函數(shù)的奇偶性及周期性知識點(diǎn)及題型歸納

.z.●高考明方向1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義．2.會運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性．3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性.*備考知考情1.對函數(shù)奇偶性的考察，主要涉及函數(shù)奇偶性的判斷，利用奇偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)解決相關(guān)問題，利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)值等．2.常與函數(shù)的求值及其圖象、單調(diào)性、對稱性、零點(diǎn)等知識交匯命題．3.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).一、知識梳理"名師一號"P18注意：研究函數(shù)奇偶性必須先求函數(shù)的定義域知識點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性的概念與圖象特征1.一般地，如果對于函數(shù)f(*)的定義域任意一個*，都有f(－*)＝f(*)，則函數(shù)f(*)就叫做偶函數(shù)．2.一般地，如果對于函數(shù)f(*)的定義域任意一個*，都有f(－*)＝－f(*)，則函數(shù)f(*)就叫做奇函數(shù)．3.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.知識點(diǎn)二奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)1.奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性一樣，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．2.假設(shè)f(*)是奇函數(shù)，且在*＝0處有定義，則.3.假設(shè)f(*)為偶函數(shù)，則."名師一號"P19問題探究問題1奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？(1)判斷函數(shù)的奇偶性，易無視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件．(2)判斷函數(shù)f(*)的奇偶性時，必須對定義域的每一個*，均有f(－*)＝－f(*)、f(－*)＝f(*)，而不能說存在*0使f(－*0)＝－f(*0)、f(－*0)＝f(*0)．(補(bǔ)充)1、假設(shè)奇函數(shù)的定義域包含，則．是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件2．判斷函數(shù)的奇偶性的方法〔1〕定義法：1)首先要研究函數(shù)的定義域，2)其次要考慮與的關(guān)系，也可以用定義的等價形式：〔對數(shù)型函數(shù)用〕，〔指數(shù)型函數(shù)用〕．3)分段函數(shù)應(yīng)分段討論〔2〕圖象法：利用奇偶函數(shù)圖象的對稱性來判斷．〔3〕復(fù)合函數(shù)奇偶性的判斷假設(shè)復(fù)合函數(shù)由假設(shè)干個函數(shù)復(fù)合而成，則復(fù)合函數(shù)可依假設(shè)干個函數(shù)的奇偶性而定，概括為“同奇為奇，一偶則偶〞．注意：證明函數(shù)的奇偶性的方法只有定義法知識點(diǎn)三函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(*)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)*取定義域的每一個值時，都有f(*＋T)＝f(*)，則就稱函數(shù)y＝f(*)為周期函數(shù)，稱非零常數(shù)T為這個函數(shù)的周期．2．最小正周期：如果在周期函數(shù)f(*)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，則這個最小正數(shù)就叫做f(*)的最小正周期．并不是任何周期函數(shù)都有最小正周期，如常量函數(shù)；3.幾個重要的推論〔1〕"名師一號"P19問題探究問題3假設(shè)函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個周期；假設(shè)函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個周期；假設(shè)函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個周期；(補(bǔ)充)假設(shè)函數(shù)恒滿足，則是周期函數(shù)，是它的一個周期；〔2〕(補(bǔ)充)注意區(qū)分：假設(shè)〔或〕則函數(shù)關(guān)于對稱。假設(shè)則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱。推廣：假設(shè)函數(shù)恒滿足則圖象的對稱軸為。〔3〕(補(bǔ)充)奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，且為其中的一個周期假設(shè)偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，且為其中的一個周期二、例題分析：〔一〕證明〔判斷〕函數(shù)的奇偶性例1.(補(bǔ)充)判斷以下函數(shù)的奇偶性．(1)f(*)＝(2－*)eq\r(\f(2＋*,2－*)).