三角形的證明一元一次不等式

第1講：特殊三角形的性質(zhì)與判定一、知識回顧：等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的兩個(gè)底角相等。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等邊對等角等角對等邊等邊三角形的性質(zhì)與判定（1）等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60°。（2）3個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。如果一個(gè)等腰三角形中有一個(gè)角等于60°，那么這個(gè)三角形是等邊三角形。直角三角形的性質(zhì)與判定直角三角形兩銳角互余有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（簡寫為“HL”）直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半勾股定理勾股定理逆定理ABCABCDE1、已知：如圖∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。求證：AB＝AC2、在上圖中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC嗎？如果結(jié)論成立，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？3：△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，則AC等于________.、4：△ABC中，BD⊥AC與D，AB=6,AD=4,BC=5,DC=_______。5，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分線交BC于D若BC=8，AD=5，則AC等于_________________第五題圖第六題圖6、△ABC中，AB=AC=10，BD⊥AC于D，CD=2，則BC等于_______.達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、如果等腰三角形的周長為12，一邊長為5，那么另兩邊長分別為＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。2、如果等腰三角形有兩邊長為2和5，那么周長為＿＿＿＿＿。3、如果等腰三角形有一個(gè)角等于50°，那么另兩個(gè)角為＿＿＿＿＿。4、如果等腰三角形有一個(gè)角等于120°，那么另兩個(gè)角為＿＿＿＿。5、在△ABC中，∠A＝40°，當(dāng)∠B等于多少度數(shù)時(shí)，△ABC是等腰三角形？ABCEDABCEDO求證：OB＝OC。ABCDE7、如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝ABCDE8、已知：如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E。求證：△ADE是等邊三角形。AABCDE9．在△ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P使得點(diǎn)P到△ABC的三邊距離相等，則點(diǎn)P應(yīng)是△ABC的哪三條線交點(diǎn)．（）（A）高（B）角平分線（C）中線（D）邊的垂直平分線10．已知，如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，則下列說法正確的有幾個(gè)（）（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD；（3）BD=CD；（4）AD⊥BC．（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)11．如圖，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”證明△ABC≌△ABD，則需要加條件_______或；若利用“HL”證明△ABC≌△ABD，則需要加條件或．PQCPQCABx12.如圖，有一個(gè)直角△ABC，∠C=90°，AC=10，BC=5，一條線段PQ=AB，P.Q兩點(diǎn)分別在AC和過點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動，當(dāng)AP=時(shí),才能使ΔABC≌ΔPQA.13.如圖,在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D,DE⊥AB于E，且AB＝6cm，則△DEB的周長為___________cm.14.如圖，在△ABC中，已知D是BC中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，DE＝DF.求證：AB=AC15.已知：如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能說明BE與DF相等嗎？AABCDEF12第2講：垂直平分線與角平分線知識點(diǎn)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上三角形的三邊的垂直平分線是否相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等在角的內(nèi)部，如果一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)就在這個(gè)角的平分線上三角形的三個(gè)角的角平分線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三條邊的距離相等例題精講例1、已知：如圖，DE是△ABC的AB邊的垂直平分線，分別交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度數(shù)。例2、如圖，已知AD為△ABC的角平分線，∠B=90°，DF⊥AC，垂足為F，DE=DC，求證BE=CF；例3、△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E。已知：CD=4cm,求AC長求證：AB=AC+CD當(dāng)堂訓(xùn)練：1、已知：線段AB及一點(diǎn)P，PA=PB，則點(diǎn)P在上。2、已知：如圖，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分線交BC于D則∠ADC=。3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于D則∠DBC的度數(shù)。4、△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC垂直平分線，則∠B∠BAE，∠C∠GAF，若∠BAC=1260，則∠EAG=。5、如圖，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，則△BCD的周長是。6、有特大城市A及兩個(gè)小城市B、C，這三個(gè)城市共建一個(gè)污水處理廠，使得該廠到B、C兩城市的距離相等，且使A市到廠的管線最短，試確定污水處理廠的位置。7、在三角形內(nèi)部，有一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)P一定是（）A、三角形三條角平分線的交點(diǎn)；B、三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)；C、三角形三條中線的交點(diǎn)；D、三角形三條高的交點(diǎn)。8、已知△ABC的三邊的垂直平分線交點(diǎn)在△ABC的邊上，則△ABC的形狀為（）A、銳角三角形；B、直角三角形；C、鈍角三角形；D、不能確定9、等腰Rt△ABC中，AB=AC,BC=a,其斜邊上的中線與一腰的垂直平分線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離是。11、在△ABC中∠C=90°，∠A的平分線交BC于D，BC=CM，BD：DC：=4：3，則點(diǎn)D到AB的距離為___________。12、在RT△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜邊AB的垂直平分線，且DE=1CM，則AC=_______________.13、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A：PD=PEB：OD=OEC：∠DPO=∠EPOD：PD=OD14、△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，連結(jié)AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，則∠OAC=_____________°15、與相交的兩直線距離相等的點(diǎn)在（）A：一條直線上B：一條射線上C：兩條互相垂直的直線上D：以上都不對16、到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在。17、△ABC中，∠C=900,∠A的平分線交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,則D到AB的距離為.18、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，則DE+DC=cm。19、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分線交于O,則∠BAO和∠CAO的大小關(guān)系為。20、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，則△ABD的面積是。21、已知：OP是∠MON內(nèi)的一條射線，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分別為C、D、E、F，且AC=AD求證：BE=BF1、（2013?雅安）如圖，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C=80°，則∠D的度數(shù)為（） A． 50° B． 60° C． 70° D． 100°2、（2013?遂寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連結(jié)AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC=60°；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．43、（2013?曲靖）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，若∠BOD=40°，OA平分∠COE，則∠AOE=．4、（2013成都市）如圖，，若AB∥CD，CB平分，則______度.5、（2013?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的長；（2）求△ADB的面積．

