一元二次方程及其解法(一)直接開平方法-知識講解(基礎(chǔ))

一元二次方程及其解法（一）直接開平方法—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義，會把一元二次方程化為一般形式；

2．掌握直接開平方法解方程，會應(yīng)用此判定方法解決有關(guān)問題；

3．理解解法中的降次思想，直接開平方法中的分類討論與換元思想.

【要點梳理】要點一、一元二次方程的有關(guān)概念

1．一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要點詮釋：識別一元二次方程必須抓住三個條件：（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.不滿足其中任何一個條件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．

要點詮釋：

(1)只有當(dāng)時，方程才是一元二次方程；

(2)在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各項系數(shù)時注意不要漏掉前面的性質(zhì)符號.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4.一元二次方程根的重要結(jié)論（1）若a+b+c=0,則一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一個根，則a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,則一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一個根，則a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一個根x=0，則c=0；反之也成立，若c=0，則一元二次方程必有一根為0.要點二、一元二次方程的解法

1．直接開方法解一元二次方程：

(1)直接開方法解一元二次方程：

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

(2)直接開平方法的理論依據(jù)：

平方根的定義.

(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：

①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.

若，則；表示為，有兩個不等實數(shù)根；

若，則x=O；表示為，有兩個相等的實數(shù)根；

若，則方程無實數(shù)根．

②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是

.

要點詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個方程的根.

【典型例題】類型一、關(guān)于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:

(1)；(2)．

舉一反三：【變式】判斷下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 類型二、一元二次方程的一般形式、各項系數(shù)的確定

2.把下列方程中的各項系數(shù)化為整數(shù)，二次項系數(shù)化為正數(shù)，并求出各項的系數(shù)：

(1)-3x2-4x+2=0；(2)．

舉一反三：【變式】將下列方程化為一元二次方程一般形式，并指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：（1）；（2）．類型三、一元二次方程的解（根）3.如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分別是()A．-3，2B．3，-2C．2，-3D．2，3類型四、用直接開平方法解一元二次方程

4.解方程(1)（2015?銅陵縣模擬）4（x+3）2=25（x﹣2）2；(2)（2015?祁陽縣模擬）(x-2)2-16=0．

舉一反三：

【變式1】用直接開平方法求下列各方程的根：

(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．

【變式2】解下列方程：

(1)（2015?東西湖區(qū)校級模擬）(2x+3)2-25=0；(2)（2014秋?濱州校級期末）（1﹣2x）2=x2﹣6x+9.

一元二次方程及其解法（一）直接開平方法—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.若是關(guān)于x的一元二次方程，則()A．p≠1B．p≠0且p≠1C．p≠0D．p≠0且p≠12．（2015?江岸區(qū)校級模擬）如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一個根，那么該方程的另一個根是（）A．3B．-3C．0D．13．已知m是方程的一個根，則代數(shù)式的值等于()A．-1B．0C．1D．24．若，是方程的兩根，則的值是()A．8B．4C．2D．05．若為方程式的一根，為方程式的一根，且、都是正數(shù)，則之值為何?()A．5B．6C．D．6．已知方程有一個根是-a(a≠0)，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是()A．a(chǎn)bB．C．a(chǎn)+bD．a(chǎn)-b二、填空題7.方程(2x+1)(x-3)＝x2+1化成一般形式為________，二次項系數(shù)是________，一次項系數(shù)是________，常數(shù)項是________．8．（1）關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m；（2）關(guān)于x的方程是一元一次方程，則m.9．下列關(guān)于x的方程中是一元二次方程的是________(只填序號)．(1)x2+1＝0；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(x-2)(x-3)＝5.10．下列哪些數(shù)是方程的根?答案：.0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．11．已知關(guān)于x的方程x2-4x-p2+2p+2＝0的一個根為p，則p＝________．12．（2014秋?營山縣校級月考）若方程（x﹣4）2=a有實數(shù)解，則a的取值范圍是________．三、解答題13．（2014?濟(jì)寧）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的兩個根分別是m+1與2m﹣4，求的值．14.用直接開平方法解下列方程．(1)；(2)．15．教材或資料會出現(xiàn)這樣的題目：把方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個小題，請解答．(1)下列式子中，有哪幾個是方程所化的一元二次方程的一般形式?(答案只寫序號)________．①；②；③；④；⑤.(2)方程化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項之間具有什么關(guān)系?一元二次方程的解法（二）配方法—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解配方法的概念，會用配方法解一元二次方程；2．掌握運用配方法解一元二次方程的基本步驟；3．通過用配方法將一元二次方程變形的過程，進(jìn)一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力.【要點梳理】

知識點一、一元二次方程的解法---配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，將二次項系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解.

