隨機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-東南大學(xué)

概率論講義1.確定性現(xiàn)象.

在一定條件下可能發(fā)生這種結(jié)果也可能發(fā)生那種結(jié)果的，因而無(wú)法事先斷言出現(xiàn)那種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。

第一章隨機(jī)事件及其概率3.概率規(guī)律和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。2.隨機(jī)現(xiàn)象:§1.1隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn):

可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;(2)重復(fù)試驗(yàn)有多個(gè)可能結(jié)果,且能事先明確所有可能的結(jié)果;(3)一次試驗(yàn)只出現(xiàn)一個(gè)結(jié)果，且試驗(yàn)前

不能確定出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)中，每一個(gè)可能結(jié)果稱為該試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn),記為

.全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為該試驗(yàn)的樣本空間，記為

。E1:拋一枚硬幣，觀察正(H)反(T)面的情況.

1={H,T}

1=H,

2=T

E4:電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù).

4={0，1，2，

}

1=0,

2=1,

3=2

E3:擲一顆骰子,觀察點(diǎn)數(shù).則

3={1,2,3,4,5,6}

1=1

2=2

6=6E2:將一枚硬幣拋三次,觀察正反面出現(xiàn)的情況.

2={HHH,THH，

HTH,HHT,HTT,THT,TTH,TTT}E5:從一批電子元件中任取一只測(cè)試其壽命.

5={t|t≥0}1.離散樣本空間.2.連續(xù)樣本空間.如E1中,“出現(xiàn)正面”;E3中，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;E5中{1000<t<3000}(小時(shí)).隨機(jī)事件“在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生事情”叫做隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件.隨機(jī)事件：樣本空間中樣本點(diǎn)的集合基本事件:由單個(gè)樣本點(diǎn)組成如:{H},{T}.必然事件:樣本空間

自身復(fù)合事件:多個(gè)樣本點(diǎn)組成

如:E3中{出現(xiàn)正面次數(shù)為偶數(shù)}.

不可能事件：空集

事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算1.包含關(guān)系和相等關(guān)系:A

B:

A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生

若A

B且A

B,則A=B2.事件的并:3.事件的交：A

B:“事件A與B同時(shí)發(fā)生”4.事件的差:A-B:“A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生”5.互不相容(互斥):注：基本事件兩兩互不相容6.互逆事件：7.事件的運(yùn)算律:交換律:結(jié)合律:分配律：解釋:德摩根公式推廣：德摩根公式:例1高射炮對(duì)模型飛機(jī)射擊三次，設(shè)Ai表示“第i次擊中飛機(jī)”，用Ai表示下列事件(1)B1“只有第一次擊中飛機(jī)”（2）B2“恰有一次擊中飛機(jī)”（3）B3“至少有一次擊中飛機(jī)”（4）B4

“至多兩次擊中飛機(jī)”解(1)§2.頻率與概率(一)

頻率

1.定義：將一試驗(yàn)E在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次,如果事件A發(fā)生了nA次,則比值

Fn(A)=nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率.拋幣試驗(yàn)頻率的特性:波動(dòng)性和穩(wěn)定性.(1)波動(dòng)性:對(duì)于同一個(gè)試驗(yàn),不同的試驗(yàn)序列其頻率不同;(2)穩(wěn)定性:隨著n逐漸增大,事件A的頻率總在某一定值P(A)的附近擺動(dòng)而逐漸穩(wěn)定。P(A)通常稱為頻率的穩(wěn)定值。(二)概率頻率的穩(wěn)定值P(A)反映了事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小，稱P(A)為事件A的概率。1統(tǒng)計(jì)定義：2公理化定義：設(shè)

為樣本空間，A為事件，對(duì)每一事件A賦予一實(shí)數(shù)P(A)，如果P(A)滿足如下三條公理：則稱P(A)為事件A的概率。概率的性質(zhì):

P(B)=P(A)+P(B-A),這個(gè)式子稱為“加奇減偶公式”.例1設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.§3.古典概型古典概型的特點(diǎn):(1)有限樣本空間:

={

1,

2,

,

n}(2)等可能樣本點(diǎn):P(

1)=P(

2)=

P(

n)計(jì)算公式:

由概率定義及等可能性,可得例１.設(shè)一袋中有編號(hào)為1,2,…,9的球共9只,現(xiàn)從中任取3只,試求:(1)取到1號(hào)球的概率,（記為事件A）(2)最小號(hào)碼為5的概率.（記為事件B）解：從9個(gè)球中任取3只球,共有種取法.（2）最小號(hào)碼為5,共有種取法.（1）取到1號(hào)球共有種取法推廣：有N件產(chǎn)品,其中M件次品,從中任取n件,求取到k件次品的概率.M件次品中取k件,取法數(shù)為從N-M件正品中取n-k件,取法數(shù)為,于是解:記Ak:取到k件次品

