空間向量法解決立體幾何問題

.z.空間向量坐標(biāo)法解決立體幾何問題一．建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，能求點的坐標(biāo)；1、三條直線交于一點且兩兩垂直;方便求出各點的坐標(biāo)。2、如何求出點的坐標(biāo)：先求線段的長度(特別是軸上線段)：由條件可全部求出來；假設(shè)不能，則可先設(shè)出來。〔1〕軸上的點*軸--〔a,0,0〕,y軸--〔0,b,0〕,z軸--〔0,0,c〕〔2〕三個坐標(biāo)面上的點或求出過點作垂直軸的線段長度，*0y〔a,b,0〕,y0z〔0,b,c〕,*0z〔a,0,c〕〔3〕其它的點：或求出過點作垂直面的線段長度；〔4〕中點坐標(biāo)：A(*1,y1,z1),B(*2,y2,z2)則線段AB的中點：3、動點問題的處理待定系數(shù)法法一：直接設(shè)出來，然后根據(jù)條件求出來〔1〕軸上：，、；〔2〕面上：、、；〔3〕其它：。法二：A(*1,y1,z1)、B(*2,y2,z2)，M是AB上的動點：設(shè)，由，用表示點的坐標(biāo)。4、有向線段的坐標(biāo)：A(*1,y1,z1),B(*2,y2,z2)則二、重要公式或結(jié)論：設(shè)，向量的數(shù)量積：，向量的模：，向量的夾角：兩向量共線：兩向量垂直：1、如圖，長方體AD=1，垂直于，為的中點.〔1〕建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求各點的坐標(biāo)及與的坐標(biāo)?！?〕M是FD上的點：假設(shè)，求M點的坐標(biāo)假設(shè)，求M點的坐標(biāo)〔用表示〕三、引入兩個重要的空間向量1.直線的方向向量把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由與確定的直線AB的方向向量是2.平面的法向量如果表示向量的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作⊥α,這時向量叫做平面α的法向量.2.1假設(shè)法向量的模為1，則法向量叫做平面α的單位法向量.2.2在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢"如圖,設(shè)、是平面α的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,假設(shè)⊥且⊥,則⊥α.換句話說,假設(shè)·=0且·=0,則⊥α.2.3求平面的法向量:〔一〕直接法：線段中存在〔二〕待定系數(shù)法步驟如下：第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為=(*,y,z).在平面中找兩條相交直線，求其方向向量，第二步(列):根據(jù)·=0且·=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示*、y.第四步(取):取z為任意正數(shù)(如1，當(dāng)然取得越特殊越好),從而得到平面法向量的坐標(biāo)(*,y,z)。例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1〔1〕求面OA1D1的法向量.〔2〕求面的法向量。答案：案：練習(xí)：點A〔1，0，0〕，B〔0，1，0〕，C〔0，0，1〕，求平面ABC的一個單位法向量。答案：案：四、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；(1)直線與直線的位置關(guān)系;線//：存在實數(shù)使線：(2)直線與平面的位置關(guān)系線//面：〔是面的法向量〕線面：〔1〕、〔是面的相交直線〕〔2〕〔是面的法向量〕(3)平面與平面的位置關(guān)系//：〔是平面、的法向量〕：〔是平面、的法向量〕簡單應(yīng)用練習(xí)：設(shè)直線n，m的方向向量分別為，，根據(jù)條件判斷n，m的位置關(guān)系：〔1〕〔2〕〔3〕例2：在三棱柱ABC-中，底面是正三角形，底面ABC，，求證：練習(xí)：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1M、N分別為AB1、PQ的中點。求證：MN//平面ABCD。例4：在正方體ABCD-中，E,F分別是的中點，求證：面⊥面BDE2、求解空間中的角度；由可得：異面直線與所成的角：斜線與平面所成的角：記，則〔是面的法向量，〕3.的平面角：〔是、的法向量〕〔也可能是鈍角，因為二面角α-L-β的大小與法向量夾角相等或互補，要結(jié)合具體的題目判斷〕例5如圖:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,求對角線DB1例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側(cè)面ABB1A1練習(xí)：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2,則直線BC1和平面DBB1D例7在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側(cè)棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小練習(xí)：如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，．求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值．例8：〔09.理〕在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，AC=AA1=，，證明：〔1〕AB⊥；〔2〕求二面角A--B的大小。3、求解空間中的距離：(1)點到平面的距離：1、直接求點到平面的垂線長；2、等體積法〔通常放在三棱錐中，求平面的高〕3、向量法代點到面的距離公式，如下；設(shè)A為平面α外一點,為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.點到面的距離：〔是面的法向量、線段是經(jīng)過點的任意斜線段〕〔2〕線到面的距離、面面距離轉(zhuǎn)化為點到面的距離求解；〔3〕異面直線的距離：1、直接找公垂線求解；2、向量正投影法代異面直線的距離公式，如下；如圖,設(shè)兩條異面直線AC、BD的公垂線的方向向量為,即⊥AC，⊥BD，這時分別在直線AC、BD上各取一點，如A、B兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線AC、BD的距離.〔因為⊥AC，⊥BD，所以，由此可得異面直線AC、BD的公垂線的方向向量〕例9在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1B