行測余數(shù)問題萬能技巧

帶余除法。

普通地，如果.α是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0），那么一定有另外兩個整數(shù)q和r，

使得α÷b＝q……r

或α＝b×q＋r

當(dāng)r=0時，我們稱α能被b整除。

當(dāng)r≠0時，我們稱α不能被b整除，r為α除以b的余數(shù)，q為α除以b的不完全商(也簡稱為商)。

帶余除法最核心就是理清被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的關(guān)系，特別需要注意的是，余數(shù)必定不大于除數(shù)。出題者經(jīng)常會在這里設(shè)立陷阱。

㈡余數(shù)周期。

這其中又分為遞推數(shù)列（給一串?dāng)?shù)，規(guī)定第χ個數(shù)除以某個數(shù)的余數(shù)）和n次冪（求一種數(shù)的n次方除以某個數(shù)的余數(shù)）有關(guān)的余數(shù)問題，解決這兩類問題一種最直接的做法就是找規(guī)律，由于它們除以某數(shù)的余數(shù)都是有周期的。例如，求3130÷13的余數(shù)。例如尖子班作業(yè)1。㈢同余問題。

1、什么是“同余”？

整數(shù)α和b除以整數(shù)c，得到的余數(shù)相似，我們就說整數(shù)α、b對于模c同余。

記作：α≡b（modc）

例如：15÷4＝3……3

23÷4＝5……3

15和23對于除數(shù)4同余。

記作：15≡23（mod4）

能夠理解為15和23除以4的余數(shù)相似。

2、“同余”的四個慣用性質(zhì)是什么？

同余性質(zhì)1：如果α≡b(modm)，

則m︱（α－b）

若兩數(shù)同余，他們的差必是除數(shù)的倍數(shù)。

例如，73≡23(mod10)

則10︱（73－23）73與23的差是10的倍數(shù)。

同余性質(zhì)2：如果α≡b(modm)，

c≡d(modm),

則α±c≡b±d(modm)

兩數(shù)和的余數(shù)等于余數(shù)的和。

兩數(shù)差的余數(shù)等于余數(shù)的差。

例如，73≡3(mod10)

84≡4(mod10)

73+84≡3+4≡7(mod10)

84－73≡4－3≡1(mod10)

同余性質(zhì)3：如果α≡b(模m)，

c≡d(模m),

則α×c≡b×d(模m)

兩數(shù)積的余數(shù)等于余數(shù)的積。

例如，73≡3(模10)

84≡4(模10)

73×84≡3×4≡2(模10)

同余性質(zhì)4：如果α≡b(模m)

則αn

≡bn

(模m)

某數(shù)乘方的余數(shù)，等于余數(shù)的乘方。

例如，40≡1（mod13）

4031≡131≡1（mod13）

諸多人分不清同余問題和“物不知其數(shù)”問題的區(qū)別。舉個例子：“一種自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是a＋5、2a、a，求這個自然數(shù)和a的值?！边@是同余問題，已知被除數(shù)和余數(shù)，求除數(shù)。這種問題就是想方法把余數(shù)都化為相似的數(shù)，然后兩兩做差求最大公約數(shù)，就是“物不知其數(shù)”問題。

4、“物不知其數(shù)”。

與同余問題相對應(yīng)的是“物不知其數(shù)”，例如：“一種數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù)?！边@種問題有兩個萬能辦法：逐級滿足和中國剩余定理。但是考試往往不考這兩個辦法，這兩個辦法往往也比較繁瑣?？荚囶}里不妨去研究研究題中給的除數(shù)和對應(yīng)的余數(shù)的關(guān)系（和或差），若他們的和或差相似，那么就有簡樸的解題辦法（即所謂“加同補(bǔ)”、“減同余”），實在沒有，再考慮逐級滿足和中國剩余定理。

我們在解決“物不知其數(shù)”題目，就是把余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為“整除問題”：