N件中任取n件,共有取法,

例2將n只球一只一只隨機(jī)地放入N(N≥n)個(gè)盒子中去,試求

A:1-n號(hào)盒子各有一球的概率B:每個(gè)盒子至多有一只球的概率.(設(shè)盒子的容量不限)假定每個(gè)人的生日在一年365天的任一天都等可能,隨機(jī)選取n(<365)個(gè)人,求A:“至少有兩個(gè)人生日相同”的概率。生日問(wèn)題例3n把看起來(lái)一樣的鑰匙，只有一把能開(kāi)門，用這些鑰匙試開(kāi)門（不重復(fù)），求第第k次開(kāi)門成功的概率。解：A表示“第k次試開(kāi)成功”方法1:考慮n把鑰匙的全排列，第j個(gè)位置對(duì)應(yīng)第j次試開(kāi)用的鑰匙。方法2:考慮第k個(gè)位置上鑰匙出現(xiàn)的情況

則總樣本點(diǎn)數(shù)為n!,A包含(n-1)!個(gè)樣點(diǎn)。于是P(A)=1/n.例415名新生中有3名是黨員,將這15名新生隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班級(jí)中去,問(wèn)每一個(gè)班級(jí)各分配到一名黨員的概率是多少(記為事件A)?解:15名新生平均分配總的分法數(shù)為:3名黨員的分配數(shù)為3!,另12名新生的分配數(shù)為§4.

條件概率

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為

,A,B是事件,要考慮在A已經(jīng)發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率,這就是條件概率,記為P(B|A).(一)定義:在古典概型中:樣本空間

由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,若事件A包含nA個(gè)樣本點(diǎn)，AB包含nAB個(gè)樣本點(diǎn)，則定義:

設(shè)A,B是兩個(gè)事件,且P(A)>0,稱為在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率.

性質(zhì)(條件概率是一個(gè)概率)例1根據(jù)長(zhǎng)期氣象紀(jì)錄，甲乙兩城市一年中雨天的比例分別為20%和18%,同時(shí)下雨的比例為12%。問(wèn)甲乙兩城市氣候是否相關(guān)？解：以A,B分別表示甲乙兩城市出現(xiàn)雨天。則P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是所以兩城市氣候有一定的相關(guān)性。例2袋中有某產(chǎn)品５件，其中一等品３件二等品２件，不放回從中連續(xù)抽兩件，A表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽到一等品，求P(AB).(二)乘法定理:推廣:若P(AB)>0,則有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

一般,設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件,(n≥2),P(A1A2...An-1)>0,則有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2)P(An|A1A2…An-1).例３透鏡第一次落下打破的概率為0.5,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為獲0.7,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為0.9,試求透鏡落下三次而未打破的概率.練習(xí)：設(shè)盒中有a(a>2)個(gè)黑球，b個(gè)白球，連續(xù)從盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求1次取到黑球，第2,3次取到白球的概率。解：以Ai

表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),(三)全概率公式和貝葉斯公式:例1.某電子設(shè)備廠所用的晶體管由三家元件制造廠提供,數(shù)據(jù)如下:元件制造廠次品率提供的份額

10.020.1520.010.8030.030.05從中任取一只晶體管,它是次品的概率是多少？全概率公式:例1(續(xù)).Ａ:產(chǎn)品為次品,Bi:產(chǎn)品由工廠i生產(chǎn)元件制造廠次品率提供的份額

10.020.1520.010.8030.030.05運(yùn)用全概率公式可得例2某產(chǎn)品整箱出售每箱20個(gè)，各箱有0，1，2個(gè)次品的概率分別為0.8,0.1,0.1。顧客購(gòu)買時(shí)選取一箱從中任取4只檢查，若無(wú)次品則買下該箱產(chǎn)品，若有次品則退回，求顧客買下該箱產(chǎn)品的概率。解：以Bj表示“選取的一箱產(chǎn)品中有j個(gè)次品”(j=0,1,2),則Bj構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分.A表示“顧客買下該箱產(chǎn)品”練習(xí):甲箱中裝有3只紅球和2只白球,乙箱中2只紅球和2白球,從甲箱中取兩只球放入乙箱中,再?gòu)囊蚁渲腥?球,求A:“從乙箱取得白球”的概率.解設(shè)Bi={從甲箱中取出i只白球}i=0,1,2.則B0,B1,B2構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。有由全概率公式貝葉斯公式:例3(續(xù)1)任取一只晶體管,若它是次品,則它由1號(hào)工廠生產(chǎn)的概率分別是多少?10.020.1520.010.8030.030.05注:1.P(Bi)稱為先驗(yàn)概率。事件B1,B2,…,Bn被看作是引起事件A發(fā)生的n個(gè)原因。2.P(Bi|A)通常稱為后驗(yàn)概率。事件A表示結(jié)果，P(Bi|A)表示A的發(fā)生是由第i個(gè)原因引起的概率。求結(jié)果：全概公式求原因：貝葉斯公式