(2)f(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＋2*<－1,0|*|≤1,－*＋2*>1)).(3)f(*)＝eq\f(1,a*－1)＋eq\f(1,2)(a>0且a≠1)解析：(1)由eq\f(2＋*,2－*)≥0得定義域?yàn)閇－2,2)，關(guān)于原點(diǎn)不對稱，故f(*)為非奇非偶函數(shù)．(2)*<－1時，－*>1，∴f(－*)＝－(－*)＋2＝*＋2＝f(*)．*>1時，－*<－1，f(－*)＝－*＋2＝f(*)．－1≤*≤1時，f(*)＝0，－1≤－*≤1，f(－*)＝0＝f(*)．∴對定義域的每個*都有f(－*)＝f(*)．因此f(*)是偶函數(shù)．(3)∵f(*)的定義域?yàn)閧*|*∈R，且*≠0}，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，并且有f(－*)＝eq\f(1,a－*－1)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,\f(1,a*)－1)＋eq\f(1,2)＝eq\f(a*,1－a*)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1－a*－1,1－a*)＋eq\f(1,2)＝－1＋eq\f(1,1－a*)＋eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a*－1)＋\f(1,2)))＝－f(*)．即f(－*)＝－f(*)，∴f(*)為奇函數(shù)．(4)(補(bǔ)充)函數(shù)的圖象關(guān)于〔〕A．軸對稱 B．軸對稱 C．原點(diǎn)對稱D．直線對稱答案：B注意：(補(bǔ)充)1.如何判斷函數(shù)奇偶性：第一，求函數(shù)定義域，看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，假設(shè)不對稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．第二，假設(shè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)表達(dá)式能化簡的，則對函數(shù)進(jìn)展適當(dāng)?shù)幕?，以便于判斷，化簡時要保持定義域不改變；第三，利用定義進(jìn)展等價變形判斷．第四，分段函數(shù)應(yīng)分段討論，要注意據(jù)*的圍取相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式或利用圖象判斷．2．分段函數(shù)(2)判斷奇偶性畫圖判斷更方便直觀．(3)驗(yàn)證f(－*)＋f(*)＝0更方便些．溫故知新P13知識辨析2〔1〕〔2〕(1)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)〔〕(2)是偶函數(shù)〔〕答案：〔1〕奇函數(shù)〔2〕非奇非偶注意：1、關(guān)注定義域2、利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：〔對數(shù)型函數(shù)用〕，〔指數(shù)型函數(shù)用〕練習(xí)：(補(bǔ)充)判斷以下函數(shù)的奇偶性．(1)(2)(3)(4)(5)答案：〔1〕奇〔2〕偶〔3〕既奇又偶〔4〕偶；非奇非偶注意：否認(rèn)函數(shù)奇偶性：只須說明在定義域中，，使(5)證明：函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，所以.即，所以是奇函數(shù).〔二〕函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1、函數(shù)奇偶性，求值例1.〔1〕"名師一號"P19對點(diǎn)自測4〔2〕函數(shù)f(*)為奇函數(shù)，且當(dāng)*>0時，f(*)＝*2＋eq\f(1,*)，則f(－1)＝－2.()例1.〔2〕(補(bǔ)充)函數(shù)，假設(shè)，則等于〔〕A．B.C.D.答案：B注意：(補(bǔ)充)一般關(guān)于與的值或關(guān)系的問題首先考慮奇偶性。函數(shù)的奇偶性注意利用與的關(guān)系溫故知新P23第3題〔2013〕函數(shù)，則"名師一號"P19變式思考1〔2〕，假設(shè)，則練習(xí):(補(bǔ)充)，其中為常數(shù)，假設(shè)，則_______答案：2、函數(shù)奇偶性，求參數(shù)的值或取值圍例1."名師一號"P19對點(diǎn)自測3f(*)＝a*2＋b*是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，則a＋b的值是()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)解析依題意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝eq\f(1,3)，則a＋b＝eq\f(1,3).例2."名師一號"P20特色專題典例〔1〕假設(shè)函數(shù)f(*)＝eq\f(k－2*,1＋k·2*)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝___.【規(guī)解答】∵f(－*)＝eq\f(k－2－*,1＋k·2－*)＝eq\f(k·2*－1,2*＋k)，∴f(－*)＋f(*)＝eq\f(k－2*2*＋k＋k·2*－1·1＋k·2*,1＋k·2*2*＋k)＝eq\f(k2－122*＋1,1＋k·2*2*＋k).由f(－*)＋f(*)＝0可得k2＝1，∴k＝±1.注意：本例易無視函數(shù)f(*)的定義域，直接通過計算f(0)＝0得k＝1.