中國剩余定理

韓信是漢高祖劉邦手下的大將，他英勇善戰(zhàn)，智謀超群，為漢朝的建立了卓絕的功績。據(jù)說韓信的數(shù)學(xué)水平也非常高超，他在點兵的時候，為了保住軍事機(jī)密，不讓敵人懂得自己部隊的實力，先令士兵從1至3報數(shù)，然后記下最后一種士兵所報之?dāng)?shù)；再令士兵從１至５報數(shù)，也記下最后一種士兵所報之?dāng)?shù)；最后令士兵從1至7報數(shù)，又記下最后一種士兵所報之?dāng)?shù)；這樣，他很快就算出了自己部隊士兵的總?cè)藬?shù)，而敵人則始終無法搞清他的部隊終究有多少名士兵。

這個故事中所說的韓信點兵的計算辦法，就是現(xiàn)在被稱為“中國剩余定理”的一次同余式解法。它是中國古代數(shù)學(xué)家的一項重大發(fā)明，在世界數(shù)學(xué)史上含有重要的地位。

我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》有這樣一道題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二。問物幾許？它的解法由明代數(shù)學(xué)家程大位用詩歌予以理解答：

三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，

七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知。

這種解法的意思是，把用3除所得的余數(shù)乘以70，加上用5除所得余數(shù)乘以21，再加上用7除所得余數(shù)乘以15，成果若比105大，就減去105的倍數(shù)，便是所求得的數(shù)，列成算式為：70×2+21×3+15×2=233，233—105×2=23。

這種辦法稱之為“中國剩余定理”。

余數(shù)問題，碰到這種同時被3個數(shù)除時，好多同窗都不懂得如何入手，這里給出了一種非常好的解決辦法！

例1：有兵一隊，若1至3報數(shù)，最后一人報數(shù)為2；若1至5報數(shù)，最后一種報數(shù)為3；若1至7報數(shù)，最后一人報數(shù)為4.這一隊士兵最少有多少人？

解法一：這道題翻譯成數(shù)學(xué)語言就是，一種數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余4，求適合條件的最小自然數(shù)。

設(shè)士兵有x人，可用同余式表達(dá)為：

x≡2（mod3），x≡3（mod5），x≡4（mod7）。

可用“枚舉法”：

由于x≡2（mod3），因此x可能等于2、5、8、11、14、17、20、23、26、29、32、35、38、41、44、47、50、53、56……

又由于x≡3（mod5），因此x可能等于3、8、13、18、23、28、33、38、43、48、53、58……

又由于x≡4（mod7），因此x可能等于4、11、18、25、32、39、46、53、60……

同時出現(xiàn)在上述三個數(shù)列中的第一種數(shù)是53，因此符合條件的最小自然數(shù)是53.

解法二：從上面看到同時滿足三個條件的數(shù)最早出現(xiàn)在第三列，可先考慮被7除余4的數(shù)從小到大為4、11、18、25……其中第一種滿足被5除余3的數(shù)是18，給18加上5與7的最小公倍數(shù)35的0倍，1倍，2倍，3倍……，得數(shù)列18、53、88，……這個數(shù)列的每一種數(shù)都滿足被7除余4，被5除余3，其中滿足被3除余2的第一種數(shù)是53，也就是這隊士兵最少53人。

此辦法仍為“枚舉法”，但較解法一的辦法更靈活、簡捷。

解法三：可運用“中國剩余定理”的辦法來做。

[5,7]=35,35≡2（mod3）因此35符合被3除余2,且整除5與7.

[3,7]=21,21≡1（mod5）,21×3≡3（mod5）因此21×3符合被5除余3，且整除3與7.

[3,5]=15,15≡1（mod7）,15×4≡4（mod7）,因此15×4符合被7除余4,且整除3與5.

將它們相加得:35+21×3+15×4=158,可知158滿足被3除余2,被5除余3,被7除余4的數(shù).