例４在數(shù)字通訊中，發(fā)送信號(hào)０和１的概率分別為0.7和0.3;發(fā)送0收到1的概率為0.2;發(fā)送1收到1的概率為0.9。求收到信號(hào)為1時(shí)發(fā)送信號(hào)為1的概率。解：A—接收信號(hào)為1練習(xí)：機(jī)器良好時(shí),生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%,而當(dāng)機(jī)器有故障時(shí),其合格率為30%,每天開(kāi)機(jī)時(shí)機(jī)器良好的概率為75%。已知某日第一件產(chǎn)品是合格品,問(wèn)機(jī)器良好的概率是多少?解:A表“產(chǎn)品合格”,B為“機(jī)器良好”,=(0.90.75)/(0.90.75+0.30.25)=0.9.§1.5

獨(dú)立性若P(B|A)=P(B),由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).一般地,P(B|A)≠P(B).例1設(shè)袋中有a只紅球和b只白球，今從袋中取球兩次,每次各取一球,記:A,B分別表示“第一、二次取得紅球”。2.有放回時(shí):1.不放回時(shí):定義1:設(shè)A,B是兩事件,如果滿足等式

P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B是相互獨(dú)立的事件.注：必然事件

和不可能事件

與任何事件A都獨(dú)立定理：如果事件A,B相互獨(dú)立，且P(B)>0,則

P(A|B)=P(A)例2甲、乙兩射手向同一目標(biāo)獨(dú)立射擊,甲擊中目標(biāo)的概率為0.9，乙擊中目標(biāo)的概率為0.8，求在一次射擊中目標(biāo)被擊中的概率。解：A—甲擊中目標(biāo)，B—乙擊中目標(biāo)，定義2:設(shè)A,B,C是三個(gè)事件,若滿足:P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

則稱A,B,C為相互獨(dú)立的事件.定義3：對(duì)n個(gè)事件A1,A2,…,An,如果對(duì)所有可能的組合1≤i<j<k<…≤n成立著

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An),

則稱這n個(gè)事件A1,A2,…,An相互獨(dú)立.定義4：設(shè)A1,A2,…,An是n個(gè)事件，如果對(duì)任意的1≤i<j≤n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj),則稱這

n個(gè)事件兩兩獨(dú)立.注：若n個(gè)事件相互獨(dú)立，必蘊(yùn)含這n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立.反之不成立。例3一均勻正四面體,其一、二、三面分別染成紅白黑三色,第四面染上紅白黑三色.現(xiàn)以分別A,B,C記投擲一次四面體出現(xiàn)紅白黑顏色的事件,則由于四面體中有兩面有紅色,因此但是P(ABC)=1/4

1/8=P(A)P(B)P(C)A,B,C不是相互獨(dú)立的.同理P(B)=P(C)=1/2,容易算出P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4所以A,B,C兩兩獨(dú)立.P(A)=1/2例4假若每個(gè)人血清中有肝炎病毒的概率為0.4%,混合100個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.解：以Ai(i=1,2,…100)記“第i個(gè)人的血清含有肝炎病毒”,Ai相互獨(dú)立.所求概率為例5設(shè)有4個(gè)元件,每個(gè)元件的可靠性均為p(元件能正常工作的概率),按如下兩種方式組成系統(tǒng),試比較兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性.二:先并聯(lián)后串聯(lián)一:先串聯(lián)后并聯(lián)練習(xí)某高射炮打飛機(jī)命中率為0.6,為了以99%以上的概率命中目標(biāo)，應(yīng)配備多少門大炮？3.袋子中有編號(hào)1-10十個(gè)球，從中任取一個(gè)若不是“2”號(hào)球則放回，若是則不放回。然后從袋子中再任取一球，則取到”1”號(hào)球的概率是多少？4.甲乙丙三個(gè)班級(jí)學(xué)生數(shù)分別為20，25，30，其中女生數(shù)為7，5，9.任選一個(gè)班級(jí)，從中抽出一名學(xué)生，若抽得一名女生則她屬于甲班的概率是多少？練習(xí)作業(yè)習(xí)題１：3(3)(4)，5，7，9，13，21，27,32,33,43，45.第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1

