2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市榆樹(shù)一中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市榆樹(shù)一中高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，則（）A. B.C. D.以上都不對(duì)2．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或3．已知呈線性相關(guān)的變量x與y的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.74．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A. B.C. D.5．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)①在中，若，則②是，，成等比數(shù)列的充要條件③直線是雙曲線的一條漸近線④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)A.0 B.1C.2 D.36．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.7．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則實(shí)數(shù)p的值為（）A.2 B.6C.3或8 D.2或68．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點(diǎn)，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.9．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過(guò)，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A. B.3C.6 D.10．設(shè)命題甲：，命題乙：直線與直線平行，則（）A.甲是乙的充分不必要條件 B.甲是乙的必要不充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲是乙的既不充分也不必要條件11．已知空間向量，，，下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得；④若，不共線，向量，則可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.A.0 B.1C.2 D.312．圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．直線l：與橢圓C：相切于點(diǎn)P，橢圓C的焦點(diǎn)為，，由光學(xué)性質(zhì)知直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)且，則______14．已知三角形OAB頂點(diǎn)，，，則過(guò)B點(diǎn)的中線長(zhǎng)為_(kāi)_____.15．在三棱錐中，點(diǎn)Р在底面ABC內(nèi)的射影為Q，若，則點(diǎn)Q定是的______心16．設(shè)，復(fù)數(shù)，，若是純虛數(shù)，則的虛部為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，D為棱上的一點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)B到平面DFE距離.18．（12分）已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn).（1）若直線的斜率為1，求；（2）若，求直線的方程.19．（12分）已知.（1）當(dāng)，時(shí)，求中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）用、表示，寫出推理過(guò)程20．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（1）求及的值；（2）求在點(diǎn)處的切線方程21．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的最大值及相應(yīng)的的值.22．（10分）已知函數(shù)（1）證明；（2）設(shè)，證明：若一定有零點(diǎn)，并判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)極限的定義計(jì)算【詳解】由題意故選：B2、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因?yàn)?，所以，即，解得或，所以?故選：C.3、A【解析】根據(jù)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.4、B【解析】根據(jù)已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則①.又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.5、B【解析】根據(jù)三角函數(shù)、等比數(shù)列、雙曲線和導(dǎo)數(shù)知識(shí)逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】①在中，則有，因，所以，又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故①正確，②當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，但是，，不成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，③由雙曲線可得雙曲線的漸近線為，故③錯(cuò)誤，④“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件，故④錯(cuò)誤.故選：B.6、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：D7、D【解析】由拋物線準(zhǔn)線與圓相切，結(jié)合拋物線方程，令求切線方程且拋物線準(zhǔn)線方程為，即可求參數(shù)p.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故當(dāng)時(shí)，有或，所以或，得或6故選：D8、D【解析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點(diǎn)為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D9、C【解析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示，再利用均值不等式得到答案【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸，雙曲線實(shí)軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為6，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力10、A【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線方程為，此時(shí)，直線與直線平行，即甲乙；直線和直線平行，則，解得或，即乙甲；則甲是乙的充分不必要條件.故選：.11、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯(cuò)誤；若非零向量共面，則向量可以在一個(gè)與組成的平面平行的平面上，故②錯(cuò)誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個(gè)基底，故④錯(cuò)誤；故選：C.12、A【解析】先求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得的角平分線所在的直線的方程.【詳解】，直線的斜率為，由于直線，與l的夾角相等，則的角平分線所在的直線的斜率為，所以所求直線方程為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)雙曲線方程求出，再根據(jù)雙曲線的定義可知，即可得到、，再由正弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡p曲線為，所以、，因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；故答案為：14、【解析】先求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式得出過(guò)B點(diǎn)的中線長(zhǎng).【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)，則過(guò)B點(diǎn)的中線長(zhǎng)為.故答案為：15、外【解析】由可得，故是的外心.【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)在底面ABC內(nèi)的射影為,∴平面又∵平面、平面、平面，∴、、.在和中，,∴，∴同理可得：,故故是的外心.故答案為：外.16、【解析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出，又是純虛數(shù)，可求出，從而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，，所以，又是純虛數(shù)，所以，所以，所以所以的虛部為，故答案：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值列方程，求得，結(jié)合向量法求得到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向建立如圖所示的建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，可得，，，.，.因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】，設(shè)為平面DEF的法向量，則，即，可取.因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所?由題設(shè)，可得，所以.點(diǎn)B到DFE平面距離.18、（1）8（2）【解析】（1）設(shè)，由，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定義，將點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，最后求得答案；（2）由，所以，設(shè)出直線方程并代入拋物線方程，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)?，由拋物線定義可知，.直線，代入拋物線方程化簡(jiǎn)得：，則，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，代入拋物線方程化簡(jiǎn)得：，所以，因?yàn)?，所以，于是則直線的方程為：.19、（1）（2），過(guò)程見(jiàn)解析【解析】（1）寫出函數(shù)的解析式，利用二項(xiàng)式定理可求得函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）利用錯(cuò)位相減法化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出解析式中含項(xiàng)的系數(shù)，再結(jié)合組合數(shù)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)，時(shí)，，的展開(kāi)式通項(xiàng)為，此時(shí)，函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)之和為.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，①則，②①②得，所以，，而為中含項(xiàng)的系數(shù)，而函數(shù)中含項(xiàng)的系數(shù)也可視為中含項(xiàng)的系數(shù)，故，且，故.20、（1）；；（2）.【解析】（1）由題可得，進(jìn)而可得，然后可得，即得；（2）由題可求，，再利用點(diǎn)斜式即得.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，，∴，，∴.【小問(wèn)2詳解】∵，，∴，，∴在點(diǎn)處的切線方程為，即.21、（1）（2）當(dāng)或時(shí)，有最大值是20【解析】（1）用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.（2）用等差數(shù)列的求和公式即可.【小問(wèn)1詳解】在等差數(shù)列中，∵,∴，解得，∴；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴當(dāng)或時(shí)，有最大值是2022、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析，1個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)同分化簡(jiǎn)，構(gòu)造新函數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)即可；(2)令g(x)＝0，化簡(jiǎn)方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論方程解的個(gè)數(shù)