注意：1、利用函數(shù)奇偶性的定義：與的關(guān)系，也可以用定義的等價形式：〔對數(shù)型函數(shù)用〕，〔指數(shù)型函數(shù)用〕2、利用特殊值與的關(guān)系得到關(guān)于待求參數(shù)的方程〔組〕求得參數(shù)再利用奇偶性的定義證明切記:假設(shè)奇函數(shù)的定義域包含，則．是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件練習(xí):(補(bǔ)充)1、是偶函數(shù)，定義域?yàn)?則，解：函數(shù)是偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.∴，2、設(shè)函數(shù)f(*)＝eq\f(*＋1*＋a,*)為奇函數(shù)，則a＝__分析：∵f(*)為奇函數(shù)，定義域?yàn)閧*|*∈R且*≠0}，故對?*∈R且*≠0有f(－*)＝－f(*)，從而可取*個特殊值(例如*＝1)求解解析：∵f(*)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)，∴a＝－1.須檢驗(yàn)!法二:由定義求解對?*∈R且*≠0有f(－*)＝－f(*)恒成立答案：－13.定義在上的奇函數(shù)，則常數(shù)____,_____。答案：；.3、函數(shù)奇偶性，求解析式例1."名師一號"P20變式思考2〔2〕函數(shù)在R是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則的解析式為________答案：例2．(補(bǔ)充)設(shè)f(*)為奇函數(shù)，g(*)為偶函數(shù)，假設(shè)f(*)－g(*)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))*，比擬f(1)、g(0)、g(－2)的大小________．分析：奇偶性討論的就是f(－*)與f(*)的關(guān)系，如果題目中涉及*與－*的函數(shù)值之間的關(guān)系，一般考慮用奇偶性解決．如果告訴了函數(shù)的奇偶性，應(yīng)從f(－*)＝±f(*)入手．解析：∵f(*)為奇函數(shù)，g(*)為偶函數(shù)，∴f(－*)＝－f(*)，g(－*)＝g(*)．∴f(－*)－g(－*)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－*，即－f(*)－g(*)＝2*.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f*－g*＝2－*,－f*－g*＝2*))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f*＝\f(2－*－2*,2),g*＝－\f(2*＋2－*,2)))∴f(1)＝－eq\f(3,4)，g(0)＝－1，g(－2)＝－eq\f(17,8)，∴g(－2)<g(0)<f(1)．注意：函數(shù)的奇偶性注意利用與的關(guān)系計時雙基練P220培優(yōu)3〔三〕抽象函數(shù)奇偶性例1.(補(bǔ)充)假設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于〔〕A.軸對稱B.軸對稱C.原點(diǎn)對稱D.以上均不對答案：B注意：抽象函數(shù)奇偶性應(yīng)立足定義，即從考慮與的關(guān)系入手例2.(補(bǔ)充)定義在R上的函數(shù)y＝f(*)，對任意實(shí)數(shù)*1、*2都有f(*1＋*2)＝f(*1)＋f(*2)，判斷函數(shù)y＝f(*)的奇偶性，并證明．解析：令*1＝*2＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.令*1＝*，*2＝－*得，f(0)＝f(*)＋f(－*)∴f(－*)＋f(*)＝0，∴f(*)是奇函數(shù)．注意：(補(bǔ)充)抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性判斷〔證明〕均立足定義1、抽象函數(shù)奇偶性判斷〔證明〕賦值法，從考慮與的關(guān)系入手2、抽象函數(shù)的單調(diào)性判斷〔證明〕賦值法，在指定區(qū)間任取，從考慮的大小關(guān)系入手3、解決抽象函數(shù)時?？蓞⒄站唧w的模型函數(shù)來發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)或?qū)ふ宜悸?，但絕對不能以具體的特殊函數(shù)來代替抽象的一般函數(shù)進(jìn)展推理抽象函數(shù)關(guān)系式相應(yīng)的模型函數(shù)練習(xí)：(補(bǔ)充)1、函數(shù)f(*)，當(dāng)*、y∈R時，恒有f(*＋y)＝f(*)＋f(y)．(1)求證：f(*)是奇函數(shù)；(2)如果*>0時，f(*)<0，并且f(1)＝－，試求f(*)在區(qū)間[－2,6]上的最值．解析：(1)證明：∵函數(shù)定義域?yàn)镽，∴在f(*＋y)＝f(*)＋f(y)中令y＝－*得，∴f(0)＝f(*)＋f(－*)．令*＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.∴f(－*)＝－f(*)，∴f(*)為奇函數(shù)．(2)解：設(shè)*1<*2，且*1、*2∈R.則f(*2－*1)＝f[*2＋(－*1)]＝f(*2)＋f(－*1)＝f(*2)－f(*1)．∵*2－*1>0，∴f(*2－*1)<0.∴f(*2)－f(*1)<0.即f(*)在R上單調(diào)遞減．從而f(*)在[－2,6]上為減函數(shù)．∴f(－2)為最大值，f(6)為最小值．∵f(1)＝－，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝－1，∴f(－2)＝－f(2)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(*)在區(qū)間[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.2、函數(shù)y＝f(*)對任意*、y∈R，均有f(*)＋f(y)＝f(*＋y)，且當(dāng)*>0時，f(*)<0，f(1)＝－.