2023-2024學(xué)年廣東省東莞市翰林實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省東莞市翰林實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．過(guò)點(diǎn)（-2，1）的直線中，被圓x2+y2-2x+4y=0截得的弦最長(zhǎng)的直線的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=02．已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.C.4 D.93．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.4．如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會(huì)召開(kāi)，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.95．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，若，則等于（）A.1 B.C. D.26．已知數(shù)列中，且滿足，則（）A.2 B.﹣1C. D.7．下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則的周長(zhǎng)為（）A. B.C. D.9．如圖，已知多面體，其中是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B.C. D.10．設(shè)，若，則（）A. B.C. D.11．已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，-2），則k的值為（）A.5 B.3C.9 D.2512．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，則POQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積S等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_______.14．計(jì)算：________15．拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則的值為_(kāi)_____16．如圖，在四棱錐中，O是AD邊中點(diǎn)，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求證：平面POC；（2）求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為、，動(dòng)點(diǎn)P滿足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）設(shè)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：線段上是否存在一點(diǎn)D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)給出證明：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，求的表達(dá)式；（3）令，對(duì)于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.19．（12分）已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任作直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，，試求，滿足的關(guān)系式.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限；（1）若直線的斜率為，求的值；（2）求線段的長(zhǎng)度的最小值21．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這n個(gè)數(shù)之和為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】當(dāng)直線被圓截得的最弦長(zhǎng)最大時(shí)，直線要經(jīng)過(guò)圓心，即圓心在直線上，然后根據(jù)兩點(diǎn)式方程可得所求【詳解】由題意得，圓的方程為，∴圓心坐標(biāo)為∵直線被圓截得的弦長(zhǎng)最大，∴直線過(guò)圓心，又直線過(guò)點(diǎn)（-2，1），所以所求直線的方程為，即故選：A2、B【解析】設(shè)，，根據(jù)向量的數(shù)量積得到，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到答案；【詳解】設(shè)，，，與橢圓聯(lián)立，解得：，故選：B3、C【解析】根據(jù)向量線性運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】故選：C4、C【解析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)?，所以，所以即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C5、B【解析】運(yùn)用向量的線性運(yùn)用表示向量，對(duì)照系數(shù)，求得，代入可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，所以，故選：B.6、C【解析】首先根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到數(shù)列的周期性，即可得解；【詳解】解：因?yàn)榍?，所以，，，所以是周期為的周期?shù)列，所以，故選：C7、B【解析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算驗(yàn)證即可.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B8、A【解析】設(shè)，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長(zhǎng).【詳解】由雙曲線可得設(shè)，．則，，所以，因?yàn)槭堑妊切危?，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長(zhǎng)故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關(guān)鍵.9、C【解析】利用面面垂直性質(zhì)結(jié)合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可解.【詳解】取的中點(diǎn)O，連接OB，過(guò)O在平面ACDE面內(nèi)作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，，，設(shè)平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點(diǎn)C到平面ABD的距離.故選：C10、B【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，所?所以，，所以.故選：B11、A【解析】由題意可得焦點(diǎn)在軸上，由，可得k的值.【詳解】∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，∴，∴，故選：A12、A【解析】由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意設(shè)直線的方程，與拋物線的方程，聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出，的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，代入三角形的面積公式求出面積【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，，由題意可得直線的方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)直線與軸的夾角為，不妨設(shè)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為，進(jìn)一步可以得到，進(jìn)而求出，同理求出，最后解得答案.【詳解】設(shè)直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，如圖所示.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線與軸的垂線，垂足分別為，過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準(zhǔn)線方程為：.故答案為：.14、【解析】根據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列的求和公式直接即可求出答案.【詳解】.故答案為：.15、【解析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將拋物線化為，由拋物線定義得點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即，解得故答案為：.16、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由題意，證明BCOA是平行四邊形，從而可得，然后根據(jù)線面平行的判斷定理即可證明；（2）證明BCDO是平行四邊形，從而可得，由題意，可建立以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.【小問(wèn)1詳解】證明：由題意，又，所以BCOA是平行四邊形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小問(wèn)2詳解】解：，，所以BCDO是平行四邊形，所以，，而，所以，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面ABP的一個(gè)法向量為，則，取x=1，則，，所以，設(shè)直線PC與平面PAB所成角為，則，所以直線PC與平面PAB所成角的正弦值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)題意用定義法求解軌跡方程；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理表達(dá)出兩根之和，兩根之積，求出直線l的垂直平分線，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，證明出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，所以，，而，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓方程，由得：，，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為；【小問(wèn)2詳解】存，理由如下：顯然，直線l的斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程得：，設(shè)，，則，，要想以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，則點(diǎn)D為AB垂直平分線上一點(diǎn)，其中，，則，故AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則AB的垂直平分線為：，令得：，且無(wú)論為何值，，點(diǎn)D在線段上，滿足題意.18、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得出的表達(dá)式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，綜合可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對(duì)任意的，，則，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，故，可得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)闈M足，所以.【小問(wèn)3詳解】解：，、、這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則，所以，，又，所以，，則；②若，則，則，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立綜合①②③得，19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直線與圓相切可得，再結(jié)合離心率及間的關(guān)系可得的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況考慮，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)后再求出的值，進(jìn)而得到，最后根據(jù)斜率公式可得所求的關(guān)系式【詳解】（1）因?yàn)閳A與直線相切，所以圓心到直線的距離，即所以，又由題意得所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得直線方程為，由，解得或，不妨設(shè)，，所以，又，所以，所以，整理得所以滿足的關(guān)系式為.②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由消去并整理得，設(shè)點(diǎn)，則有，所以.所以，所以，整理得綜上可得滿足的關(guān)系式為【點(diǎn)睛】（1）判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時(shí)，一般把二者方程聯(lián)立得到方程組，判斷方程組解的個(gè)數(shù)，方程組有幾個(gè)解，直線與橢圓就有幾個(gè)公共點(diǎn)，方程組的解對(duì)應(yīng)公共點(diǎn)的坐標(biāo)（2）對(duì)于直線與橢圓位置關(guān)系的題目，注意設(shè)而不求和整體代入方法的運(yùn)用．解題步驟為：①設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為；②聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；③利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；④利用題干中的條件轉(zhuǎn)化為，或，，進(jìn)而求解.20、（1）3；（2）12.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，求出A和B的橫坐標(biāo)即可得AFBF(2)設(shè)直線l方程為，與拋物線C方程聯(lián)立，求出線段AB長(zhǎng)度求其最小值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，拋物線的焦點(diǎn)為，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率，直線l的方程為，將直線l方程與拋物線消去y可得，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，解方程得，∴.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題知直線l斜率不為0，故設(shè)直線l的方程為：，代入拋物線C的方程化簡(jiǎn)得，，∵＞0，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取等號(hào)，∴AB長(zhǎng)度最小值為12.21、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和求和公式求出首項(xiàng)和公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1）求出，再令得出數(shù)列的正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列求和公式求得答案.【小問(wèn)1詳解