要點詮釋：（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．

知識點二、配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項或添項、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r的應(yīng)用，將原式化成一個完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．要點詮釋：“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．

【典型例題】類型一、用配方法解一元二次方程1.（2014?岱岳區(qū)校級模擬）用配方法解方程：2x2+3x﹣1=0．

舉一反三：

【變式】用配方法解方程.

(1)x2-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.

類型二、配方法在代數(shù)中的應(yīng)用2．若代數(shù)式，，則的值（）Ａ．一定是負(fù)數(shù) Ｂ．一定是正數(shù) Ｃ．一定不是負(fù)數(shù) Ｄ．一定不是正數(shù)3．（2014?甘肅模擬）用配方法證明：二次三項式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．舉一反三：【變式】求代數(shù)式x2+8x+17的最小值4．已知，求的值．一元二次方程的解法（二）配方法—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.（2015?濱州）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0時，下列變形正確的為（）A．（x+3）2=1B．（x﹣3）2=1C．（x+3）2=19D．（x﹣3）2=192．下列各式是完全平方式的是（）A．B．C．D．3．若x2+6x+m2是一個完全平方式，則m的值是（）A．3B．-3C．D．以上都不對4．用配方法將二次三項式a2-4a+5變形，結(jié)果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-15．把方程x2+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=26．用配方法解方程x2+4x=10的根為（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-二、填空題7．（1）x2+4x+=（x+）2；（2）x2-6x+=（x-）2；（3）x2+8x+=（x+）2.8．若，那么m＝________．9．若是一個完全平方式，則m的值是________．10．求代數(shù)式2x2-7x+2的最小值為.11．（2014?資陽二模）當(dāng)x=時，代數(shù)式﹣x2﹣2x有最大值，其最大值為．12．已知a2+b2-10a-6b+34=0，則的值為．三、解答題13.用配方法解方程（1）（2）14.（2014秋?西城區(qū)校級期中）已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．15．已知a，b，c是△ABC的三邊，且．(1)求a，b，c的值；(2)判斷三角形的形狀．一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；2.正確理解因式分解法的實質(zhì)，熟練運用因式分解法解一元二次方程；3.通過求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性，滲透分類的思想．【要點梳理】要點一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，當(dāng)時，.

2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：．

①當(dāng)時，原方程有兩個不等的實數(shù)根；

②當(dāng)時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；

③當(dāng)時，原方程沒有實數(shù)根.

3.用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、c的值（要注意符號）；

③求出的值；

④若，則利用公式求出原方程的解；

若，則原方程無實根.

要點詮釋：（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選擇.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為：.①當(dāng)時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實根：.②當(dāng)時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實根：.③當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實根.