(1)判斷并證明f(*)在R上的單調(diào)性；(2)求f(*)在[－3,3]上的最值．解析：(1)f(*)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)證明如下：令*＝y(tǒng)＝0，∴f(0)＝0，令y＝－*可得：f(－*)＝－f(*)，在R上任取*1、*2且*1<*2，則*2－*1>0，∴f(*2)－f(*1)＝f(*2)＋f(－*1)＝f(*2－*1)．又∵*>0時，f(*)<0，∴f(*2－*1)<0，即f(*2)<f(*1)．由定義可知f(*)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．(2)∵f(*)在R上是減函數(shù)，∴f(*)在[－3,3]上也是減函數(shù)．∴f(－3)最大，f(3)最?。甪(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×＝－2.∴f(－3)＝－f(3)＝2.即f(*)在[－3,3]上最大值為2，最小值為－2.〔四〕函數(shù)的周期性例1."名師一號"P19對點(diǎn)自測5定義在R上的函數(shù)f(*)滿足f(*)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*＋\f(3,2)))，且f(1)＝2，則f(2014)＝________.解析∵f(*)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*＋\f(3,2)))，∴f(*＋3)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*＋\f(3,2)))＋\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*＋\f(3,2)))＝f(*)．∴f(*)是以3為周期的周期函數(shù)．則f(2014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.〔五〕函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合應(yīng)用例1.(補(bǔ)充)定義在R上的偶函數(shù)f(*)滿足：對任意的*1，*2∈(－∞，0](*1≠*2)，有eq\f(f*2－f*1,*2－*1)>0.則f(－2)，f(1)，f(3)從小到大的順序是________．解析：由eq\f(f*2－f*1,*2－*1)>0知f(*)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，又f(*)是偶函數(shù)，故f(*)在(0，＋∞]上單調(diào)遞減，∵3>2>1>0，∴f(3)<f(2)<f(1)．又f(*)為偶函數(shù)，∴f(3)<f(－2)<f(1)．注意：(1)函數(shù)單調(diào)性的等價形式eq\f(f*2－f*1,*2－*1)>0〔或(*2－*1)(f(*2)－f(*1))>0〕等價于f(*)單調(diào)遞增eq\f(f*2－f*1,*2－*1)<0〔或(*2－*1)(f(*2)－f(*1))<0〕等價于f(*)單調(diào)遞減(2)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性一樣，偶函數(shù)的單調(diào)性相反例2."名師一號"P19高頻考點(diǎn)例2〔2〕(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)偶函數(shù)f(*)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.假設(shè)f(*－1)>0，則*的取值圍是________．因?yàn)閒(*)為偶函數(shù)，所以f(－*)＝f(*)＝f(|*|)，故不等式f(*－1)>0可化為f(|*－1|)>0.因?yàn)閒(*)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，所以|*－1|<2，即－2<*－1<2，解得－1<*<3.所以*的取值圍是(－1,3)．注意：(補(bǔ)充)(1)解含函數(shù)記號“f〞的不等式(抽象函數(shù)不等式)，一般都是利用函數(shù)的單調(diào)性．(2)關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上，奇函數(shù)的單調(diào)性一樣，偶函數(shù)的單調(diào)性相反，提到奇偶性，通常要分類討論．(3)注意函數(shù)定義域?qū)?的限制．〔4〕為偶函數(shù)溫故知新P23第5題〔2013**〕函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，假設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值圍是答案：練習(xí)：1、函數(shù)y＝f(*)(*≠0)是奇函數(shù)，且當(dāng)*∈(0，＋∞)時是增函數(shù)，假設(shè)f(1)＝0，求不等式f[*(*－eq\f(1,2))]<0的解集．解析：f(1)＝0，不等式可轉(zhuǎn)化為f[*(*－eq\f(1,2))]<f(1)，∵f(*)在(0，＋∞)上遞增，∴0<*(*－eq\f(1,2))<1，∴eq\f(1,2)<*<eq\f(1＋\r(17),4)或eq\f(1－\r(17),4)<*<0.又因?yàn)閒(*)是奇函數(shù)，它在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性一樣，且f(－1)＝－f(1)＝0，于是得f[*(*－eq\f(1,2))]<f(－1)，即有*(*－eq\f(1,2))<－1，∴*∈?.