),S(n)≤/Q.由D是定向集可知,存在m∈D,使得m≥m1,且m≥m2.當(dāng)n≥m時(shí),由S(n)∈Copr(LX)可知,S(n)S(n)≤/P∨Q=1X,矛盾.定理6設(shè)(X,τ1),(Y,τ2)為同胚的L-fuzzy閉包空間,且(X,τ1)是T2空間.則(Y,τ2)也是T2空間.證明:設(shè)(X,τ1),(Y,τ2)為同胚的L-fuzzy閉包空間,(X,τ1)是T2空間.則存在一一映射f∶X→Y為從(X,τ1)到(X,τ2)的連續(xù)閉映射.設(shè)xλ,yμ∈Copr(LY),且x≠y.令xˉ=f-1(x),yˉ=f-1(y),則xˉλ,yˉμ∈Copr(LX),且xˉ≠yˉ.由(X,τ1)是T2空間知,存在P∈τ1(xλ),Q∈τ1(yˉμ),使得P∨Q=1X,即存在P,Q∈LX,使得τ1(Ρ)＞0,τ1(Q)＞0.xˉλ≤/Ρ,yˉμ≤/Q,且P∨Q=1X.由f∶X→Y為閉映射知,τ2(f→L(P))≥τ1(P)>0.由xˉλ≤/Ρ知,fL→(Ρ)(x)=Ρ(xˉ)≥/λ,故xλ≤/f→L(P).從而有f→L(P)∈τ2(xλ).同理,f→L(Q)∈τ2(yμ).另外,由f∶X→Y為滿射知,f→L(P)∨f→L(Q)=f→L(P∨Q)=f→L(1X)=1Y.因此(Y,τ2)也是T2空間.下面證明L-fuzzy閉包空間T2空間中分離性具有遺傳性.定理7T2分離性是遺傳的.即如果(X,τ)是T1空間,Y?X,則其子空間(Y,τY)也是T2空間.證明設(shè)(X,τ)為T(mén)1空間,Y?X,xλ,yμ∈Copr(LY),且x≠y.則xλ,yμ在X上擴(kuò)張x*λ,y*μ∈Copr(LX),由(X,τ)是T2空間可知,存在P∈τ(x*λ),Q∈τ(y*μ),使得P∨Q=1X,由P∈τ(x*λ)知,x*λ≤/P且τ(P)>0.故xλ=x*λ|Y≤/P|Y,因此P|Y∈τY(xλ).由Q∈τ(y*μ)知,y*μ≤/Q且τ(Q)>0.故yμ=y*μ|Y≤/Q|Y,因此Q|Y∈τY(yμ).由P∨Q=1X,P|Y∨Q|Y=1Y.從而有(Y,τY)是T2空間.下面討論L-fuzzy閉包空間T2空間分離性的可乘性.定理8設(shè){(Xt,τt)}t∈T為一族L-fuzzy閉包空間,T≠?,(X,τ)為它們的乘積空間.若對(duì)任意的t∈T,(Xt,τt)為T(mén)2空間,則(X,τ)也是T2空間.證明設(shè)對(duì)任意的t∈T,(Xt,τt)為T(mén)2空間,(X,τ)為它們的乘積空間,xλ,yμ∈Copr(LX),其中x={xt}t∈T,y={yt}t∈T,且x≠y.由x≠y可知,存在t∈T,使得xt≠yt,且(xt)λ,(yt)μ∈Copr(LXt).由(Xt,τx)為T(mén)2空