隨機(jī)變量的概念例1從一批產(chǎn)品中任意抽取k件,觀察出現(xiàn)的“次品數(shù)”X1,依試驗(yàn)結(jié)果不同X1的所有可能取值為:0,1,2,…,k.K+1個(gè)結(jié)果可用(X1=j)表示.例2記錄某接待站一天中來(lái)訪的人數(shù)X2,“接待k個(gè)人”可用(X2=k)表示.例4擲一枚硬幣觀察正反面.試驗(yàn)結(jié)果為:

1={正面},

２={反面}.試驗(yàn)的結(jié)果可以用變量X4

表示．例3測(cè)試電子元件壽命的試驗(yàn)中,“元件壽命為t小時(shí)”可以用(X3=t)來(lái)表示.定義２.1如果對(duì)于樣本空間中每個(gè)樣本點(diǎn)

，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)X(

)與之對(duì)應(yīng)，則稱X(

)為隨機(jī)變量．簡(jiǎn)記X(

)為X.分類：(1)離散型，(2)連續(xù)型.§2.2

隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義：X是一隨機(jī)變量,對(duì)任意x

R,函數(shù)

F(x)=P{X≤x}稱為X的分布函數(shù).P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1).2.性質(zhì):(1)F(x)是單調(diào)不減函數(shù).(單調(diào)性)

x2>x1,F(x2)-F(x1)0.(2)0≤F(x)≤1且(規(guī)范性)(3)F(x)至多有可列個(gè)間斷點(diǎn),而在其間斷點(diǎn)

x0處是右連續(xù)的,(右連續(xù)性)§2.3

離散型隨機(jī)變量的概率分布定義若隨機(jī)變量全部可能取值是有限或可列無(wú)窮多,則稱為離散型隨機(jī)變量.或列表分布律的性質(zhì)：例1.設(shè)一汽車在開(kāi)往目的地的道路上過(guò)四盞信號(hào)燈,每盞信號(hào)燈是紅燈的概率為p，X表示汽車首次停下時(shí)已通過(guò)信號(hào)燈的盞數(shù),求X的分布律。解:

X01234pk即

P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3.(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4P{X=4}=(1-p)4

p

X的分布函數(shù)例3.已知X的分布律

X-123

pk1/41/21/4

求:(1)X的分布函數(shù)F(x),(2)P{X≤1/2},P{3/2<X≤5/2}.3.幾種重要的離散型隨機(jī)變量的分布律：(一)0-1分布X只取0和1兩個(gè)值，且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.則稱X服從(0-1)分布。(二)二項(xiàng)分布n重貝努利試驗(yàn)：將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,記為例1.已知一大批電子元件的一級(jí)品率為0.2,隨機(jī)抽查20只,求其中一級(jí)品數(shù)X的分布律.解：抽查20只元件可以看作是20重貝努利試驗(yàn)，則結(jié)論:(1)當(dāng)(n+1)p為整時(shí)，P(X=k)在k=(n+1)p

和k=(n+1)p-1處同時(shí)達(dá)到最大。

(2)(n+1)p非整時(shí)，P(X=k)在k=[(n+1)p]

處達(dá)到最大值。使得P(X=k)達(dá)到最大值的數(shù)k稱為最可能成功的次數(shù)。例2某種產(chǎn)品的次品率為2%,隨機(jī)抽查200件，則次品數(shù)不多于6件的概率是多少？解設(shè)抽出的次品數(shù)為X,則

當(dāng)n較大,p又較小時(shí),

二項(xiàng)分布的計(jì)算比較困難,可以用Poisson分布近似計(jì)算.(三)泊松分布(Poisson)泊松(Poisson)定理：泊松定理的意義：當(dāng)n很大且p又較小時(shí),例2某種產(chǎn)品的次品率為2%,隨機(jī)抽查200件，則次品數(shù)不多于6件的概率是多少？解設(shè)抽出的次品數(shù)為X,則

由泊松定理可得=1-0.11=0.89(查表)例3:設(shè)有同類型設(shè)備180臺(tái)獨(dú)立工作,每臺(tái)的故障率都是0.01,求故障設(shè)備數(shù)超過(guò)5的概率?解:記故障臺(tái)數(shù)為X,則X~B(180,0.01).(四)幾何分布貝努利試驗(yàn)序列中,試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為q=1-p.將試驗(yàn)進(jìn)行到成功為止.X表示所需的試驗(yàn)次數(shù),則X的分布律為:

P{X=k}=qk-1p,k=1,2,…稱為X服從參數(shù)為p的幾何分布.(五)超幾何分布N件產(chǎn)品中有M件次品，N-M件正品。隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品，X表示抽得的次品數(shù)。則X的分布律為這個(gè)分布稱為超幾何分布(l=min(M,n)).用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬：§2.4

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f(x)為X的概率密度函數(shù).3相關(guān)結(jié)論：(4)

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有P{X=x}=0.例2連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求:(1)A,B(2)概率密度f(wàn)(x)(3)X

(1,2)的概率.解:(1)所以有B=-A=-14.幾個(gè)常用的連續(xù)型分布(一)均勻分布:則稱X在[a,b]上服從均勻分布,記X~U[a,b].(二)指數(shù)分布:定義:如果隨機(jī)變量X的概率密度為:則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布,記為X~e().

