2023-2024學(xué)年遼寧省營(yíng)口中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年遼寧省營(yíng)口中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.222．已知拋物線C：，則過拋物線C的焦點(diǎn)，弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是（）A.4037 B.4044C.2019 D.20223．若數(shù)列為等比數(shù)列，且，，則（）A.8 B.16C.32 D.644．已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知命題,，則A.， B.，C.， D.，6．?dāng)?shù)列1，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.7．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.8．設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A.-6 B.-4C.-2 D.29．曲線上存在兩點(diǎn)A，B到直線到距離等于到的距離，則（）A.12 B.13C.14 D.1510．設(shè)R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)．以O(shè)為圓心a為半徑的圓與相切于點(diǎn)M，且，則該雙曲線的漸近線為（）A. B.C. D.12．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=____________.14．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則___________.15．已知正數(shù)、滿足，則的最大值為__________16．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D為棱AC中點(diǎn).（1）證明：AB1//平面；（2）若面B1BC1與面BC1D的夾角余弦值為，求.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，是1和的等差中項(xiàng)（1）求角；（2）若的平分線交于點(diǎn)，且，求的面積20．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值.21．（12分）已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是該圓上任意一點(diǎn)，AP，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn).（1）若弦AP長(zhǎng)為2，求直線PB的方程；（2）以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，求此時(shí)圓C的方程.22．（10分）已知圓：，過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，設(shè)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用累加法求得列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，，因?yàn)橐矟M足，所以.因?yàn)?，所?若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.2、A【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，先求出過焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可求解【詳解】∵拋物線C：，即，由拋物線的性質(zhì)可得，過拋物線焦點(diǎn)中，長(zhǎng)度最短的為垂直于y軸的那條弦，則過拋物線C的焦點(diǎn)，長(zhǎng)度最短的弦的長(zhǎng)為，由拋物線的對(duì)稱性可得，弦長(zhǎng)在5到2022之間的有共有條，故弦長(zhǎng)為整數(shù)且不超過2022的直線的條數(shù)是故選：A3、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到，即可求出，再根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列公比為，因?yàn)?、，所以，所以；故選：B4、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結(jié)合由，轉(zhuǎn)化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，?dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立；當(dāng)時(shí)，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.5、A【解析】根據(jù)全稱命題與特稱命題互為否定的關(guān)系，即可求解，得到答案【詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題,，則，，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】根據(jù)各項(xiàng)的分子和分母特征進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以該?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是；對(duì)于選項(xiàng)B：，所以本選項(xiàng)不符合要求；對(duì)于選項(xiàng)C：，所以本選項(xiàng)不符合要求；對(duì)于選項(xiàng)D：，所以本選項(xiàng)不符合要求，故選：A7、D【解析】由，分兩步，當(dāng)求出，當(dāng)時(shí)得到，兩式作差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】解：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；故選：D8、A【解析】由已知得解得故選A考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式9、D【解析】由題可知A，B為半圓C與拋物線的交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7半圓，又直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點(diǎn)，由，得，設(shè)，則，，∴.故選：D.10、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷即可.【詳解】若“”，則成立；反之，若，當(dāng)，時(shí)，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要條件.故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要調(diào)價(jià)的判斷，考查不等式與不等關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】連接、，利用中位線定理和雙曲線定義構(gòu)建參數(shù)關(guān)系，即求得漸近線方程.【詳解】如圖，連接、，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，且，根據(jù)雙曲線的定義，得，∴，∵與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得雙曲線的漸近線方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用和漸近線的求法，屬于中檔題.12、A【解析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程.【詳解】由，有曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：因?yàn)椋?故答案為：.14、-1【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再借助“點(diǎn)差法”即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，線段的中點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，設(shè)，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：15、【解析】直接利用均值不等式得到答案.【詳解】，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、4【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在軸上方程的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以有，因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以有，故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，使，連接，即可得到，從而得證；（2）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解面與面的夾角余弦值為，從而得到方程，解得即可【小問1詳解】證明：如圖，連，使，連，由直三棱柱，所以四邊形為矩形，所以為中點(diǎn)，在中，、分別為和中點(diǎn)，，又因平面平面，面，面，平面【小問2詳解】解：設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系，則，，所以、，設(shè)平面的法向量則，故可取設(shè)平面的法向量，則，故可取，因?yàn)槊媾c面的夾角余弦值為，所以，即，解得，18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出向量和，證明即可；（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，則直線與平面所成角的正弦值即為.【小問1詳解】證明：∵，，∴△≌△,∴,設(shè)，在△中，由余弦定理得，即，則,即，，連接交于點(diǎn)，分別以，為軸、軸，過作軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，的中點(diǎn)，則，，∵，∴.【小問2詳解】由（1）可知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，即，則，記直線與平面所成角為，.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)是1和的等差中項(xiàng)得到，再利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系，兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到求解；（2）由和求得b，c的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以；?）由正弦定理得，又，即，由余弦定理得，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到20、(1)；(2)【解析】（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意，得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，再由以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.詳解】(1)由題意知，∴，即，又雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合，所以，∴，故橢圓的方程為.(2)解：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由得：由得：設(shè)，則，，∴因?yàn)橐詾橹睆降膱A過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，.滿足條件故.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，解決此類問題時(shí)，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式等求解，屬于常考題型.21、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)圓的直徑的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】在方程中，令，解得，或，因?yàn)锳P，PB的延長(zhǎng)線分別交直線于M，N兩點(diǎn)，所以，圓心在x軸上，所以，因?yàn)?，，所以有，?dāng)P在x軸上方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，當(dāng)P在x軸下方時(shí)，直線PB的斜率為：，所以直線PB的方程為：，因此直線PB的方程為或；【小問2詳解】由（1）知：，，所以設(shè)直線的斜率為，因此直線的斜率為，于是直線的方程為：，令，，即直線的方程為：，令，，即，因?yàn)橥?hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是有以線段MN為直徑作圓C，當(dāng)圓C面積最小時(shí)，此時(shí)最小，當(dāng)時(shí)，和，中點(diǎn)坐標(biāo)為：，半徑為，所以圓的方程為：，同理當(dāng)時(shí)，和，中