兩個(gè)具有推廣的ou-iang型非線性積分不等式

兩個(gè)具有推廣的ou-iang型非線性積分不等式

1負(fù)負(fù)連續(xù)函數(shù)的計(jì)算眾所周知，gronwall-beck-bihari分類(lèi)在討論方程解的穩(wěn)定性、邊界性和接近性方面發(fā)揮著重要作用。因此，關(guān)于這種差分等的研究很多，并在本文中給出了一個(gè)新的等高詞。在本文中，作者還提供了一系列關(guān)于ou-id等分類(lèi)的介紹，并提供了以下工作。定理A設(shè)φ∈C(R+,R+)(這里的C(R+,R+)記所有R+上實(shí)值、非負(fù)連續(xù)函數(shù))是嚴(yán)格遞增的,φ(∞)=∞;ψ∈C(R+,R+)是遞增的,且u,F∈C(R+,R+).若對(duì)常數(shù)C≥0及t∈R+,有φ[u(t)]≤C+∫t0F(s)ψ[u(s)]ds,(1)則不等式u(t)≤φ-1{G-1[G(c)+∫t0F(s)ds]}(2)對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證G(c)+∫t0F(s)ds∈Dom(G-1)?(3)其中G(z):=∫zz0dsψ[φ-1(s)]?z≥z0＞0.(4)在本文中,我們將在這方面作進(jìn)一步的研究,企圖獲得更具廣泛性的Ou-Iang型非線性積分不等式.為此,我們先引述下面的定理B設(shè)x,k1,k2∈C(R+,R+),Ω∈C(R+,R+)為嚴(yán)格遞增的,且為次可乘的,即對(duì)x,y∈R+,滿足Ω(xy)≤Ω(x)Ω(y).若對(duì)常數(shù)C≥0及t∈R+,有x(t)≤C+∫t0k1(s)x(s)ds+∫t0k2(s)Ω(x(s))ds,(5)則不等式x(t)≤exp(∫t0k1(s)ds)G-1[G(c)+∫t0k2(s)exp(-∫s0k1(ξ)dξ)Ω(exp∫s0k1(ξ)dξ)ds](6)對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證G(c)+∫t0k2(s)exp(-∫s0k1(ξ)dξ)Ω(exp∫s0k1(ξ)dξ)ds∈Dom(G-1)?其中G(z):=∫zz0dsΩ(s)?z≥z0＞0.(7)2[ut+0.b根據(jù)定理B,我們得到下面的比定理A更為廣泛的積分不等式.定理1設(shè)φ∈C(R+,R+)為嚴(yán)格遞增的,φ(∞)=∞;ψ∈C(R+,R+)為遞增的;ψo(hù)φ-1∈C(R+,R+)是嚴(yán)格遞增的,且ψo(hù)φ-1是次可乘的.另外,u,H,F∈C(R+,R+).若對(duì)常數(shù)C≥0及t∈R+,有φ[u(t)]≤C+∫t0Η(s)φ[u(s)]ds+∫t0F(s)ψ[u(s)]ds,(8)則不等式u(t)≤φ-1{exp(∫t0Η(s)ds)G-1[G(c)+∫t0F(s)exp(-∫s0Η(ξ)dξ)?ψ(φ-1(exp∫s0Η(ξ)dξ))ds]}(9)對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證G(c)+∫t0F(s)exp(-∫s0Η(ξ)dξ)?ψ(φ-1(exp∫s0Η(ξ)dξ))ds∈Dom(G-1)?(10)其中G(z):=∫zz0dsψ(φ-1(s))?z≥z0＞0.(11)證明由已知條件,(8)可改寫(xiě)為φ[u(t)]≤C+∫0tΗ(s)φ[u(s)]ds+∫0tF(s)ψ(φ-1(φ[u(s)]))ds.(12)再根據(jù)已知條件及定理B,并考慮到Ω:=ψo(hù)φ-1,從(12)立得,φ[u(t)]≤exp(∫0tΗ(s)ds)G-1[G(c)+∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)?ψ(φ-1(exp∫0sΗ(ξ)dξ))ds],注意到φ的嚴(yán)格單調(diào)性,就可得到不等式(9)對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證(10)成立,其中G(z)=∫z0zdsΩ(s)=∫z0zdsψ(φ-1(s))(z≥z0＞0),這便是(11).定理1有一些重要的推論.假若在定理1中令φ(u)=up,立即可得下面的推論1設(shè)p>0,ψ∈C(R+,R+)遞增且是次可乘的,而u,F,H∈C(R+,R+).