指數(shù)分布的無(wú)記憶性:定理若X~e(

),則對(duì)任意的正數(shù)s,t有P(X>s+t|X>s)=P(X>t)(三)正態(tài)分布:性質(zhì):如何計(jì)算?轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布進(jìn)行計(jì)算。(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布:(3)

轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布引理對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有練習(xí)設(shè)X~N(0.5,9),求P(|X|>2)例2公共汽車車門的高度是按男子與車門碰頭機(jī)會(huì)在0.01以下設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高XN(170,62)(厘米），問(wèn)車門高度應(yīng)為多少？解：設(shè)車門高度為h,按題意有P(X>h)<0.01(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn):(四)伽瑪分布:1.定義:如果隨機(jī)變量X的概率密度為:(1,)是參數(shù)為

的指數(shù)分布e()(p+1)=p(p),(n)=(n-1)!§2.5

隨機(jī)變量的函數(shù)的分布已知的隨機(jī)變量X的分布,求Y=g(X)的分布一、X為離散型變量例1.設(shè)X具有以下的分布律,求Y=(X-1)2分布律:X-1012pk0.20.30.10.4X-1012pk0.20.30.10.4Y4101設(shè)X的分布律為

Xx1x2…xk…P(X=xi)p1p2…pk...

記yi=g(xi)(i=1,2,…),yi的值也是互不相同的,則Y的分布律為:P{Y=yi)=P(X=xi)=pi若yk=g(xk1)=g(xk2)=…=g(xkm),則

P(Y=yk)=P(X=xk1)+…+P(X=xkm)離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的求法:例2設(shè)隨機(jī)變量XN(,2),求Y=aX+b(a>0)的概率密度。二、X為連續(xù)型 ---

分布函數(shù)法于是求導(dǎo)可得2.已知一年中某種人群死亡率為0.0005,該人群有10000人參加人壽保險(xiǎn),每人保費(fèi)5元.若未來(lái)一年中死亡,則得到賠償5000.求:(1)未來(lái)一年中保險(xiǎn)公司至少獲利10000元的概率。(2)虧本的概率。練習(xí)：

1.一個(gè)盒子中放有N個(gè)編號(hào)1~N的標(biāo)簽N個(gè),從中又放回地抽取n個(gè)，求取出的最大號(hào)碼X的分布率。作業(yè)：9，10，12，16,27，29，34，37,41，43，48第三章多維隨機(jī)變量及其分布

n維隨機(jī)變量定義:若X1(

)X2(

),…,Xn(

)是定義在樣本空間上

的n個(gè)隨機(jī)變量,則稱構(gòu)成一個(gè)n維隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為X=(X1,X2,…,Xn)1.二維隨機(jī)變量(聯(lián)合)分布函數(shù):聯(lián)合分布函數(shù).§3.1

二維隨機(jī)變量(1)F(x,y)是變量x或y的單調(diào)不減函數(shù)，即聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：(3)F(x,y)關(guān)于x,y都是右連續(xù)的，即2.

二維隨機(jī)變量的分布二維離散型隨機(jī)變量的分布律例1一袋子中有5個(gè)球，其中2個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字“1”，3個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字“0”。在有放回和無(wú)放回情況下各取兩個(gè)球，X,Y分別表示第一、二次取得的數(shù)字，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。解:(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)(1)有放回取球，對(duì)應(yīng)概律為P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0|X=0)=3/53/5=9/25(X,Y)的分布律為例2.設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值,隨機(jī)變量Y則在1~X中等可能地取一整數(shù),試求(X,Y)的分布律.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度

二維均勻分布及二維正態(tài)分布1.二維均勻分布區(qū)域G的面積為A,若(X,Y)具有概率密度則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.2.二維正態(tài)分布(X,Y)具有概率密度§2.

邊緣分布

一、邊緣分布函數(shù)：二、邊緣分布律：二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分量X,Y的分布律

P(X=xi),P(Y=yj)(i=1,2,…)分別稱為(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布律。設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律

P(X=xi,Y=yj)=pij(i,j=1,2,…)則關(guān)于X的邊緣分布律為例1(續(xù))求關(guān)于X和Y的邊緣分布律。無(wú)放回取球有放回取球兩種取球方式下邊緣分布均為pkpk三、邊緣概率密度:所以，關(guān)于X的邊緣密度為例1設(shè)(X,Y)在G上服從均勻分布，求其邊緣密度解：因G的面積為1/2，所以練習(xí)§3.

