2023-2024學(xué)年東營市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年東營市重點(diǎn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，則“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對(duì)他們每周使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時(shí)13.75小時(shí)；③若從每周使用時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③3．下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，如果輸入a=102，b=238，則輸出的a的值為（）A.17 B.34C.36 D.684．從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列為其前項(xiàng)和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.136．下列函數(shù)求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.7．橢圓＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作直線（不經(jīng)過焦點(diǎn)F）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF的面積是20，則直線AB的斜率為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-109．橢圓的焦點(diǎn)為、，上頂點(diǎn)為，若，則（）A B.C. D.10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項(xiàng)為（）A.336 B.467C.483 D.60111．在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列中，首項(xiàng)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A. B.C. D.12．點(diǎn)到直線的距離為2，則的值為（）A.0 B.C.0或 D.0或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為__________.14．等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的公比為____.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和則____________________16．將數(shù)列{n}按“第n組有n個(gè)數(shù)”的規(guī)則分組如下：（1），(2，3)，(4，5，6)，…，則第22組中的第一個(gè)數(shù)是_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知橢圓C：（）過點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)（）的直線l（不與x軸重合）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AC與x軸交于點(diǎn)Q，試問是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由19．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在第一象限且為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且△恰為等邊三角形（1）求拋物線的方程；（2）若直線與交于兩點(diǎn)，向量的夾角為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，直四棱柱中，底面是邊長為的正方形，點(diǎn)在棱上.（1）求證：；（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作已知，使得平面，并給出證明.條件①：為的中點(diǎn)；條件②：平面；條件③：.（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）在數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，證明：22．（10分）如圖是一個(gè)正三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，M為AB中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求此幾何體的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)得出，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷.【詳解】解：∵，向量，，∴，即，根據(jù)充分必要條件的定義可判斷：“”是“”的充分不必要條件，故選：A.2、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計(jì)值，再利用分層抽樣可確定出使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)出平均值為，所以估計(jì)抽取100人的平均用時(shí)13.75小時(shí)，②的說法太絕對(duì)，故②錯(cuò)誤；每周使用時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.3、B【解析】根據(jù)程序框圖所示代入運(yùn)行即可.【詳解】初始輸入：；第一次運(yùn)算：；第二次運(yùn)算：；第三次運(yùn)算：；第四次運(yùn)算：；結(jié)束，輸出34.故選：B.4、B【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】從中任取個(gè)不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.6、C【解析】每一個(gè)選項(xiàng)根據(jù)求導(dǎo)公式及法則來運(yùn)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，不正確；對(duì)于D，，正確.故選：C7、A【解析】分情況討論當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，可求面積，檢驗(yàn)是否滿足條件，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線AB的方程y＝kx，聯(lián)立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【詳解】由橢圓＝1，則焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝0，此時(shí)AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設(shè)直線AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A8、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C9、C【解析】分析出為等邊三角形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】在橢圓中，，，，如下圖所示：因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，焦點(diǎn)為、，所以，，為等邊三角形，則，即，因此，.故選：C.10、B【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項(xiàng)公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數(shù)列的第31項(xiàng)為.故選：B11、C【解析】當(dāng)時(shí)，，故可以得到，因?yàn)?，進(jìn)而得到，所以是等比數(shù)列，進(jìn)而求出【詳解】由，得，得，又?jǐn)?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，∴，∴，即∴數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和，得，故選：C.12、C【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得出答案.【詳解】解：點(diǎn)到直線的距離為，解得或.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：14、【解析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合已知條件，代值計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)其公比為，又，，故可得，解得.故答案為：.15、【解析】根據(jù)數(shù)列中與的關(guān)系，即可求出通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，也適合，綜上，，（），故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)間的關(guān)系，屬于容易題.16、【解析】由已知，第組中最后一個(gè)數(shù)即為前組數(shù)的個(gè)數(shù)和，由此可求得第21組的最后一個(gè)數(shù)，從而就可得第22組的第一個(gè)數(shù).【詳解】由條件可知，第21組的最后一個(gè)數(shù)為，所以第22組的第1個(gè)數(shù)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由，，可得求出，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?所以，化簡得，解得，所以，（2）由（1）可知，所以，所以【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算，考查裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題18、（1）（2）為定值【解析】（1）由題意可得解方程組求出，從而可得橢圓方程，（2）設(shè)直線AB：，，代入橢圓方程，消去，利用根與系數(shù)關(guān)系，再表示出直線AC的方程，從而可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可表示出，然后化簡可得結(jié)論【小問1詳解】由題意得解得故橢圓C的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線AB：，，聯(lián)立消去y得，設(shè)，，得，，因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，所以直線AC的斜率為，直線AC的方程，令，解得可得，所以，因?yàn)?，所以，所以為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線AB的方程代入橢圓方程中化簡，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知條件表示出直線AC的方程，從而可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)△恰為等邊三角形由題意知：得到，再利用拋物線的定義求解；（2）聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)的夾角為，由求解.【小問1詳解】解：由題意知：，由拋物線的定義知：，由，解得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，由，得，則，，則，，因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，，則，且，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.20、（1）證明見解析；（2）答案見解析；（3）.【解析】（1）連結(jié)，，由直四棱柱的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可得，再由正方形的性質(zhì)及線面垂直的判定、性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）選條件①③，設(shè)，連結(jié)，，由中位線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)可得、，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；選條件②③，設(shè)，連結(jié)，由線面平行的性質(zhì)及平行推論可得，由線面垂直的性質(zhì)有，再由線面垂直的判定證明結(jié)論；（3）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求平面、平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】連結(jié)，，由直四棱柱知：平面，又平面，所以，又為正方形，即，又，∴平面，又平面，∴.【小問2詳解】選條件①③，可使平面.證明如下：設(shè)，連結(jié)，，又，分別是，的中點(diǎn)，∴.又，所以.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.選條件②③，可使平面.證明如下：設(shè)，連結(jié).因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，又，則.由（1）知：平面，平面，則.又，即平面.【小問3詳解】由（2）可知，四邊形為正方形，所以.因?yàn)?，，兩兩垂直，如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，.由（1）知：平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則，令，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）證明見解析；；（2）證明見解析【解析】（1）利用已知條件推出數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為1，求出通項(xiàng)公式，結(jié)合由，，成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）化簡通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法，求解數(shù)列的和即可【詳解】證明：（1）由，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為1，因此，，，由成等比數(shù)列，得，即，解得或（舍去），故（2）因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.22、（1）證明見解