數(shù)學(xué)相似三角形競賽題專頁

-.z.幾何：·GAO·GAODBECQPNM求證：AP＝AQ．〔初二〕3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓，則由此可得以下命題：·O·OQPBDECNM·A求證：AP＝AQ．〔初二〕ODODBFAECP2、設(shè)P是平行四邊形ABCD部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．〔初二〕PPADCBEDCBA4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠DCA＝300，∠EBA＝200EDCBA∠ABC的頂點(diǎn)B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過BA與圓的交點(diǎn)K引∠ABC平分線的垂線，交⊙O于P，交BC于M。求證：線段PM為圓心到∠ABC平分線距離的2倍。2.在△ABC中，AP為∠A的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BH⊥AP于H，AM的延長線交BH于Q，求證：PQ∥AB。3.菱形ABCD的切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求證：MQ∥NP。4.ABCD是圓接四邊形，其對(duì)角線交于P，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KP⊥AB。5.以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G，線段DG、EF交于點(diǎn)M。求證：AM⊥BC。6.△ABC接于⊙O，P是弧AB上的一點(diǎn)，過P作OA、OB的垂線，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。7.A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公切線P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證：∠O1AO2=∠M1AM2。5.如圖，∠BAC=90o,AD⊥BC,∠1=∠2,EF⊥BC,FM⊥AC,說明FM=FD的理由6.如圖，△ABD和△ACE是直角三角形，∠ABD=∠ACE=90°，∠BAD=∠CAE，連接DE，點(diǎn)M為DE邊中點(diǎn)，求證：BM=CM。7.如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC邊中點(diǎn)，求證：△BMD為等腰直角三角形。22.如圖，在平行四邊形ABCD有一點(diǎn)E滿足ED⊥AD于D，∠EBC＝∠EDC，∠ECB＝45o，請(qǐng)?jiān)趫D中找出與BE相等的一條線段，并予以證明．11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：．20以⊿ABC的邊AB、AC為邊向形外作等邊⊿ABM、⊿CAN，BN和CM交于一點(diǎn)P。試判斷：∠APM、∠APN的大小關(guān)系，并加以證明。1、：如圖，⊙O1和⊙O2兩個(gè)等圓，過O1、O2的中點(diǎn)M的直線交圓O1于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交⊙O2于點(diǎn)C、點(diǎn)D。求證：AB=CD2、：如圖，△ABC是⊙O的接三角形，AB=AC，點(diǎn)D在BC的延長線連結(jié)A、D交⊙O于點(diǎn)E。求證：AB·CE=AE·CD。3、：如圖，四邊形ABCD接于⊙O，AC平分∠BAD，DC的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)E，如果AC=CE，求證：AD=BE。5、：如圖，AB是⊙O的直徑，E是AB延長線上一點(diǎn)，過E作⊙O的切線ED，切點(diǎn)為C，AD⊥ED交ED于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)F，CG⊥AB交AB于點(diǎn)G。求證：BG·AG=DF·DA。6、如圖，四邊形ABCD接于⊙O，AC是⊙O的直徑，DE⊥AC于E，DE的延長線與CB的延長線相交于F。求證：CD2=CB·CF。7、：如圖，△ABC接于⊙O，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，交⊙O的切線BF于點(diǎn)F，B為切點(diǎn)。求證〔1〕BD平分∠CBF；〔2〕AB·BF=AF·CD。8.凸四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)M作AD的平行線分別交AB、CD于E、F，交CB的延長線于點(diǎn)O，解答圖求證：解答圖4、．在△ABC中,∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，M是CD的中點(diǎn)，假設(shè)，求證：。18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC邊于D，求證：．〔2007年北師大附中試題〕如圖，中，于，于，于，交于，、的延長線交于點(diǎn)，求證：.【穩(wěn)固】〔省初三數(shù)學(xué)競賽題〕如圖，，點(diǎn)在上，，是的中點(diǎn)，于，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接。求證：?！痉€(wěn)固】〔2001市中考題〕，如圖正方形接于，在斜邊上，于。求證：〔1〕；〔2〕。如圖，在直角梯形中，，對(duì)角線，垂足為，，過的直線交于．⑴，⑵．23．〔1〕如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ABD=60°，∠BCD=120°，證明：BC+DC=AC．如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，P為四邊形ABCD一點(diǎn)，且∠APD=120°，證明：PA+PD+PC≥BD．(省競賽題)18．如圖，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分線交AB于E，在AC上取一點(diǎn)D，使∠CBD=200，連結(jié)DE．