∴原不等式的解集是{*|eq\f(1,2)<*<eq\f(1＋\r(17),4)或eq\f(1－\r(17),4)<*<0}．變式：(補(bǔ)充)函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時是增函數(shù)，假設(shè)，求不等式的解集。答案：2、f(*)(*∈R)為奇函數(shù)，f(2)＝1，f(*＋2)＝f(*)＋f(2)，則f(3)等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2[答案]C[分析]為求f(3)先求f(1)，為求f(1)先在f(*＋2)＝f(*)＋f(2)中，令*＝－1，利用f(*)為奇函數(shù)，可解出f(1)．[解析]令*＝－1得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝f(2)－f(1)，∴f(1)＝eq\f(1,2)f(2)＝eq\f(1,2)，∴f(3)＝f(1)＋f(2)＝eq\f(3,2).[點(diǎn)評]解答此類題目，一般先看給出的值和待求值之間可以通過條件式怎樣賦值才能產(chǎn)生聯(lián)系，賦值時同時兼顧奇偶性或周期性的運(yùn)用.〔4月30日，15班講至此〕例3."名師一號"P20高頻考點(diǎn)例3〕函數(shù)f(*)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(*)的圖象關(guān)于*＝1對稱，當(dāng)*∈[0,1]時，f(*)＝2*－1.(1)求證：f(*)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)*∈[1,2]時，求f(*)的解析式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．(1)證明：函數(shù)f(*)為奇函數(shù)，則f(－*)＝－f(*)，函數(shù)f(*)的圖象關(guān)于*＝1對稱，則f(2＋*)＝f(－*)＝－f(*)，所以f(4＋*)＝f[(2＋*)＋2]＝－f(2＋*)＝f(*)，所以f(*)是以4為周期的周期函數(shù)．(2)當(dāng)*∈[1,2]時，2－*∈[0,1]，又f(*)的圖象關(guān)于*＝1對稱，則f(*)＝f(2－*)＝22－*－1，*∈[1,2]．(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，又f(*)是以4為周期的周期函數(shù)．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2012)＋f(2013)＝f(0)＋f(1)＝1.注意：(補(bǔ)充)〔1〕假設(shè)〔或〕則函數(shù)關(guān)于對稱。假設(shè)則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱。推廣：假設(shè)函數(shù)恒滿足則圖象的對稱軸為。〔2〕奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，且為其中的一個周期假設(shè)偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，且為其中的一個周期溫故知新P14第6、10題練習(xí)：(補(bǔ)充)1、定義在上的奇函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，并且當(dāng)時,則_____[答案][解析]是奇函數(shù)故的圖象關(guān)于直線對稱故故2、設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則_____答案：03、設(shè)f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)*，恒有f(*＋2)＝－f(*)．當(dāng)*∈[0,2]時，f(*)＝2*－*2.(1)求證：f(*)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)*∈[2,4]時，求f(*)的解析式；(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．分析：由f(*＋2)＝－f(*)可得f(*＋4)與f(*)關(guān)系，由f(*)為奇函數(shù)及在(0,2]上解析式可求f(*)在[－2,0]上的解析式，進(jìn)而可得f(*)在[2,4]上的解析式．解析：(1)∵f(*＋2)＝－f(*)，∴f(*＋4)＝－f(*＋2)＝f(*)．∴f(*)是周期為4的周期函數(shù)．(2)當(dāng)*∈[－2,0]時，－*∈[0,2]，由得f(－*)＝2(－*)－(－*)2＝－2*－*2，又f(*)是奇函數(shù)，∴f(－*)＝－f(*)＝－2*－*2，∴f(*)＝*2＋2*.又當(dāng)*∈[2,4]時，*－4∈[－2,0]，∴f(*－4)＝(*－4)2＋2(*－4)＝*2－6*＋8.又f(*)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(*)＝f(*－4)＝*2－6*＋8.從而求得*∈[2,4]時，f(*)＝*2－6*＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(*)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＋f(2011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝0.例4.(補(bǔ)充)溫故知新P13第2題f(*)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)＝0