條件分布

一、二維離散型變量的情況:例1以X,Y分別表示某醫(yī)院一天中出生的嬰兒總數(shù)和男嬰數(shù)。(X,Y)的聯(lián)合分布律為求:(1)邊緣分布律

(2)條件分布律例2一射擊手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止,設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求X和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律.二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù),練習(xí)§4.

相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

例1(X,Y)由聯(lián)合分布證明X與Y獨(dú)立。定理:如果(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是:定理

(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是:例判定獨(dú)立性例判定獨(dú)立性命題：設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則X,Y相互獨(dú)立的充要條件是

=0.定理：設(shè)(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互獨(dú)立,則Xi(i=1,2,m)和Yj(j=1,2,n)相互獨(dú)立,若h,g是連續(xù)函數(shù),則h(X)和g(Y)相互獨(dú)立.§5.

二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題：已知Z=g(X,Y),以及(X,Y)的聯(lián)合分布，如何求出Z的分布？1

(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為下表試求:(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)

的分布律。解：列下表(1)Z1=X+Y的分布律為(2)Z2=XY的分布律為(3)Z3=max(X,Y)的分布律為證Z=X+Y可能的取值為0,1,2,…,且

2二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布Z=g(X,Y）的分布函數(shù)為(一)和(Z=X+Y)的分布:求Z=X+Y的概率密度.例1.設(shè)X和Y相互獨(dú)立,且都服從N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.例2設(shè)(X,Y)由聯(lián)合概率密度求Z=X+Y的密度函數(shù)fZ(z).(二)商(Z=X/Y)的分布:(三)M=max(X,Y)及m=min(X,Y)的分布:例4兩個(gè)部件L1,L2組成的串、并聯(lián)系統(tǒng)分析：對(duì)系統(tǒng)1T=min{X,Y}

對(duì)系統(tǒng)2T=max{X,Y}練習(xí)1設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為(1)求邊緣密度f(wàn)X(x),fY(y)(2)求條件密度f(wàn)X|Y(x|y)3.將兩封信隨機(jī)投入編號(hào)為1，2，3，4的4個(gè)郵箱，用X,Y分別表示1，2號(hào)郵箱中的郵件數(shù)，求（1）(X,Y)的聯(lián)合分布律。（2）求X關(guān)于Y=0的條件分布律。(3)判定X,Y的獨(dú)立性(4)求X+Y的分布律。4.設(shè)X,Y同服從參數(shù)為p的幾何分布，且X,Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y分布律。作業(yè)：1,3,6,9,12,18,19,23,24,28第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§1.

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望下面計(jì)算一些離散型分布的期望值。1)(0-1)分布設(shè)X服從(0-1)分布，分布律為P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,0<p<1X的數(shù)學(xué)期望為

EX=1·p+0·(1-p)=p連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：設(shè)f(x)為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，對(duì)X的取值區(qū)間作一分割，有下面計(jì)算常用連續(xù)型變量的數(shù)學(xué)期望：則它恰是區(qū)間[a,b]的中點(diǎn)。

因此柯西分布的數(shù)學(xué)期望不存在.練習(xí)求伽瑪分布的數(shù)學(xué)期望。隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式:練習(xí)X~e(λ),求E(e-sX)練習(xí)：求EY例6設(shè)X,Y相互獨(dú)立同服從N(0,1),求Emax{X,Y}均值的性質(zhì):(1)E(c)=c;(2)E(cX)=cE(X);(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y);(4)設(shè)X,Y相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y);(5)|E(XY)|2≤E(X2)E(Y2)(許瓦爾茲不等式)例1.二項(xiàng)分布的均值的計(jì)算:設(shè)X~b(n,p),

X表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，引入Xi(i=1,2,…,n),例2將n個(gè)編號(hào)為1-n的球隨機(jī)放入編號(hào)為1-n的n個(gè)盒子，若球號(hào)與盒號(hào)相同，稱為一個(gè)匹配。X表示匹配數(shù)，求EX.§2.方差

若X為離散型隨機(jī)變量方差的計(jì)算公式:1.X服從(0--1)分布,則EX=0?(1-p)+1?p=p,故D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p).E(X2)=02?(1-p)+12?p=p,下面計(jì)算一些常見(jiàn)分布的方差2.求伽瑪分布的方差練習(xí)：1.求幾何分布g(p)的方差方差的性質(zhì):1