要點二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個一次式的積；

（3）令這兩個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；

（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點詮釋：

（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x2+3x+1=0；(2)；(3)2x2+3x-1=0．舉一反三：【變式】用公式法解方程：（2014?武漢模擬）x2﹣3x﹣2=0．2．用公式法解下列方程：(1)（2014?武漢模擬）2x2+x=2；(2)（2014秋?開縣期末）3x2﹣6x﹣2=0；（3）（2015?黃陂區(qū)校級模擬）x2﹣3x﹣7=0．舉一反三：【變式】用公式法解下列方程：；類型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)；(2)(2x+3)2-25＝0；（3）x（2x+1）=8x﹣3．4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；(2)．舉一反三：【變式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）5．探究下表中的奧秘，并完成填空：一元二次方程兩個根二次三項式因式分解x2﹣2x+1=0x1=1，x2=1x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）x2﹣3x+2=0x1=1，x2=2x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）3x2+x﹣2=0x1=，x2=﹣13x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）2x2+5x+2=0x1=﹣，x2=﹣22x2+5x+2=2（x+）（x+2）4x2+13x+3=0x1=，x2=4x2+13x+3=4（x+）（x+）將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一般化，并寫出來．一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1．（2014?泗縣校級模擬）下列方程適合用因式方程解法解的是（）A．x2﹣3x+2=0B．2x2=x+4C．（x﹣1）（x+2）=72D．x2﹣11x﹣10=02．方程的解是()A．B．C．，D．，3．一元二次方程的解是()A．；B．；C．；D．；4.方程x2-5x-6＝0的兩根為()A．6和1B．6和-1C．2和3D．-2和35．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是()A．x＝5B．x＝5或x＝6C．x＝7D．x＝5或x＝76．已知，則的值為()A．2011B．2012C．2013D．2014二、填空題7．（2015?廈門）方程x2+x＝0的解是________；8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是________．9．請寫一個兩根分別是1和2的一元二次方程________．10．若方程x2-m＝0的根為整數(shù)，則m的值可以是________．(只填符合條件的一個即可)11．已知實數(shù)x、y滿足，則________．12．已知y＝(x-5)(x+2)．(1)當(dāng)x為值時，y的值為0；(2)當(dāng)x為值時，y的值為5.三、解答題13．（2014秋?寶坻區(qū)校級期末）解方程（1）2（x﹣3）2=8（直接開平方法）（2）4x2﹣6x﹣3=0（運用公式法）（3）（2x﹣3）2=5（2x﹣3）（運用分解因式法）（4）（x+8）（x+1）=﹣12（運用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?4.用因式分解法解方程（1）x2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15．(1)利用求根公式完成下表：方程的值的符號（填＞0，=0，＜0），的關(guān)系（填“相等”“不等”或“不存在”）(2)請觀察上表，結(jié)合的符號，歸納出一元二次方程的根的情況．(3)利用上面的結(jié)論解答下題．當(dāng)m取什么值時，關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2＝0，①有兩個不相等的實數(shù)根；②有兩個相等的實數(shù)根；③沒有實數(shù)根．一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會用一元二次方程根的判別式判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；2.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運用.【要點梳理】知識點一、一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.要點詮釋：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計算的值；④根據(jù)的符號判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個不相等的實數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個相等的實數(shù)根=0；（3）方程沒有實數(shù)根﹤0.要點詮釋：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個實數(shù)根則≥0.知識點二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用(1)驗根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；(2)已知方程的一個根，求方程的另一根及未知系數(shù)；(3)不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的兩根，求作一個一元二次方程；以兩個數(shù)為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（6）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號.設(shè)一元二次方程的兩根為、，則①當(dāng)△≥0且時，兩根同號．當(dāng)△≥0且，時，兩根同為正數(shù)；當(dāng)△≥0且，時，兩根同為負(fù)數(shù)．②當(dāng)△＞0且時，兩根異號．當(dāng)△＞0且，時，兩根異號且正根的絕對值較大；當(dāng)△＞0且，時，兩根異號且負(fù)根的絕對值較大．要點詮釋：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱；（2）若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根（，為有理數(shù)）．【典型例題】類型一、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用1．不解方程，判斷下列方程的根的情況：(1)

2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a≠0)舉一反三：【變式】不解方程，判別方程根的情況：.2．（2015?本溪）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是．舉一反三：【變式】m為任意實數(shù)，試說明關(guān)于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有兩個不相等的實數(shù)根.類型二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用3．已知方程的一個根是2，求另一個根及k的值．舉一反三：【變式】已知方程的一個根是3，求它的另一根及的值．

4．（2015?咸寧）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．（1）證明：不論m為何值時，方程總有實數(shù)根；（2）m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根． 一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.下列方程，有實數(shù)根的是()A．2x2+x+1＝0B．x2+3x+21＝0C．x2-0.1x-1＝0D．2．一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足的條件是（）A．B．C．D．3．（2015?貴港）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A．﹣1B．0C.1D.24．關(guān)于方程的兩根的說法正確的是（）A.B.C.D.無實數(shù)根5．關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+k=0有實數(shù)解，則k的取值范圍是（） A.k≥4 B.k≤4C.k＞4 D.k=46．一元二次方程的兩根為、，則的值為（）．A．3B．6C．18D．24二、填空題7．（2015?酒泉）關(guān)于x的方程kx2﹣4x﹣=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是．8．已知3x2-2x-1=0的二根為x1，x2，則x1+x2=______，x1x2=______，_______，

x12+x22=_______，x1-x2=________．9．若方程的兩根是x1、x2，則代數(shù)式的值是。10．設(shè)一元二次方程的兩根分別為、，以、為根的一元二次方程是________．11．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判別式△=4，則這個方程的根為_______．12．一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個位數(shù)字的平方剛好等于這個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)為___．三、解答題13．當(dāng)k為何值時，關(guān)于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，(1)有兩個不相等的實數(shù)根？(2)有兩個相等的實數(shù)根？(3)沒有實數(shù)根?14.已知a，b，c是△ABC的三邊長，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0有兩個相等的實數(shù)根．請你判斷△ABC的形狀．15．（2015?大慶）已知實數(shù)a，b是方程x2﹣x﹣1=0的兩根，求+的值．一元二次方程的應(yīng)用--知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決實際問題，總結(jié)運用方程解決實際問題的一般步驟；

2.通過列方程解應(yīng)用題，進(jìn)一步提高邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.【要點梳理】要點一、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟1.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗（檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）

答(寫出答案，切忌答非所問).