若對(duì)C≥0及t∈R+,有up(t)≤C+∫0tΗ(s)up(s)ds+∫0tF(s)ψ[u(s)]ds,(13)則不等式u(t)≤{exp(∫0tΗ(s)ds)G-1[G(c)+∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)?ψ(exp(1p∫0sΗ(ξ)dξ))ds]}1p(14)對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證G(c)+∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)ψ(exp(1p∫0sΗ(ξ)dξ))ds∈Dom(G-1),其中G(z):=∫z0zdsψ(s1p)?z≥z0＞0.(15)注1推論1也有兩個(gè)重要特例:(1)當(dāng)令p=2時(shí),推論1就變?yōu)槲闹械亩ɡ?.(2)當(dāng)令p=2,H(t)=2f(t),F(t)≡2h(t),ψ(u)=u時(shí),從推論1就能得到如下的結(jié)果:設(shè)u,f,h∈C(R+,R+),若對(duì)C≥0及t∈R+,有u2(t)≤C2+2∫0t[f(s)u2(s)+h(s)u(s)]ds?(16)則對(duì)t∈R+成立不等式u(t)≤exp(∫0tf(s)ds)[C+∫0th(s)exp(-∫0sf(ξ)dξ)dξ].(17)顯然,這個(gè)結(jié)果比Pachpatte在所給出的定理1(a1)的類(lèi)似結(jié)果要精確,因?yàn)樵诓坏仁?17)中的第二個(gè)積分號(hào)下多了一個(gè)小于1的正因子exp(-∫0sf(ξ)dξ).另外,C.M.Dafermos在中為建立熱力學(xué)第二定律與穩(wěn)定性的聯(lián)系時(shí)也曾給出一個(gè)積分不等式,那個(gè)不等式也是本附注結(jié)果的特殊情況.如果我們?cè)诙ɡ?中令H(t)≡0,就能得到下面的推論2假定φ,ψ,u和F如定理1所設(shè),若對(duì)C≥0及t∈R+,有φ[u(t)]≤C+∫0tF(s)ψ[u(s)]ds?(18)則不等式u(t)≤φ-1{G-1[G(c)+ψ(φ-1(1))∫0tF(s)ds]}(19)對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證G(c)+ψ(φ-1(1))∫0tF(s)ds∈Dom(G-1),(20)其中G如(11)所定義.注2這個(gè)推論2同引言中定理A類(lèi)似,但本推論2要求ψo(hù)φ-1是次可乘的.然而,我們須順便指出,對(duì)于定理A不必用中證法.事實(shí)上,先將(18)寫(xiě)成φ[u(t)]≤C+∫0tF(s)ψ(φ-1φ[u(s)])ds,再用Bihari不等式立即可得φ[u(t)]≤G-1[G(c)+∫0tF(s)ds]對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證(3)成立,其中G如(4)定義.進(jìn)一步在定理1中含φ(u)=up,ψ(u)=uq(p>0,q>0),就可以得到下面的推論3設(shè)p>0,q>0,u,H,F∈C(R+,R+).若對(duì)C≥0及t∈R+,有up(t)≤C+∫0tΗ(s)up(s)ds+∫0tF(s)uq(s)ds,(21)則1)當(dāng)p>q時(shí),對(duì)t∈R+成立不等式u(t)≤exp(1p∫0tΗ(s)ds)[Cp-qp+p-qp∫0tF(s)exp(q-pp∫0sΗ(ξ)dξ)ds]1p-q.(22)2)當(dāng)p=q,對(duì)t∈R+成立不等式u(t)≤C1pexp(1p∫0t(Η(s)+F(s))ds).(23)事實(shí)上,1),當(dāng)p>q時(shí),φ-1(u)=u1p?ψ(φ-1(u))=uqp為次可乘的.易見(jiàn),G(z)=∫1zdssq/p=pp-q(zp-qp-1),從而G-1(z)=(p-qpz+1)pp-q,據(jù)此從(9)立得(22)成立.2)當(dāng)p=q,φ-1(u)=u1p?ψ(φ-1(u))=u為次可乘的.于是,G(z)=∫1zdss=lnz,從而G-1(z)=ez,據(jù)此,從(9)就可得到(23).注3推論3推廣了許多重要的不等式,譬如,當(dāng)令H(t)≡0時(shí),推論3就變成文中的定理2.又如令H(t)≡0,p=2,F(t)≡2f(s),q=1,推論3就變成Ou-Iang不等式(見(jiàn)).