C是常數(shù),D(C)=0;2D(CX)=C2D(X);3

X,Y相互獨(dú)立,則有

D(X

Y)=D(X)+D(Y);4D(X)=0

P{X=C}=1.例1設(shè)X~B(n,p),分解X求其方差DX.切比雪夫不等式:練習(xí)X~B(100,1/2),估計(jì)P(40<X<60)§3.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)展開(kāi)可得:Cov(X,Y)=E[X-EX][Y-EY]=E(XY)-E(X)E(Y).于是

D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).例1.求X,Y的協(xié)方差

協(xié)方差的性質(zhì):1Cov(X,Y)=Cov(Y,X);2Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y);6|Cov(X,Y)|2≤D(X)·D(Y);5若X,Y相互獨(dú)立,則Cov(X,Y)=0.4

Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=DX;由性質(zhì)(6)|Cov(X,Y)|2≤D(X)·D(Y)可得.例1(續(xù))：求相關(guān)系數(shù)公式：Cov(aX+bY,cX+dY)=acDX+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdDY例3.X~N(2008,1),Y~N(2009,1),且X與Y獨(dú)立，求3X-Y與X+Y的相關(guān)系數(shù)?！?.

矩、協(xié)方差矩陣(1)若E(Xk),k=1,2,…存在,則稱為X的k階原點(diǎn)矩.(2)若E{[X-E(X)]k},k=1,2,…存在,則稱它為X的

k階中心矩.(3)若E{[X-E(X)]k?[Y-E(Y)]l},k,l=1,2,…存在,則稱它為X和Y的k+l階混合中心矩.一、矩二維隨機(jī)變量(X1,X2)的二階中心矩分別記為將它們排成矩陣形式稱這個(gè)矩陣為(X1,X2)的協(xié)方差矩陣。二、協(xié)方差矩陣協(xié)方差陣的性質(zhì)：對(duì)稱性、正定性等。三.n維正態(tài)分布:2.性質(zhì):(1)n維r.v.(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布的充要條件是X1,X2,…,Xn的任一線性組合l1X1+l2X2+…+lnXn服從一維正態(tài)分布.“分布自由”定義法(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布,設(shè)Y1,Y2,…,Yn是Xj(j=1,2,…,n)的線性函數(shù),則(Y1,Y2,…Yn)也服從多維正態(tài)分布.正態(tài)分布線性變換的不變性(3)若(X1,X2,…,Xn)服從n維正態(tài)分布,則“X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立”與“X1,X2,…,Xn兩兩不相關(guān)”是等價(jià)的.練習(xí)：輪盤賭中輪盤上有37個(gè)數(shù)字0-36.0是綠色，其他數(shù)字紅黑相間。在單個(gè)數(shù)字上的賠率為1:35.若出現(xiàn)數(shù)字0，則賭場(chǎng)吃掉一半賭金。求下注人一次平均收益EX.練習(xí)某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別有80件，10件，10件，從中任取一件，記求（1）X1與X2的聯(lián)合分布律（2）X1與X2的相關(guān)系數(shù)

。2將n個(gè)編號(hào)為1-n的n個(gè)球隨機(jī)放入m個(gè)盒子中去(盒子容量不限)，X表示有球的盒子數(shù)，求EX作業(yè)：91113

20222534353843第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1.大數(shù)定律

一.問(wèn)題的提出:1.當(dāng)n足夠大時(shí),頻率是否收斂到相應(yīng)的概率p，即由契比雪夫不等式可得一切比雪夫大數(shù)定律:設(shè)X1,X2,…,Xn,…,是相互獨(dú)立隨機(jī)變量序列,特殊情況

設(shè)X1,X2,…,Xn,…相互獨(dú)立,且同分布二.貝努利大數(shù)定律:設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù),p=P(A),則貝努利大數(shù)定律:頻率nA/n收斂到概率p.三.辛欽大數(shù)定律:設(shè)X1,X2,…,Xn,…獨(dú)立同分布,且具期望注：對(duì)方差不做要求?！?.中心極限定理

一.問(wèn)題提出:對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列X1,X2,…,Xn,…,假定EXi,DXi存在,令一.獨(dú)立同分布的中心極限定理:設(shè)Xk(k=1,2,…)相互獨(dú)立,服從同一分布且練習(xí)：某種電子元件40個(gè)，其壽命服從參數(shù)為0.1(小時(shí)-1)的指數(shù)分布，讓他們依次工作,求總工作時(shí)間不足380小時(shí)的概率。二.德莫佛--拉普拉斯定理:例2有800臺(tái)電話分機(jī)，獨(dú)立使用，每臺(tái)話機(jī)約有5%的時(shí)間使用外線。問(wèn)總機(jī)至少需要多少外線才能90%以上的保證各分機(jī)用外線不必等候。解：設(shè)X為需用外線的臺(tái)數(shù)，X~B(800,0.05).即求最小的N,使得*投擲硬幣問(wèn)題練習(xí)：在一家保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn),每人每年付12元保費(fèi),在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.0004,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得20000元賠償費(fèi).求：保險(xiǎn)公司虧損的概率為多大？作業(yè)：1468練習(xí):1.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問(wèn)應(yīng)檢查多少個(gè)產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9?(147個(gè))2.