要點詮釋：列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

要點二、一元二次方程應(yīng)用題的主要類型1.數(shù)字問題(1)任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、

千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：

100c+10b+a.

(2)幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.

如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-1，x+1.

幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為x-2，x+2.

2.平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.

(1)增長率問題：

平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

(2)降低率問題：

平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

3.利息問題

(1)概念：

本金：顧客存入銀行的錢叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時間叫期數(shù).

利率：每個期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期數(shù)

利息稅=利息×稅率

本金×(1+利率×期數(shù))=本息和

本金×[1+利率×期數(shù)×(1-稅率)]=本息和(收利息稅時)

4.利潤(銷售)問題

利潤(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤=售價-進(jìn)價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

5.形積問題

此類問題屬于幾何圖形的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.要點詮釋：列一元二次方程解應(yīng)用題是把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想.【典型例題】類型一、數(shù)字問題1．已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)是多少．舉一反三：【變式】有一個兩位數(shù)等于其數(shù)字之積的3倍，其十位數(shù)字比個位數(shù)字少2，求這個兩位數(shù).類型二、平均變化率問題2．2010年5月中央召開了新疆工作座談會，為實現(xiàn)新疆跨越式發(fā)展和長治久安，作出了重要戰(zhàn)略決策部署．為此我市抓住機遇，加快發(fā)展，決定今年投入5億元用于城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)，以后逐年增加，計劃到2012年當(dāng)年用于城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)與建設(shè)資金達(dá)到8.45億元．(1)求從2010年至2012年我市每年投入城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金的年平均增長率；(2)若2010年至2012年我市每年投入城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金的年平均增長率相同，預(yù)計我市這三年用于城市基礎(chǔ)設(shè)施維護(hù)和建設(shè)資金共多少億元?舉一反三：【變式】某產(chǎn)品原來每件是600元，由于連續(xù)兩次降價，現(xiàn)價為384元，如果兩次降價的百分?jǐn)?shù)相同，求平均每次降價率.類型三、利潤（銷售）問題3．（2015?烏魯木齊）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應(yīng)將銷售單價定位多少元？類型四、形積問題4．（2015?湖北）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？一元二次方程的應(yīng)用—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1．在一幅長80cm、寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示．如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是()．A．x2+130x-1400＝0B．x2-65x-350＝0C．x2-130x-1400＝0D．x2+65x-350＝02．為了改善居民住房條件，我市計劃用未來兩年的時間，將城鎮(zhèn)居民的住房面積由現(xiàn)在的人均約為10m2提高到12.1m2，若每年的年增長率相同，則年增長率為（）A．9%B．10%C．11%D．12%3．某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個，設(shè)該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是()．A．50(1+x)2＝182B．50+50(1+x)+50(1+x)2＝182C．50(1+2x)＝182D．50+50(1+x)+50(1+2x)＝1824．一個矩形的長是寬的3倍，若寬增加3cm，它就變成正方形.則矩形面積是()．A．B．C．D．5．為執(zhí)行“兩免一補”政策，某地區(qū)2010年投入教育經(jīng)費2500萬元，預(yù)計2012年投入3600萬元．設(shè)這兩年投入教育經(jīng)費的年平均增長率為x，則下列方程正確的是()．A．2500(1+x)2＝3600B．2500x2＝3600C．2500(1+x%)＝3600D．2500(1+x)+2500(1+x)2＝36006．（2014?咸寧）用一條長為40cm的繩子圍成一個面積為acm2的長方形，a的值不可能為（） A．20 B． 40 C． 100 D． 120二、填空題7．某商場銷售額3月份為16萬元，5月份25萬元，該商場這兩個月銷售額的平均增長率是________．8．若兩數(shù)的和是2，兩數(shù)的平方和是74，則這兩數(shù)為________．9．大連某小區(qū)準(zhǔn)備在每兩幢樓房之間開辟面積為300m2的一塊長方形綠地，并且長比寬多10m，設(shè)長方形綠地的寬為xm，則可列方程為________．10．菱形ABCD的一條對角線長6，AB的長是方程x2-7x+12＝0的一個根，則菱形ABCD的周長為________．11．（2015春?啟東市月考）有一人發(fā)了某內(nèi)容的短信，經(jīng)過兩輪發(fā)送后共有196人的手機上有了該短信，則每輪發(fā)送中平均一個人發(fā)送了人．12.小明家為響應(yīng)節(jié)能減排號召，計劃用兩年時間，將家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg(全球人均目標(biāo)碳排放量)，則小明家未來兩年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．三、解答題13．用長12m的一根鐵絲圍成長方形．(1)如果長方形的面積為5m2，那么此時長方形的長是多少?寬是多少?如果面積是8m2呢?(2)能否圍成面積是10m2的長方形?為什么?(3)能圍成的長方形的最大面積是多少?14.從一塊長80cm，寬60cm的長方形鐵片中間截去一個小長方形，使剩下的長方形四周寬度一樣，并且小長方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個寬度．15．（2015?珠海）白溪鎮(zhèn)2012年有綠地面積57.5公頃，該鎮(zhèn)近幾年不斷增加綠地面積，2014年達(dá)到82.8公頃．（1）求該鎮(zhèn)2012至2014年綠地面積的年平均增長率；（2）若年增長率保持不變，2015年該鎮(zhèn)綠地面積能否達(dá)到100公頃？《一元二次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解一元二次方程及有關(guān)概念；2.掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法．【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、一元二次方程的有關(guān)概念1.一元二次方程的概念：