[3,5,7]=105,158÷105=1……53，因此53是符合條件的最小數(shù)，即這隊士兵最少53人。

總結(jié)：“中國剩余定理”的做法就是先找到其中兩個除數(shù)的公倍數(shù)且滿足另外一種除數(shù)的條件，這樣共能找出三個數(shù)，將它們相加，再減去三個除數(shù)的公倍數(shù)，直到不能減，得到的就是滿足條件的最小的數(shù)（或者用所得數(shù)除以最小公倍數(shù)，余數(shù)即為規(guī)定的最小數(shù)）。

例2：某數(shù)除以5余3，除以6余2，除以7余4，這個數(shù)最小是多少？

分析：運用“中國剩余定理”辦法

第一步：先求出6與7的最小公倍數(shù)42，42≡2（mod5），42×3≡2×3（mod5）≡1（mod5）,42×3×3≡3（mod5）；

第二步求出5與7的最小公倍數(shù)35，35≡5（mod6），35×5≡5×5（mod6）≡1（mod6），35×5×2≡2（mod6）；

第三步求出5與6的最小公倍數(shù)30，30≡2（mod7），30×2≡4（mod7）。

第四步將前三步所得的三個數(shù)相加，再除以5、6、7的最小公倍數(shù)210，余數(shù)就是所求的最小數(shù)。

42×3×3+35×5×2+30×2=788，788÷210=3……158

因此這個最小數(shù)是158。

解：由于[6,7]=42,且42≡2（mod5）,42×3≡1（mod5）,

42×3×3≡3（mod5）；

[5,7]=35,且35≡5（mod6）,35×5≡1（mod6）,35×5×2≡2（mod6）；

[5,6]=30,且30≡2（mod7）,30×2≡4（mod7）

且42×3×3+35×5×2+30×2=788，

又由于[5，6，7]=210，而788=210×3+158

因此這個最小數(shù)是158。

余數(shù)有以下某些重要性質(zhì)（有些性質(zhì)，小學(xué)大家就懂得了，嘻嘻）（a，b，c均為自然數(shù)）：

（1）余數(shù)不大于除數(shù)。

（2）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)；

除數(shù)=（被除數(shù)-余數(shù)）÷商；

商=（被除數(shù)-余數(shù)）÷除數(shù)。

（3）如果a，b除以c的余數(shù)相似，那么a與b的差能被c整除。例如，17與11除以3的余數(shù)都是2，因此17-11能被3整除。

（4）a與b的和除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之和（或這個和除以c的余數(shù)）。例如，23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，因此（23+16）除以5的余數(shù)等于3+1=4。注意：當(dāng)余數(shù)之和不不大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如，23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，因此（23+19）除以5的余數(shù)等于（3+4）除以5的余數(shù)。

（5）a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a，b分別除以c的余數(shù)之積（或這個積除以c的余數(shù)）。例如，23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，因此（23×16）除以5的余數(shù)等于3×1=3。注意：當(dāng)余數(shù)之積不不大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如，23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，因此（23×19）除以5的余數(shù)等于（3×4）除以5的余數(shù)。

性質(zhì)（4）（5）都能夠推廣到多個自然數(shù)的情形。

例1、5122除以一種兩位數(shù)得到的余數(shù)是66，求這個兩位數(shù)。

分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數(shù)×商=被除數(shù)-余數(shù)。

5122-66=5056，

5056應(yīng)是除數(shù)的整數(shù)倍。將5056分解質(zhì)因數(shù)，得到

5056=26×79。

由性質(zhì)（1）知，除數(shù)應(yīng)不不大于66，再由除數(shù)是兩位數(shù)，得到除數(shù)在67～99之間，符合題意的5056的約數(shù)只有79，因此這個兩位數(shù)是79。

例2、被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是2143，已知商是33，余數(shù)是52，求被除數(shù)和除數(shù)。

解：由于被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)

=除數(shù)×33+52，

被除數(shù)=2143-除數(shù)-商-余數(shù)