一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的可靠度為0.9，且必須至少有80%的部件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)工作，問(wèn)n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為0.95?(25個(gè))3.設(shè)某電話總機(jī)要為2000個(gè)用戶服務(wù)，在最忙時(shí)，平均每戶有3%的時(shí)間占線，假設(shè)各戶是否打電話是相互獨(dú)立的，問(wèn)若想以99%的可能性滿足用戶的要求，最少需要多少條線路？(79條)數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)266第六章樣本及抽樣分布

§1.基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)：使用概率論和數(shù)學(xué)的方法，研究怎樣收集帶有隨機(jī)誤差的數(shù)據(jù)，并在設(shè)定模型下，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)所研究的問(wèn)題作出推斷。例1某工廠生產(chǎn)大批電子元件，假定其壽命服從指數(shù)分布。有如下問(wèn)題：(1)元件的平均壽命是多少？若平均壽命達(dá)到100小時(shí)為合格，這批元件是否合格？267總體:所研究對(duì)象的全體?？傮w中的每一個(gè)元素稱為個(gè)體.二.樣本:從總體中抽取的部分個(gè)體.總體X~F,若X1,X2,…,Xn是從F獨(dú)立抽取的一組樣本,則稱其為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.幾個(gè)基本概念：有限總體通過(guò)抽象

無(wú)限總體(一種分布)X1,X2,…,Xn容量為n的隨機(jī)樣本.x1,x2,…,xn稱為樣本觀察值.268統(tǒng)計(jì)量是樣本信息的加工和提煉。三.統(tǒng)計(jì)量:完全由樣本決定的量(不含未知參數(shù))269四.常用的統(tǒng)計(jì)量—樣本矩:270(辛欽大數(shù)定律)271定理2:

設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的一組樣本,設(shè)總體二階矩存在,且EX=,DX=2,則有272§2.統(tǒng)計(jì)分布與抽樣分布

定義：統(tǒng)計(jì)量T(X1,X2,…,Xn)的分布稱為抽樣分布.本節(jié)介紹3種基本的統(tǒng)計(jì)分布：

χ2-分布，t-分布，F(xiàn)-分布以及正態(tài)總體下統(tǒng)計(jì)量的分布。2732.性質(zhì)：2740yf(y)275276(二)t-分布:277(三)F分布:278279y0280練習(xí)0.1281抽樣分布282283284285286287第七章參數(shù)估計(jì)

§1.點(diǎn)估計(jì)一.問(wèn)題的提法:288二.矩估計(jì)法:289290291292三.極大似然估計(jì)方法:293294295極大似然估計(jì)的求解方法:296297298299例3.設(shè)總體X服從均勻分布U[0,],X1,…Xn是一組樣本，求

的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量.不能通過(guò)建立似然方程求得極大似然估計(jì)，L作為θ的函數(shù)當(dāng)θ=max{X1,…Xn}時(shí)取得最大值，由極大似然估計(jì)的定義可得300極大似然估計(jì)的性質(zhì):301302§2.估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

1無(wú)偏性:(2)例子S2是σ2的無(wú)偏估計(jì)量.(3)有偏估計(jì)向無(wú)偏估計(jì)的轉(zhuǎn)化。3033043052最小方差無(wú)偏估計(jì)3063073083相合估計(jì)（一致估計(jì)）:309310§3.區(qū)間估計(jì)

1.定義:311兩點(diǎn)要求：1置信度1-α應(yīng)盡量大

2區(qū)間長(zhǎng)度應(yīng)盡量小312313二.求置信區(qū)間的一般思路:314§4.正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)一.單個(gè)正態(tài)總體:315316317318319二.兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì):320321三.兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間:322323324作業(yè)2351011(1)

131416325第八章假設(shè)檢驗(yàn)§1.假設(shè)檢驗(yàn)一.基本思想:例1某類產(chǎn)品次品率p<=5%時(shí)通過(guò)檢驗(yàn)，從中抽取100件得到7件次品，這批產(chǎn)品是否能通過(guò)？若10件呢？326例2.某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5公斤,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015公斤.某日開(kāi)工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是