求∠CED的度數(shù)．20．如圖，P是△ABC的∠BAC的外角平分線上一點(diǎn)．(1)求證：PB+PC＞AB+AC；(2)假設(shè)P是△ABC的∠BAC的平分線上一點(diǎn)且AC＞AB，畫出圖形，試分析PB、PC、AB、AC間又有怎樣的不等關(guān)系"如圖，△ABC和△AlBlC1均為正三角形，BC和B1C1的中點(diǎn)均為D．求證：AA1⊥CC1(市競賽題)18．如圖，正方形ABCD中，M為AD中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求證：DN=2NC．20．如圖，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求證：AB2=AC2+AC×BC．21．如圖，AB是等腰直角三角形的斜邊，假設(shè)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上，沿直線MN將△M翻折，使點(diǎn)C落在AB上，設(shè)其落點(diǎn)為點(diǎn)P．(1)當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，是否仍然成立"請(qǐng)證明你的結(jié)論．(2001年市宣武區(qū)中考題)22．如圖，假設(shè)，求證：．(市選拔賽試題)：如圖，、、都是等邊三角形，且、、共線，．求證：也是等邊三角形．16、如圖9，△ABC中，∠A=2∠B，由頂點(diǎn)C作∠A的平分線AD的垂線CF，垂足為F，求證：CF經(jīng)過△ABC的外心。初中數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)講義第十三講相似三角形相似三角形的性質(zhì)是幾何證明的重要工具，是證明線段和差問題、相等問題、比例問題、角相等問題的重要方法，本講即探究該問題.一競賽知識(shí)回憶1、相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線，角平分線，高線，周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方.2、相似三角形的判定方法〔1〕三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似〔2〕兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似〔3〕兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.3、相似三角形中幾個(gè)的根本圖形4、由相似三角形得到的幾個(gè)常用定理定理1平行于三角形一邊的直線截得的三角形與原三角形形似.如圖，假設(shè)∥,則,或.定理2平行切割定理如圖，分別是的邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于,假設(shè)∥,則定理3〔平行線分線段成比例定理〕兩條直線被一組平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.如圖，假設(shè)∥∥，則,定理4〔角平分線性質(zhì)定理〕如圖，分別是的角平分線與外角平分線，則.定理5射影定理直角三角形斜邊上的高分原三角形成兩個(gè)直角三角形，這兩個(gè)三角形與原三角形相似.定理1角平分線的的性質(zhì)定理二賽題講解1利用相似證明角相等例1如圖，中，,是邊的中點(diǎn)，，垂足為,交于點(diǎn).(1)求證：(2)假設(shè),求的面積.練習(xí)在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：.2利用相似證明線段相等例2點(diǎn)分別在矩形的邊上，∥，分別交于點(diǎn)，求證：.練習(xí)1、如圖，梯形中∥，對(duì)角線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線分別交于點(diǎn)，求證.2、如圖，中，于，分別是的中點(diǎn)，于，求證:.3證明比例〔等積〕線段例3如圖，為的兩條角平分線，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，假設(shè)，求證：例4如圖，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，直線平行于，且與及的延長線分別交于點(diǎn)和，求證：練習(xí)1、如圖，在中，是的平分線，的垂直平分線交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn).求證:2、是的高線，過作的垂線，垂足為，與及的延長線分別相交于，求證：3、是的角平分線，，求證：4求線段比例5是正方形，是的中點(diǎn)，聯(lián)接交于，求.練習(xí)1、梯形中，∥,對(duì)角線于點(diǎn)，假設(shè)，求的值.2、如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)的直線順次與及的延長線相交于點(diǎn),假設(shè)求的長.5證明線段〔線段比〕和差例6如圖，∥∥分別是和的中點(diǎn)，過的直線依次交于點(diǎn).求證:.練習(xí)如圖，是一點(diǎn)，分別與對(duì)邊交于點(diǎn)，求證：.6證明垂直例7如圖，分別是正方形的邊上的點(diǎn)，且，過作的垂線，垂足分別為，求證：.練習(xí)題1、如圖，中，，是邊上的高，是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，求證：2、與均為等邊三角形，和的中點(diǎn)均為，求證：7證明平行例8如圖，在矩形中，是邊上的點(diǎn)，滿足，又是上的點(diǎn)，滿足．與相交于點(diǎn)，與相交于．求證：∥．練習(xí)題如圖，兩個(gè)等邊頂點(diǎn)重合，過點(diǎn)作的平行線，分別交于.〔1〕求證：平分.(2)求證：∥.8利用相似三角形的面積比例9在的部取點(diǎn)，過點(diǎn)作3條分別與的三邊平行的直線，這樣所得的3個(gè)三角形的面積分別為4,9,49，求的面積.練習(xí)1、是斜邊上的高，求證：2、梯形中∥,,點(diǎn)在上，且∥,假設(shè)直線平分梯形的面積，〔1〕求的長，〔2〕求的值練習(xí)題1、平行四邊形中，為的三等分點(diǎn)，分別交于兩