通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

要點詮釋：判斷一個方程是否為一元二次方程時，首先觀察其是否是整式方程，否則一定不是一元二次方程；其次再將整式方程整理化簡使方程的右邊為0，看是否具備另兩個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2.對有關(guān)一元二次方程定義的題目，要充分考慮定義的三個特點，不要忽視二次項系數(shù)不為0．要點二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法．要點詮釋：解一元二次方程時，根據(jù)方程特點，靈活選擇解題方法，先考慮能否用直接開平方法和因式分解

法，再考慮用公式法．要點三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即（1）當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相等的實數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程的兩個實數(shù)根是，那么，.注意它的使用條件為a≠0，Δ≥0.要點詮釋：1.一元二次方程的根的判別式正反都成立．利用其可以解決以下問題：

(1)不解方程判定方程根的情況；

(2)根據(jù)參系數(shù)的性質(zhì)確定根的范圍；

(3)解與根有關(guān)的證明題．

2.一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及參數(shù)系數(shù)；

(2)已知方程，求含有兩根對稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；

(3)已知方程兩根，求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程．要點四、列一元二次方程解應(yīng)用題1.列方程解實際問題的三個重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗解的合理性.

2.利用方程解決實際問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

3.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；

設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；

列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰)；驗(檢驗方程的解能否保證實際問題有意義）；

答(寫出答案，切忌答非所問).

4.常見應(yīng)用題型

數(shù)字問題、平均變化率問題、利息問題、利潤(銷售)問題、形積問題等.

要點詮釋：列方程解應(yīng)用題就是先把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.【典型例題】類型一、一元二次方程的有關(guān)概念1．下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．C． D．舉一反三：【變式】關(guān)于x的方程,當(dāng)時為一元一次方程；當(dāng)時為一元二次方程.類型二、一元二次方程的解法2．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?1)0.5x2-=0；(2)(x+a)2=；

(3)2x2-4x-1=0；(4)(1-)x2=(1+)x．

舉一反三：【變式】解方程．(1)(3x-2)2+(2-3x)＝0；(2)2(t-1)2+t＝1.類型三、一元二次方程根的判別式的應(yīng)用3．（2015?荊門）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+5﹣a=0有實數(shù)根，則a的取值范圍是（） A．a(chǎn)≥1 B． a＞1 C． a≤1 D． a＜1類型四、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系4．已知x1、x2是關(guān)于x的方程的兩個不相等的實數(shù)根，求t的取值范圍；（2）設(shè)，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．舉一反三：【變式】已知關(guān)于x的一元二次方程的兩實數(shù)根為，．（1）求m的取值范圍；（2）設(shè)，當(dāng)y取得最小值時，求相應(yīng)m的值，并求出最小值．類型五、一元二次方程的應(yīng)用5．如圖所示，在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80%，求所截去的小正方形的邊長．舉一反三：【變式】（2015春?啟東市月考）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25m），現(xiàn)在欲砌50m長的墻，砌成一個面積300m2的矩形花園，則BC的長為多少m?6．某旅行社有100張床位，每床每晚收費10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，則減少10張床位租出；若每床每晚收費再提高2元，則再減少10張床位租出．以每次提高2元的這種方法變化下去，為了每晚獲得1120元的利潤，每床每晚應(yīng)提高多少元?《一元二次方程》全章復(fù)習(xí)與鞏固—鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題

1.已知1是關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一個根，則m的值是（）A.1 B.﹣1