接下來(lái),我們進(jìn)一步考慮將定理1中的常數(shù)C換成函數(shù)k(t),從而給出了下面的定理2設(shè)φ∈C(R+,R+)嚴(yán)格遞增,φ(∞)=∞,k,ψ∈C(R+,R+)遞增;ψo(hù)φ-1∈C(R+,R+)且ψo(hù)φ-1是次可乘的.另外,u,H,F∈C(R+,R+).若對(duì)t∈R+成立不等式φ[u(t)]≤k(t)+∫0tΗ(s)φ[u(s)]ds+∫0tF(s)ψ[u(s)]ds,(24)則不等式u(t)≤φ-1{k(t)exp(∫0tΗ(s)ds)G-1[G(1)+ψ[φ-1(k(t)]k(t)∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)?ψ(φ-1(exp∫0sΗ(ξ)dξ))ds]}(25)對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證G(1)+ψ[φ-1(k(t))]k(t)∫0tF(s)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)ψ(φ-1(exp∫0sΗ(ξ)dξ))ds∈Dom(G-1)?(26)其中G如(11)所定義.證明今任取σ∈R+,由定理?xiàng)l件及(24),對(duì)t∈[0,σ],有φ[u(t)]≤k(σ)+∫0tΗ(s)φ[u(s)]ds+∫0tF(s)ψ[u(s)]ds.用k(σ)>0除上式兩邊,并將ψ[u(s)]改寫(xiě)成ψ(φ-1(φ[u(s)])),就得到φ[u(t)]k(σ)≤1+∫0tΗ(s){φ[u(s)]k(σ)}ds+∫0tF(s){ψ(φ-1(φ[u(s)]))k(σ)}ds.(27)又因ψo(hù)φ-1為次可乘的,當(dāng)設(shè)Ω:=ψo(hù)φ-1,對(duì)于γ=α·β(α,β>0),就成立Ω(γ)=Ω(αβ)≤Ω(α)Ω(β)=Ω(β)Ω(γβ)?即對(duì)γ,β>0,成立Ω(γ)β≤Ω(β)β?Ω(γβ).(28)利用不等式(28),就有ψ(φ-1(φ[u(s)]))k(σ)≤ψ(φ-1(φ[k(σ)]))k(σ)ψ(φ-1(ψ[u(s)]k(σ))).將此代入(27),就有φ[u(t)]k(σ)≤1+∫0tΗ(s){φ[u(s)]k(σ)}ds+∫0tF(s)ψ(φ-1(k(σ)))k(σ)ψ(φ-1(φ[u(s)]k(σ)))ds.(29)根據(jù)定理B,從(29)可以推出φ[u(t)]k(σ)≤exp(∫0tΗ(s)ds)G-1[G(1)+∫0tF(s)ψ(φ-1(k(σ)))k(σ)exp(-∫0sΗ(ξ)dξ)?ψ(φ-1(exp∫0sΗ(ξ)dξ))ds](30)對(duì)一切t∈[0,σ]成立.考慮到σ∈R+的任意性,由(30)知不等式(25)對(duì)一切t∈[0,T]成立,這樣的t保證(26)成立,其中G由(11)所定義.在下段我們將舉例說(shuō)明定理2的應(yīng)用.3t型例考察非線性滯后型微分差分方程ddtΡ(x(t))=aΡ(x(t-r))+b(x(t-r))+f(t)(31)解的有界性,其中a,b和r為常數(shù),r>0,P在R+上連續(xù)、嚴(yán)格遞增.Q在R+連續(xù)遞增,QoP-1在R+上是次可乘的,f在R+上連續(xù).另外,設(shè)x(t)∈C(R+,R+)是方程(31)滿足初始條件x(t)=φ(t)(t∈[-r,0])的解,其中φ(t)是[-r,0]上已知連續(xù)函數(shù),記|φ|=sup-r≤θ≤0|φ(θ)|.顯然,對(duì)t∈R+,有Ρ(x(t))=Ρ(x(0))+∫0t[aΡ(x(s-r))+b(x(s-r))+f(s)]ds?從而|Ρ(x(t))|≤|p(|φ|)|+∫-rt|a||Ρ(x(s))|ds+∫-rt|b||Q(x(s))|ds+∫0t|f(s)|ds?(32)又因∫-r0|a||Ρ(x(s))|ds≤|a||Ρ(|φ|)|r,∫-r0|b||Q(x(s))|ds≤|b||Q(|φ|)|r,所以,(32)又可寫(xiě)成|Ρ(x(t))|≤[(1+r|a|)|Ρ(|φ|)|+r|b||Q(|φ|)|+∫0t|f(s)|ds]+∫0t|a||Ρ(x(s))|ds+∫0t|b||Q(x(s))|ds,(33)根據(jù)定理2,從(33)可以得到估計(jì)|x(t)|≤Ρ-1{k(t)exp(|a|t)G-1[G(1