華南理工大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件2

第二節(jié)數(shù)列極限整標(biāo)函數(shù)與數(shù)列

①積分學(xué)的基本思想

高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容就是微積分學(xué)。積分學(xué)和微分學(xué)原是數(shù)學(xué)領(lǐng)域兩個(gè)不同的分支。積分學(xué)的起源要早于微分學(xué)，它起源于計(jì)算幾何形體的長(zhǎng)度、面積、體積等等。下面我們用計(jì)算面積的情形了解一下積分學(xué)的基本思想。

怎樣計(jì)算拋物線和直線所圍成的平面圖形的面積？我們主要分四步處理1）化整為零（分割）把所處理圖形剪成很多小片；2）近似代替（作乘積）把每一小片近似看著長(zhǎng)方形；3）積零為整（求和）把所有小片的近似面積加起來；4）無限趨近（取極限）當(dāng)分割越來越細(xì)時(shí)，尋找和式越來越接近的數(shù)。（如圖5）容易看出，當(dāng)越來越大時(shí)，所求的近似面積會(huì)越來越接近（數(shù)列極限），所以我們所求平面圖形的面積為。②數(shù)列的概念以上我們得到的這一列數(shù)就稱為數(shù)列。下面我們?cè)倏磶讉€(gè)數(shù)列的例子：（等比數(shù)列）數(shù)列我們通常記作，其中稱為通項(xiàng)。如上面所提到的數(shù)列可分別記為其實(shí)數(shù)列還是一個(gè)以自然數(shù)為定義域的函數(shù)。例如對(duì)于數(shù)列對(duì)任意的自然數(shù)有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)。所以數(shù)列有時(shí)也可以記作。當(dāng)把數(shù)列看著一個(gè)函數(shù)時(shí)，我們稱此函數(shù)為整標(biāo)函數(shù)。二、極限的定義對(duì)于數(shù)列，我們稱常數(shù)是它的極限，是指當(dāng)越來越大時(shí)，對(duì)應(yīng)的越來越接近。這種說法很形象，但不夠精確。當(dāng)我們需要嚴(yán)格論證與極限有關(guān)的一些問題時(shí)，它的弊端就顯露出來。例如要證明數(shù)列極限的唯一性這樣一個(gè)簡(jiǎn)單命題都不太好說。隨著問題的深入，我們迫切需要一個(gè)精確的（量化的）數(shù)列極限的定義。這個(gè)定義最終由德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出。定義：如果數(shù)列與常數(shù)有下列關(guān)系，對(duì)任意給的正數(shù)（任在數(shù)列中任意抽取無限項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序所得的新數(shù)列叫原數(shù)列的子數(shù)列。定理：（收斂數(shù)列與子數(shù)列之間的關(guān)系）數(shù)列收斂于的充分必要條件是