=2143-除數(shù)-33-52

=2058-除數(shù)，

因此除數(shù)×33+52=2058-除數(shù)，

因此除數(shù)=（2058-52）÷34=59，

被除數(shù)=2058-59=1999。

答：被除數(shù)是1999，除數(shù)是59。

例3、甲、乙兩數(shù)的和是1088，甲數(shù)除以乙數(shù)商11余32，求甲、乙兩數(shù)。

解：由于甲=乙×11+32，

因此甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，

因此乙=（1088-32）÷12=88，

甲=1088-乙=1000。

答：甲數(shù)是1000，乙數(shù)是88。

例4、有一種整數(shù)，用它去除70，110，160得到的三個余數(shù)之和是50。求這個數(shù)。

分析與解：先由題目條件，求出這個數(shù)的大致范疇。由于50÷3=16……2，因此三個余數(shù)中最少有一種不不大于16，推知除數(shù)不不大于16。由三個余數(shù)之和是50知，除數(shù)不應(yīng)不不大于70，因此除數(shù)在17～70之間。

由題意知（7+110+160）-50=290應(yīng)能被這個數(shù)整除。將290分解質(zhì)因數(shù)，得到290=2×5×29，290在17～70之間的約數(shù)有29和58。

由于110÷58=1……52＞50，因此58不合題意。所求整數(shù)是29。

例5、求478×296×351除以17的余數(shù)。

分析與解：先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大。根據(jù)性質(zhì)（5），可先分別計算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù)。

478，296，351除以17的余數(shù)分別為2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。

所求余數(shù)是1。

例6、甲、乙兩個代表團(tuán)乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團(tuán)坐滿若干輛車后，甲代表團(tuán)余下的11人與乙代表團(tuán)余下的組員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團(tuán)的每個組員與乙代表團(tuán)的每個組員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片，那么拍完最后一張照片后，相機(jī)里的膠卷還可拍幾張照片？分析與解：甲代表團(tuán)坐滿若干輛車后余11人，闡明甲代表團(tuán)的人數(shù)（簡稱甲數(shù)）除以36余11；兩代表團(tuán)余下的人正好坐滿一輛車，闡明乙代表團(tuán)余36-11=25（人），即乙代表團(tuán)的人數(shù)（簡稱乙數(shù)）除以36余25；甲代表團(tuán)的每個組員與乙代表團(tuán)的每個組員兩兩合拍一張照片，共要拍“甲數(shù)×乙數(shù)”張照片，由于每個膠卷拍36張，因此最后一種膠卷拍的張數(shù)，等于“甲數(shù)×乙數(shù)”除以36的余數(shù)。

由于甲數(shù)除以36余11，乙數(shù)除以36余25，因此“甲數(shù)×乙數(shù)”除以36的余數(shù)等于11×25除以36的余數(shù)。

（11×25）÷36=7……23，

即最后一種膠卷拍了23張，還可拍36-23=13（張）。

由例6看出，將實際問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題，有助于我們思考解題。周期性問題

“周期”現(xiàn)象在我們身邊普遍存在著。如每個星期總是以七天為周期一次又一次地循環(huán)著；每年也總是按春夏秋冬四季年復(fù)一年地延續(xù)；就連機(jī)器上活動著的部件在運轉(zhuǎn)時也是沿著一定的軌跡一次次重復(fù)運動著……

掌握和運用“周期規(guī)律”能夠解決許多復(fù)雜而有趣的數(shù)學(xué)問題。

在討論周期問題時，經(jīng)常要提到“余數(shù)”。有關(guān)“余數(shù)”，有幾條最基本的性質(zhì)，我們是應(yīng)當(dāng)掌握的。

一、加法性質(zhì)。

若數(shù)A和數(shù)B的和被K除，分別余a和b（A、B、K、a、b均為整數(shù)，K≠0），那么，A和B的和被K除，余數(shù)也為a加b的和[若（a+b）＞k余數(shù)則為a+b-k]。

例如：16除以7，余數(shù)是2；22除以7，余數(shù)是1。那么，（16+22）除以7，余數(shù)是2+1=3。

二、減法性質(zhì)。

若數(shù)A、數(shù)B被數(shù)K除，余數(shù)分別為a和b（以上各數(shù)均為整數(shù)，K≠0），那么，A減去B的差被K除，余數(shù)也為a減去b的差（若a＜b，余數(shù)則為a+k-b）。