第三講：三角形的證明單元復(fù)習(xí)一、等腰、等邊三角形1、在等腰三角形中頂角為40°時(shí)底角等于_________，一個(gè)底角為50°，則頂角等于_________.2、已知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為30°，那么它的底角的度數(shù)是_________．3、等腰三角形的頂角的度數(shù)是底角的4倍，則它的頂角是________．4、等腰三角形的兩邊長分別為4厘米和6厘米，這個(gè)三角形的周長為_______5、等腰三角形的兩邊分別是7cm和3cm，則周長為_________.6、由在同一三角形中“等角對等邊”“等邊對等角”兩個(gè)定理我們可以聯(lián)想到大邊對_________，大角對_________.8、等腰三角形中的一個(gè)角等于，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為（

）A、，B、，C、，

D、，或，9、等腰三角形的一個(gè)外角等于，則這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為（

）A、，，

B、，，C、，，

D、，，或，，10、如果一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角比頂角大，那么頂角為（

）A、

B、

C、

D、11、等腰三角形的一邊為4，另一邊為9，則這個(gè)三角形的周長為（）A.17B.22C.13D.17或2212、如果一個(gè)三角形的一個(gè)外角是130°，且它恰好等于一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的2倍，那么這個(gè)三角形是A.鈍角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形13、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分線，則圖中共有等腰三角形A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)14、如圖，已知△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，又DE∥BC，交AC于E，若DE=4cm，AE=5cm，則AC等于A.5cm B.4cmC.9cm D.1cm13題14題16題15題15、如圖，在中，AB=AC，，BD和CE分別是和的平分線，且相交于點(diǎn)P.在圖中，等腰三角形（不再添加線段和字母）的個(gè)數(shù)為（）.13題14題16題15題A．9個(gè)B．8個(gè)C．7個(gè)D．6個(gè)16、如圖，P，Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，則∠ABC等于_________度.17、給出下列命題，正確的有（）①等腰三角形的角平分線、中線和高重合；②等腰三角形兩腰上的高相等；③等腰三角形最小邊是底邊；④等邊三角形的高、中線、角平分線都相等；⑤等腰三角形都是銳角三角形A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)18、如果三角形一邊的中線和這邊上的高重合，則這個(gè)三角形是（）A.等邊三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形19、邊長為2cm的等邊三角形的面積為cm2二、直角三角形1、一個(gè)三角形的兩邊長為4和5，要使三角形為直角三角形，則第三邊的長為（）（A）3（B）（C）3或（D）3或2、如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是．3、有一塊邊長為24米的正方形綠地，如圖3所示，在綠地旁邊處有健身器材，由于居住在處的居民踐踏了綠地，小明想在處樹立一個(gè)標(biāo)牌“少走▇米，踏之何忍？”請你計(jì)算后幫小明在標(biāo)牌的“▇”圖3填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字是（）.圖3A、23米 B、24米C、25米 4、等腰直角三角形一條直角邊的長為1cm，那么它斜邊長上的高是cm.5、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A．2，3，4B．10，8，4C．7，25，24D．7，15，126、分別有下列幾組數(shù)據(jù)：①6、8、10②12、13、5③17、8、15④4、11、9其中能構(gòu)成直角三形的有：（）Ａ、４組Ｂ、３組Ｃ、２組Ｄ、１組7、適合下列條件的△ABC中,直角三角形的個(gè)數(shù)為()①②∠A=450;③∠A=320,∠B=580;④⑤A.2個(gè);B.3個(gè);C.4個(gè);D.5個(gè)8、一輪船以每小時(shí)20海里的速度沿正東方向航行。上午8時(shí)，該船在A處測得某燈塔位于它的北偏東30°的B處(如圖)，上午9時(shí)行到C處，測得燈塔恰好在它的正北方向，此時(shí)它與燈塔的距離是海里(結(jié)果保留根號).9、△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小邊BC=4cm，最長邊AB的長是（）A、5cm B、6cmC、cm D、8cm10、如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，若CD=4，則AB=．11、如圖所示的一塊地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積。12、如圖，一架2.5米長的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將向外移多少米？三、角平分線1、已知⊿ABC中，∠A=，角平分線BE、CF交于點(diǎn)O，則∠BOC=2、給出下列結(jié)論，正確的有（）①到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；②角的平分線與三角形平分線都是射線；③任何一個(gè)命題都有逆命題；④假命題的逆命題一定是假命題A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3、∠AOB的平分線上一點(diǎn)M，M到OA的距離為1.5cm，則M到OB的距離為_________.4、△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D。若DC=7，則D到AB的距離是.5、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6cm，則△A、4cmB、6cmC、85題6題6、如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，BD∶DC=2∶1，BC=7.8cm，則D到AB的距離為5題6題7、如圖1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_________.圖1圖28、如圖2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分線，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，則BC=_________cm.9、如圖19，在中，，AC=BC，AD平分交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AB=6cm.你能否求出的周長？若能，請求出；若不能，請說明理由.四、線段的垂直平分線1、在中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為，則底角B的大小為________.2、在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D，垂足為E，則∠DBC的度數(shù)是.3、如右圖，已知直線MN是線段AB的垂直平分線，垂足為D，點(diǎn)P是MN上一點(diǎn)，若AB=10cm，則BD=__________cm；若PA=10cm，則PB=__________cm；此時(shí)，PD=__________cm.3題3題2、4題圖2、4題圖4、如上圖，△ABC中，AB的垂直平分線交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周長