例如：135除以13余數(shù)是5；40除以13余數(shù)是1。那么，（135-40）除以13，余數(shù)是5-1=4。

又如：233除以11余數(shù)是2；61除以11余數(shù)是6。那么，（233-61）除以11，余數(shù)是2+11-6=7。

三、乘法性質(zhì)。

若數(shù)A除以數(shù)K，余a（A、K和a都是整數(shù)，K≠0），那么，A的n倍除以數(shù)K，余數(shù)則為na除以K所得的余數(shù)；

若數(shù)A和數(shù)B被數(shù)K除，分別余a、b（以上各數(shù)均為整數(shù)，k≠0），那么，A、B的乘積除以K，余數(shù)為a·b÷k的余數(shù)。

例如：15除以13的余數(shù)是2。那么15×7的積除以13的余數(shù)是2×7÷13，余1。

又如：140除以17，余數(shù)是4；90除以17，余數(shù)是5。那么140×90的積除以17的余數(shù)為4×5÷17，余數(shù)是3。

學(xué)會運用余數(shù)來解決周期問題是一件很故意思的事情

補(bǔ)充練習(xí)題。

【練習(xí)1】

12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋2＋2除以7所得的余數(shù)為多少？

解：12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋2＋2

＝

＝1001××1335

1001是7的倍數(shù)，1001××1335也是7的倍數(shù)。因此12＋22＋32＋42＋52＋62＋……＋2＋2除以7所得的余數(shù)為0。

【練習(xí)2】甲、乙、丙三個數(shù)分別為603、939、393。某數(shù)A除甲數(shù)所得的余數(shù)是A除乙數(shù)所余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得的余數(shù)是A除丙數(shù)所的余數(shù)的2倍。求A等于多少？

解：⑴603÷A＝B1……4r

939÷A＝B2……2r

393÷A＝B3……r把余數(shù)解決成相似，再相減

⑵603÷A＝B1……4r

（939×2）÷A＝B2×2……4r

（393×4）÷A＝B3×4……4r

393×4＝1572，939×2＝1878，原題轉(zhuǎn)化成“1572、1878、603除以A的余數(shù)相似，求A是多少”。這三個數(shù)兩兩相減的差是1878－1572＝306；1878－603＝1275；1572－603＝969。A是306、1275、969的公約數(shù)。（306、1275、969）＝51＝3×17A是51或17，不會是1和3。經(jīng)檢查，A等于17。

603÷17＝35……8

939÷17＝55……4

393÷17＝23……2答：A等于17。

【練習(xí)3】五班同窗上體育課，排成3行少l人，排成4行多3人，排成5行少l人，排成6行多5人。問上體育課的同窗最少有多少名？

分析：⑴“排成3行少l人”，如果補(bǔ)上1人正好排成3行，補(bǔ)上1人后人數(shù)是3的倍數(shù)。同理，在五班學(xué)生人數(shù)的基礎(chǔ)上如果補(bǔ)上1個人，總?cè)藬?shù)是3、4、5、6的公倍數(shù)。

⑵[3，4，5，6]＝60

60－1＝59

答：上體育課的學(xué)生最少59人。

【練習(xí)4】一種自然數(shù)在1000和1200之問，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合條件的數(shù)。

分析：⑴“被3除余1”、“被7除余3”可轉(zhuǎn)化為被3和7除都余10。這個數(shù)比3和7的公倍數(shù)多10。設(shè)這個數(shù)為21α＋10。

當(dāng)α＝2時，21α＋10＝52，52除以5余2。52是符合條件的最小的自然數(shù)。

⑵[3，5，7]＝105，在52的基礎(chǔ)上加105的倍數(shù)，即（105n＋52）符合條件，當(dāng)n＝10時，105n＋52＝1102，1102在1000和1200之問，并且被3除余1，被5除余2，被7除余3。

答：符合條件的數(shù)是1102。最后再附帶余數(shù)問題和星期日期的幾個便于做題的推論：

同余核心口訣

余同加余，和同加和，差同減差，除數(shù)最小公倍數(shù)作周期

1、余同：一種數(shù)除以幾個不同的數(shù)，得到的余數(shù)相似，此時該數(shù)能夠選擇這個相似的余數(shù)（余同取余）